数列型不等式放缩技巧八法

1、数列型不等式放缩技巧八法证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种:一 利用重要不等式放缩1 .均值不等式法例 1 设 Sn =J1，2+.2，3+、n(n +1).求证2n(n 1) S (n 1):.Sn 解析 此数列的通项为ak =qk(k+1),k =1,2，n.k k 11%nn 小 1、- k qk(k +1) =k +

2、-， k Sn Z (k+)，22k4k2，即n(n，一 2n(n 1) n (n 1):二 Sn :二-o二：二-222注：应注意把握放缩的度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式.a，bab _2过“度” 了! n2,若放成 Jk(k +1) (n 1) ,就放根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里22.a1 一 a , a1 一 an+p-z1-. (02年全国联赛山东预赛题)简析f(x)=工:11 4x 14x1(1-门)(1 -2 2例3已知a,b为正数，且1 -12 ,2x1n) =n (14(x = 0)= f (1) f (n) (1 -1)二n22n2n12=

3、1,试证：对每一个nWN精品资料-1 1间析由一十=1得ab = a+b, a bab = a + b24,而(a+b)n =C0an令 f (n) = (a +b)n -an -bn,则(a +b)n -an -bn 之 22n -2n + . (88 年全国联赛题)1 1a b又(a + b)( +) =2+ +之 4,故a bb a+ C：a2b + +C；anbr + +C；bn,f (n) =/个 + +Cnran-rbr +Cabn1 ,因为cn =c；4 ,倒序相加得1,n-1n 1r,n_r,r r,n-rn-1n-1n_1.、2 f (n) = Cn(a b+ab )+Cn(

4、a b +a b )+Cn (ab +a b),n而 an、b+ab2=i=an=br +arbnw=i =abn+a2b 之 2%anbn 之 2 下=2n4t,则1rn 1 r n r n r rnr n r nr r x2 f (n) = (CnCn-Cn-)(a b - +a -b ) = (2 一 2)(a b 一 +a 1b )2(2n 2)，2n*,所以 f(n)之(2n 2) ,2n，即对每一个 nN”,(a b)n -an -bn _22n -2nd.n例 4 求证 C： +C： +C：十一 +C： n，2丁(n 1,n= N).简析不等式左边 Cn +C2 +C； +C；

5、=2n -1 =1 +2+22 +2n- n 1n励2 22 T 2n 2 2 ,原结论成立.2.利用有用结论例 5 求证(1 +1)(1 +1)(1 +1尸(1+)v*2n +1.35 2n -1简析 本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质 Em(b a 0,m 0)可得a a -m2 4 6 2n 3 5 7 2n 11 3 5 2n -1一，l=一， (2n+1)1 3 5 2n -12 4 6 2n 2 4 6 2n2 4 6 2n 2111二(_)2 2n+1 即(1+1)(1+)(1 十一厂(1 +)v2n+1.1 3 5 2n -135 2n -1法2利用贝努利不

6、等式(1+x)n 1 + nx(nW N*,n之2,x1,x#0)的一个特例(1 +，)2 1 +2，工(此处 n =2,x =)得 2k -12k -12k -11, 2k 1= J(1,)N.2k ;加 1.2k -1 2k -17 2k -1kw，2k1注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全 国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：111证明(1+1)(1+)(1 +)(1+) 3：3n+1.(可考虑用贝努利不等式n = 3的特例)473n-2求证：简析n1 2x 3x ：；+(n -1)x - a nx5已知函数

7、 f (x) =lg,0 2.nf (2x) 2f(x)(x 00)对任意n w N”且n之2恒成立。(90年全国卷压轴题)本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西(n nCauchy )不等式 (aibi)2 Z a： b；的简捷证法:f(2x)2f(x)u Ig122x32x(n-1)2xan2x.2lg12x.3、(nfx a nxnn=1 2x 3x (n -1)x a nx2 :二 n *1 22x 32x - (n -1)2x a n2x而由 Cauchy 不等式得(1 1 +1 2x +1 3x + +1 (n -1)x +a nx)2(12 + +12)“1

8、+22x +32x + +(n1)2x +a2 m2x(x=0时取等号)Mn,1 +22x +32x + +(n1)2x+a n2x ( 0a 1),得证！例7已知a1=1,an+=(1+、)an+n. (I)用数学归纳法证明%之2(n之2)；n n 2(II/ln(1+x)0都成立，证明an e2 (无理数e定2.7182811) (05年辽宁卷第22题)解析 (II )结合第(I)问结论及所给题设条件ln(1 +x)0)的结构特征，可得11 .11放缩思路：an 1 (1 - -n)an = ln an 1 _ ln(1 )ln an -n2 n 2n2 n 2n,11_ In an 。于

9、是n n 2n 1n 1,1x (ln ai 1 -ln a _、(”一i 1i 1 i i2即 In an -In a1 :二 2= an :二 e .1ln an 1 - lnan n n11-)=- ln an -ln a _1 2n1-(-)nJ1L =21-1n22.注：题目所给条件ln(1+x)0)为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论2n n(n -1)(n之2)来放缩：111an 1 (1)an - an 1 1 M(1 一,-)(an 1)n(n -1) n(n -1)n(n -1)11ln(an 1 1) -ln(an 1) _ ln(1

10、):二.n(n -1)n(n -1)n 1nJ. 11=Z ln(ai + +1) -ln(ai +1) = ln( an +1) -ln(a2 +1) 1 一一 1 ，ii i(i -1)n即 ln(an 1) ：11n 3= an ：3e-1 ：e2.1111.例8 已知不等式万十万十十一 Alog 2 n, n w n ,n a 2.log 2 n表布不超过 log2 n的最大整数。设正数数列 an满足：a1 =b(b a 0), an E 卫工，n之2.n an求证an2b2，blog 2 n,n之3. (05年湖北卷第(22)题)简析当n之2时an 1log 2 n来进行有效地放缩;

11、 2 3 n 2引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点,有利于培养学生的学习能力与创新意识。1 n一一例9设an = (1 +一),求证：数列an单调递增且an aA0则bn4tan41 bn(n + 1)anb. ()以 a =1 +,b=i +代入( )式得(1 +)n* a (1 +-)n.n 1 nn 1n即an单调递增。以 a =1,b =1 +代入( )式得 1 (1 +)n = (1 +)2n 4.2n2n 2 2n此式对一切正整数 n都成立，即对一切偶数有(1+1)n父4,又因为数列an单n调递增，所以对一切正整数n有(1 +1)n 4。n 1c .

12、注：上述不等式可加强为 2 E (1十一)n 3.简证如下: n利用二项展开式进行部分放缩：an =(1+1)n=1+C； )+c： J2+C：，.nn nn只取前两项有an _1 C：_k 11 n n -1Ck 一 = _ 一 n k I i n k! n n11 =2.对通项作如下放缩：nn - k 1111 =n k! 12 22k一11故有an 1 12,一2 2.4:2（1/2产2n 21-1/2:二 3.上述数列an的极限存在，为无理数 e；同时是下述试题的背景:已知i,m,n是正整数，且 1iwm(1+n)m.(01年全国卷理科第 20题)1简析 对第(2)问：用1/n代替n得

13、数列bn :bn =(1+n尸是递减数列；借鉴此111结论可有如下简捷证法： 数列(1 + n)n递减，且1父i M m (1 +n)m。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决!详见文1。部分放缩一111例 10 设 an =1 +,a 至2.求证：an 1,.一 1111有（i）an，n+2； （ii）+ E1 （02 年全国高考题）1al1 - a21 an 2解析(i)用数学归纳法：当n=1时显然成立，假设当 n2k时成立即ak之k + 2,则当 n = k +1 时 ak4

14、 = ak(ak -k) +1 之 ak(k +2 k) +1 之(k +2) 2 +1 k + 3 ,成立。(ii)利用上述部分放缩的结论ak书之2ak +1来放缩通项，可得ak 11.20 1)=k 1k 1k 1-11ak1 _2 一 1) _2 _ 4 = 2- ,ak12n n1 -(-)n .1.112121 aii1 2i1 4.121 一一2注：上述证明（i）用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩:ak+至（k+2）（k+2 _k）+1 k+3 ；证明（ii）就直接使用了部分放缩的结论ak中22ak+1。三添减项放缩上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。

15、例 12 设 n 1, n w N ,求证(2)n 工83 (n 1)(n 2)2c3 c1c简析 观察（一）n的结构，注意到（一）n =（1+ ）n,展开得 322(n 1)(n 2) 6=,81 n 1 12 13 1n n(n1)(1 + ) =1，_ +Cn +51上1+L22222328即1)n(n 1)(n 2).得证.28例 13 设数列an满足 al =2,an+ =an + （n =1,2）（ I）证明 an A J2n +1 对ana一切正整数n成立；（n ）令bn =q（n =1,2,），判定0与b+的大小，并说明理由（04年重庆卷理科第（22）题）简析本题有多种放缩证明

16、方法，这里我们对( I )进行减项放缩，有法1用数学归纳法(只考虑第二步)a2k =a2 +2+2 2k+1 + 2 = 2(k+1) + 1 ; ak2 212 .122法 2 a n 1 = an 2 an 2 = ak 1 - ak 2, k = 1,2, ,n -1.an则 a2 -a12 2(n -1) =- a22n 2 2n 1 = an% 2n 1四利用单调性放缩，-2如对上述例 1 ,令 Tn =Sn -(n 1) 则 Tn书-Tn 7(n +1)(n+2) -n- Tn 由,，Tn递减，有 Tn 4 / = V2 2 0 ,故 &(-.2111再如例5,令Tn2n 2.2n

17、 1 , 2n 3(1 i)(i _)(i .,) (1 .)t=3 5 2n -1 贝U.2n 1Tn一 _21即Tn 中,二Tn递增，有Tn之Ti =下A 1 ,得证！ . 3注：由此可得例5的加强命题（1+1）（1+1）（1+2）一（1+）之逆42万.并可改352n-13造成为探索性问题：求对任意n之1使（1+i）（i+1）（1+1）（1 +1）k42n+1恒成立的 35 2n -1正整数k的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试!2.构造函数例14已知函数f (x) =ax # 的最大值不大于 ，又当xW；,5时f(x). ( I ),，一、一1、1求a的值；

18、(n )设0 cai &,an+= f(an),n w N*,证明为 不白.(04年辽宁卷第21题)3 c 31 c 11解析 (I ) a=1 ； ( n )由 an. = f (an),得 an = an a； =(an -)2 + 0.用数学归纳法(只看第二步)：ak卡=f(ak)在akw(0,)是增函数, k 11131ca xn +.xn /则得 ak%:)=m-2(、)例15 数列kn 由下列条件确定：x1 = a 0,证明：Xn之2总有xn之ja； (II)证明：X门22总有*占4+ (02年北京卷第(19)题)1 a解析 构造函数f(x)=，x+a 易知f(x)在夏a, )是增

19、函数。21 xj当口 =卜+1时*日=1 xk +电i在内,收)递增故xk书 f (Ja) = Va.八 xk J,1 a ，一一、， 一 1 a、l . . . L ,、.一又(II)有xn xn书=xn ,构以函数f (x) = x i；匕在 国a,+*)上是2 xn；2 x；增函数，故有xn xn书=1 xn - 之f(VG) = 0,得证。2 Ixn J注：本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方设计迭代程序的根据；同时有 着高等数学背景一数列 Ln 单调递减有下界因而有极限：an . a(n：)f(x)=1x+g i是递推数列xn*=1 xn + 的母函数，研究其单调性 2 xj213

20、对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。五换元放缩例 16 求证 1 逐 0(n 1),则有n =(1 +hn)n nn(n -1) 卜： 0 儿 1),从而有 1 can =1+hn 1 , n 2 2, n=N,求证 a .4简析 令a=b+1,则b0, a-1=b,应用二项式定理进行部分放缩有an =(b+1)n =c0bn +Cnbn+Cr2bn2+C： ACnV nnnb2 ,注意到22 2 2 2n之2, n w N ,则n（n-1）b2登上b_ （证明从略），因此an上n （a1）2 一 44六递推放缩递推放缩的典型例子，可参考上述例11中利用（i）部分放缩所得结论 3k+23k +111进行递推放缩来证明（ii）,同理例7（11）中所得Inan4lnan三号一十七和n n 21111ln（an书 +1） ln（an +1） 2都是进行递推放缩的关键式。七转化为加强命题放缩如上述例11第（ii）问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可 以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题：11111+十一 +-.再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了1 a1 1 a21 an 2 2n 1（略）。1例18设0 a 1. an解析 用数学归纳法推n = k +1时的结论an+ 1,仅用归纳假设