解直角三角形的应用专题复习

1、解直角三角形的应用既是初中数学的重要内容，又是今后学习解斜三角形，三角函数等知识的基础，同时，解直角三角形的知识又广泛应用于测量、工程技术和物理之中，解直角三角形的应用题还有利于培养学生空间想象的能力。因此， 通过复习应注意领会以下几个方面的问题：一、解直角三角形的重点是锐角三角函数的概念和直角三角形的解法。 前者又是复习解直角三角形的难点，更是复习本部分内容的关键。二、中考导向掌握锐角三角函数和解直角三角形是进行三角运算解决应用问题和进一步研究任意角三角函数的重要基础。因此， 解直角三角形既是各地中考的必考内容，更是热点内容。题量一般在4%10%。分值约在8%12%题型多以中、低档的填空题和

2、选择题为主。个别省市也有小型综合题和创新题，几乎每份试卷都有一道实际应用题出现。1. 解直角三角形有以下类型：已知两边先用勾股定理求出第三边，再求三角函数值，最后求出角已知一边和一锐角先求另一锐角，再由边角关系求其余两边典例分析：例1在Rt ABC中，C 900, A 30,b3,解这个三角形.解法一 : C 900, A 300,c 2a.设a x,则c 2x.由勾股定理彳导x2 (J3：)2 (2x)2/. x 1.a 1,c 2x 2. B 900A 900 300 600.解法二 a b tan 3003 3 1.3c .a2 b2 J2(.3)22. B 900300600说明：本题

3、考查含特殊角的直角三角形的解法，它可以用本章所学的解直角三角形的方法，也可以用以前学的性质解题.巩固训练：分别由下列条件解直角三角形（ C 900 ）(1) c 8, B450;(2) b 6石，B 60° (3) a 4,c 472;(4) a ,2,b 、,6.解(1) A 90°B 90°45°45°sin A A 90°a csin A 8 sin45°4j2.b a4及。B 90°60°3°°。b6,363 _x12sin Bsin60,32a°1sin A -.

4、a csin A 12 sin30 12 一 6.c2(3) ; sin A424,c 4 J2, sin A.4、22A 45°.B 90° 45°45°.b a 4.(4) tan A a, a b12v2, b 6 6,. tan A A 30°. B 90°°°°A 903060 .a2 b2 c2,c -2 6 2V2 .说明：本题考查直角三角形的解法，解题关键是正确地选用关系式.易 错点是选用关系式不当，造成计算错误或增大结果的误差。2.应用解直角三角形知识解决实际问题:例：直升飞机在跨江大桥

5、 AB的上方P点处，此时飞机离地面的高 度PO=45眯，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 分别为0c =30° , (3 =45 ,求大桥的长 AB.【分析】如图所示，要求AB长，先设法求出边AO与BO的长，然后相减即可，由条件可得 PAO 30 , PBO 45 ,又因为PO=450 米，可选择上述两特殊角正切分别求得 AO与BO.【解】由题意得，PAO 30 , PBO 45 ,Q-PO tan30 ,PO tan45 , OA 450450%, OB 450450,OAOBtan 30tan45AB OA OB 450( . 3 1)(m)答：大桥的长AB为45

6、0(73 1)米.(强调解题完整，要写“答”，注意单位，这些都是中考失分的重要因素)OB 400 米 A变题1图变题1:直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30和45 ° ,求飞机的高度 PO.请大家自行分析解决，注意方程思想的运用.（本题应注意方程思想的运用，可设所求PO长为x,由45度角的正切或直接由 等角对等边”可求得OB也等于x,然后再由30度角的正切列出方程，即叵,熟练后也可以直接列V3x x 400, x 4003所以 x 200& 200(m)变题2直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点

7、处，从大楼的 顶部和底部测得飞机的仰角为 30和45° ,求飞机的高度PO.变题2图将问题转化为两个直角三角形组合图形中加以解决，可割可补(本题会出现两种不同解法，割或补，即过 A作ACLPO,要求PO 长，止匕时CO=AB=200 ,只需求出PC即可；或是过P作PC垂直 BA延长线于点C,求出AC。不管哪种方法，必须注意所设未知数 是哪条边，如果不是直接设PO为未知数，则一定要注意最后的结果 必须是PO的长，结果为100V3 300(m)变题3:直升飞机在高为200米的大楼AB200D变题3图左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45。，测得 大楼底部俯角为30° ,求飞机与大

8、楼之间的水平 距离.找出等量关系，列方程.（列方程关键在于找出等量关系，本题可以以AB长为等量关系，充分利用好45度角的特点， 即PD=AD,如果设PD=x,贝U AD=x,由30度角可表示BD 旦x ,3从而可以列出方程x x 200, x 300 100V3(m)；设BD=X ,则 3AD=PD=200-x ,bx 200 x,得 x 100V3 100,不能忘记求 PD）根据以上解题过程，列举四题中三个示意图，分析归纳这类问题的共同点.从而了解数学建模及方程思想，并归纳出这类图形的结构特点.规律总结：（将例1及3个相关变题中的图形加以分析，从每个问题所提供 的条件特点，结合图形结构特征，

9、可归纳出这类问题：（1）示意图为有一个公共边的两个直角三角形，分布位置有两种，位于公共边同侧或异侧；（2）所给条件一般为两角一边，且边一般为已知角的邻边或对边（非直角三角形斜边），此时选用的三角函数关系多为正切）O4变 B变题4: （2008桂林）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去 A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角 为30 , B村的俯角为60 （如图）.求A、B两个村庄间的距离.总结：通过以上题目，重点是让大家掌握如何把实际问题转化为 数学问题，数学建模思想必不可少，具体操作方法就是抽象出几何图 形，就本课而言是主要是两个三角形的两种不同组合图形。此外在解

10、直角三角形中也渗透了方程思想。（1）数学建模及方程思想从实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题求解；解直角三角形常结合用方程。（2）解题方法小结A.把实际问题转化为数学问题的两个方面；（图形转化，条件转化）B .把数学问题转化为解直角三角形的处理方法.（构造直角三角形）（将实际问题转化为数学问题，关键要画好示意图，从实际问题抽象 出数学模型，如果是单个直角三角形，则直接解直角三角形，如果是 一般三角形，甚至是梯形或组合图形，则通过作高将其转化为直角形 再求解，而解直角三角形的常用方法是结合方程进行计算）联系实际，对问题情境的理解需要具有一定的空间想象能力，逐步从实际问题中，抽象出数学

11、模型，将实际问题转化为数学问题来解决。变题1 与例 1 是交换题目条件与结论，情境不变，分别求桥长与飞机高。变题2-3 情境有所变化，由测桥变为测楼，所求问题是飞机高及飞机到楼房距离。以上问题的解题关键在于转化实际问题为数学问题，着重是示意图的画法（包括已知什么和求什么），进而利用解直角三角形知识解决问题，并在解题后及时加以归纳，挖掘图形结构及条件的特点。例 3 已知如图在直角梯形 ABCD 中，AB/ZCD, B 60,BC 18单曰 F 分别为 AD、BC的中点，EF 14cm,求两底 AB、CD的长.解：过C作CG AB于G交EF于H.E、F 分别是 AD、BC 的中点，. EFABHF

12、GB在 Rt cbg中， B 60,BC 10cm.GB BC cos60 1 105(cm).2.HF为CBG的中位线，I -HF GB 2.5(cm). 2CD EH EF HF14 2.5 11.5(cm),AB AG GB DC GBII .5 5 16.5(cm)答：AB的长是16.5cm, CD的长是11.5cm.说明：本题使用“转化思想”，把分散的元素，通过添加辅助线，集中到一 个三角形中，然后再解此三角形。一种重要的方法与途径是使用割补法， 将图形 分割或拼补成一些直角三角形，再注意寻找公共边与公共角进行过渡.例 3 在 ABC 中，AB V6 J2, A 45 , B 60

13、,求 AB 边上的高CH.分析 注意到CH AH ,在Rt CHB中，构造关于CH的方程.解：设 CH h ,在 Rt AHC 中，AH CH h ,于是 HB AB AH (娓 22) h ,所以有关于h的方程 tan60 、/3, (、.6.2) h解这个方程，得回灰，J3h h,.h 工 2)6.3 1说明 这是一个利用三角函数建立方程的例题，是方程思想在解直角三角形中的应用.在解直角三角形中，根式运算起着重要的作用.本例中关于柄垂员)的计算如果是这样：3 13( 6.2).3(.6 2)( . 3 1)3 12.3(3 26 /62)2失二6,就不是好的计算过程，如果看到灰衣氏(M 1

14、)就有简便的算3( 62)(3 1)6(3 1)6(，3 1),.小结：常见的解斜三角形基本图形1 .当所求的角或线段不在直角三角形中时。应怎样处理 ？在求线段的长或角的大小时，若所求的元素不在直角三角形中,则应将它转化到直角三角形中去.这种方法叫做“化斜为直”法。转化的途径及办法 有很多，如可作辅助线构造直角三角形， 或找已知直角三角形的边(或角)来替代所要求的元素等.2 .利用解直角三角形解决有关问题时。常用的辅助线有哪些？(1)作高线，将斜三角形中有关边角的计算问题转化为直角三角 形的问题.(2)连接对角线或作垂线，将四边形中 有关边角的计算问题转化 为解直角三角形的问题.巩固训练：1.某船自西向东航行，在 A处测得某岛在北偏东60。的方向上,前进8千米测得某岛在船北偏东 45。的方向上，问(1)轮船行到何处离小岛距离最近？(2)轮船要继续前进多少千米？A8千米DC2海岸上有A、B两点相距120米，由A、B两点观测海上一 轮船C,得/ CAB =60°/CBA = 75°,求轮船C到海岸AB的距 离。3铁路路基横断面是一个等腰梯形，若腰的坡度是i=