数列通项公式的求法集锦

1、缴列通项公式的求法集锦一，累加法形如为一，*=/()(n=2、3、4)且/(1) + /(2) + /5 1)可求，则用累加法求勺。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例L 在数列/中， = 1,M一%“一I (n=2、3、4)，求%：的通项公式。n > 2时,a2 - q = 1% 一小=2% % = 3解：时，a = 1这n-1个等式累加得：a-q=l + 2 + . +（nT） =+ 4 = -y- 且 = 1 也满足该式”“=-好三（"£ N" ）.例 2.在数列。中，4=1,=2" (£N)求°解：

2、n=l 时，=1n > 2111, a2 -q = 2a3 -a2 = 22a4 -= 23r以上n-1个等式累加得=2 + 224-. + 2w-i=2（1-2 - =2"-2,故% =2"-2 + %=2"-1 且=1 也满 1 2足该式."=2一1七四)。一、米乘法形如= /'()(n=2、3、4)，且l) + /(2) +1)可求，则用累乘法 3求仆。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。例3 .在数列% 中，=1,= nan ,求an。解：由巳知得出=，分别取n=l、2、3(n-1),代入该式得n-1个等式果乘，

3、 %即- =1 X 2 X 3 X X (n-l)=(n-l)!所 以时，=(h - 1)!故%心 味«i且 =0! = 1 也适用该式- 1)! (eN').例4.巳知数列qJ满足 =彳，%+】=一二%，求明。3 H + 1解：由巳知得幺L = _J,分别令n=l, 2, 3,代入勺 + 1上式得n-l 个等式累乘，即.- = -x-x-.x- q a2 %2 3 4 n所以% =一,又因为也满足该式，所以与=/。4 n33n三、构造等比数列法原数列"J既不等差，也不等比。若把qj中每一项添上一个数或一个式子构成新数列， 使之等比，从而求出%。该法适用于递推式形如

4、为+I =a”+。或+| =尻“+/()或 七川=次。+其中环c为不相等的常数，/()为一次式。例5、(06XX理22)巳知数列*满足 = 1, 2 = 2%+1 (“eN,求数列“ 的通项公式。解：构造新数列q + ,其中P为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列即册+i + P = 2(4 + P)整理得： J = 24+ p使之满足一+1=2an +1 /.p= 1即q+1是首项为 + 1=2, q=2的等比数列/.勺+1 = 2 2"t % = 2" - 13 ci例6、(07全国H理21)设数列6;的首项qe(OJ), %=一±,11=2、3、4 (I)

5、求%的通项公式。解：构造新数列% + ，使之成为q = 的等比数列乙即可+ = 一：（% + P）整理得：4 = 一； 4:一白满足4 =乙乙乙乙331得 5，= 5p=J即新数列“- 1首项为卬-1, q = _j的乙L乙等比数列/.-i=（«1-i）（-1r, 故 明=（41）（一乙乙例 7、（07 全国I理 22）巳知数列“ 冲，S=2, ,、= （"-1）0+2）£（I）求% 的通项公式。解：构造新数列alt + ，使之成为q =四-1的等比数列a/t+i + P = （V2 -1） （a + p）整理得：%+=（应-1） %+（JJ-2）p使之满足巳知条

6、件 “向=（"-1）勺+2 （&-1）,（、叵- 2） = 2（应一 1）解得P = -72 /. 4-应是首项为2 应q =点- 1的等比数列，由此得q - 3=（2 -伪（"- 1产.72（72 -1）H + >/2例8、巳知数列“中， = 1, “2 = 2/+3"，求数列的通项公式。分析：该数列不同于以上几个数列，该数列中含3”是变量，而不是常量了。故应构造 新数列伍”+%3"）,其中4为常数，使之为公比是明的系数2的等比数列。解：构造数列伍”+43", /I为不为。的常数，使之成为q=2的等比数列即 q用 + 43&qu

7、ot;J 2（4 + 几3”）整理得：% = 24 + （2封W"）满足“向=2勺+3"得2几3”一/13向=3"/. 4 = 一1新数列%-3"是首项为 q - 3 J -2 , q=2 的等比数列 /,%-3" = -2 x 2"， an= 3" - 2"例9、（07XX文20）在数列/中，=2,右.尸4勺-3 + 1 ,求数列的通项勺。解：构造新数列q+4列，使之成为q=4的等比数列，则a.1 +45 + 1） =4（勺+而） 整理得：勺+1 = 4勺+3aL4满足4川=4勺-3 + 1 ,即3加一 4 =

8、-3" + 1得 4 =一1 新数列g-的首项为-1 = 1, q=4的等比数列an - = 4/1-1 an =四、构造等差数列法数列%；既不等差，也不等比，递推关系式形如=，兀+/7 +/()，那么把两边 同除以“向后，想法构造一个等差数列，从而间接求出(° 例 10. (07XX模)数列满足品=2/_I+2”-1522)且%=81。求 4、的、% (2)是否存在一个实数义，使此数列写为等差数列？若存在求出4的值及明;若 乙不存在，说明理由。解：(1)由% = 23+24 -1=81 得%=33;又,./=2%+23-1=33得。2 = 13;又% = 2。1 + 2-

9、1=13,=5A(2)假设存在一个实数a,使此数列号三为等差数列即2一1一丸，=12该数为常数门=-1 即乍二为首项与=2, d=l的等差数列 乙乙=2+( - 1)x1 =n+l /."“=( +1)x2" +1例11、数列/满足"”1 = -241+(-2严(，?£)，首项为 =-2,求数列”“的通项 公式。解：小=一24+(-2严 两边同除以(-2)2得丹二=、+1 (- 2)(2)数列4是首项为二1r = 1, cl=l的等差数列一4了 = 1+( 1)x 1 = n(一 2)(-2)(-2)故% = (一2)"例12.数列“中，=5,

10、且4 =3+3"-1 (n=2、3、4),试求数列% 的通项公式。解：构造一个新数列£,丸为常数，使之成为等差数列，即4F = &若整理得%+/L = 3qi+3”+3 ,让该式满足% =3,%+3"-1.取小3” =3”，11/ +2"】一5 322 = -H42 = -, d=l ,即崂是首项为_ = 5,公差d=l的等差数列。1“一3 3111故一 = 5 +(”_1)x1 = + 5/ =( + 5).3"+5 乙乙乙乙例 13、(07XX理 21)在数列%中， =2,且川="“+几2+(2-/)2 (neN,)其中/

11、t>0, (I)求数列。的通项公式。a aT解：入川的底数与“的系数相同，则两边除以4向得T* = / + i + r-节A A A Aa -2,+l a -2n a -2" 一2即初=f +1、r是首项为二=o，公差d=i的等差数AAAA列。=o + ( _ 1) = _ 1 . an = ( _ 1)心 + 2。五，取倒效法有些关于通项的递推关系式变形后含有项，直接求相邻两项的关系很困难，但两边同除以(445后，相邻两项的倒数的关系容易求得，从而间接求出4。例 14、巳知数列“, % = -1,。+1 = T4"wV ,求 4=?1-4解：把原式变形得4+】-+,

12、 4 = 4两边同除以勺4川得 = +1明 “2A 是首项为-1, d=-1的等差数列故=-1 +(77-1)(-1)= 一.4 =-o %an例 15、(06XX 理 22)巳知数列%满足< ：，且勺=,""1(n>2neN) (I)22an_ + n-l求数列% 的通项公式。解：把原式变形成2ana_i + (h -V)an = 3nan_两边同除以aan+l得即 = 7 匕 + 7构造新数列 + %，使其成为公比q=-的等比数列明 3 4-|3an3即2+% = 1(匕1+%)整理得：满足式使一二彳=三.义=-1明 3 3an 33 333数列&

13、- 1是首项为上一 1 = 一!，q= !的等比数列 4433- -_ = 严=_（2_）" Cl = ".3_ °为 3（3）（3）” 3"-1。例16 . （ 06XX文22）巳知各项均为正数的数列%满足：卬=3 ,且二包一 4 =4册7 e N，求数列%的通项公式。2an 一册7解：把原式变形为2%川一% = anan （2。“ 一 4川）2111两边同除以得=2% - a”.】移项得：+i = 2（- an）册“+1"+1111Q所以新数列- qj是首项为-«,=-3 = -q=2的等比数列。勺q33故上一勺=一!乂2川 解关

14、于明的方程得4 = 1（2川+9） O433六.利用公式q=S” S“_1 （n > 2）求通项有些数列给出4的前n项和S与明的关系式S“ = /（凡），利用该式写出Sz = f（%）,两式做差，再利用4.=Sz-S 导出“向与明的递推式，从而求出明。例17.Q7XX21题）巳知各项均为正数的数列。/的前n项和为S”满足> 1且6S” =（为+1）（“a + 2） n N'求 J的通项公式。解：由41=$=；（4+1）（4+2）解得 = 1或4=2,由巳知因此=2 又 6由 4+1 = S+i - S” =2（/+ +1）（。+ + 2） -（cin + ）（an + 2）

15、得 oo（41+ %）（4-1 一/ - 3） =0 an > 0 . an-an =3从而qj是首项为2,公差为3的等差数列，故的通项为4=2+3（n-l）=3n-L例18.（07XX理22）巳知各项全不为0的数列4 的前k项和为S” ,且，依 ”） 其中=1,求数列%的通项公式。解：当1=1时，4=5 = 5%2及41 = 1得"2=2; 当 k>2 时，由a = S* - Sj = 54，+1得43+1 -*)=2% .&% 一生1 =2乙乙从而生“1 =l+(m-l)2=2m-l «2/w =2+(m-l)2=2m (m N 故% =k (k N

16、').例19.（07XX文21）数列%的前n项和为S.，4=1, e=25（nN）求风的通项公式。解：由N，&=2Sf当n>2时=得竽=3,因此应是首项为的 =2, q=3的等比数列。故% = 2x3't （n>2）,而 = 1不满足该式1(n=l)2x32(/7>2)例20.（06全国I理22）该数列%的前n项和S“=：q!乂2”+1+： （n=l、2、3）求41解：由.二鼻风一鼻乂？"“的通项公式。2412H (n=l、2、3卜一得H = _qx4 + 412所以。=2 再S_ = - %.-x2"+ (n=2、3)将和相减得：

17、4 = S” 一 Sn_riX (22一 2")整理得册+ 2 = 4(3 + 2t ) (n=2、3)因而数列4+ 2 ；是首项为卬+ 2 = 4 ,q=4的等比数列。即4+2“ = 4x4-、4",因而4=4" -2。七.新构造新方程组求通项法有时数列 % ：和的通项以方程组的形式给出，要想求出明与2必须得重新构造关+ +1-4 3-4+ +3-4 1-4= =% %干”和4的方程组，然后解新方程组求得册和2。例21. （07XX第21题）：巳知数列%，论了满足% =2,4=1且<（22）,求数列%, 4的通项公式。解析：两式相加得a+，=q“+2i+2

18、则%+"是首项为+=3, d=2的等差数列，故a+，=3+2（n-l）=2n+l（1）而两式相减得 a” 一 = b“_i = （4_i 一 “_）则4“ 一 J是首项为 - A = 1, q=不 乙乙乙乙的等比数列，故c-g严af1 + h = 2n - 11111联立（1）、得1 由此得 = + 弓 +（5）"，"= + 5-（彳）"。“-勾=（3）2222分析 该题条件新颖，给出的数据比较特殊，两条件做加法、减法后恰好能构造成等差或 等比数列，从而 再通过解方程组很顺利求出明卜付”的通项公式。若改变一下数据，又 该怎样解决呢？下面给出一种通法。例2

19、2,在数列勺、如冲q =2,心1,且丁（nN+）求数列%;和也也7 =q+72的通项公式。解析：显然再把明川与z做和或做差巳无规律可循。不妨构造新数列4+劝"其中为 /Iwo的常数。则4+i + 瓯+1 = 2an- 6"，+ A（« + 他）= （2 + 2）an + （72 - 6应=（2 + A）（a + 学不）令 4=V 得4 =2或A, =3则4 +刃力为首项4 +他,q=2+2的等比数列。A + 2即4=2时，+2端是首项为4, q=4的等比数列，故4+22=4x41=4"4 =3时，勺+3%是首项为5, q=5的等比数列,故4+32 =5X5“-、5a + 2b = 4"朕立二式（ "" 解得q =3x4-2x5"，勾=5-4、L+3%=5"注：该法也可适用于例21,下面给出例21的该种解法解:构造新