十二种方法推导点到直线地距离公式

1、实用标准文档十二种点到直线距离公式证明方法用高中数学知识推导 点到直线的距离公式 的方法.已知点P（X。，Y0）直线l : Ax+By+C=0 （A、B均不为0）,求点P到直线I的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线）1.用定义法推导文案大全点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线为垂足为 Q由l垂直l ' l的垂线段的长，设点P到直线 可知l '的斜率为B/A.1冏万程丹-¥广?仅芍，联立 方程组制留交点Q 1旦蜜些.|PQ| t一江r小的”A1矛1 -AJXp-ABvnAC ¥最-BABx) BC p 弓问 A'B力 =AJ(Axc

2、+BvnC >?+B?|AXpt ByntC)p (A/ R 一A，由fpQi= JAg+Byo+gVA4印2,用设而不求法推导过已知点P (:见V。作已知直爱f： Ax + By+C二口的垂线，没垂足为QHyI 则L >'B，化茴得Ax+By4CO向y-y乂端=0Agx J 出¥ - V-A3+Byo+Q 由上式得二.，仁H还仔力心丫/工庭螃喈L.vW毋3,用目标函数法推导点 P(>yj 到直线 /：Ax+By+C=O 上 任翦一点的距南的最小值就是点P到直 线J的质程o左f上取任意点MO,V),用 两点的卷岛公式有真1=仪对“恒¥丁 为了利用条

3、件Ax，B*C=O,将上式变形 一下,配凄原敢处理的，(A34臼/收-乂/川丫-如弓=AJ( x-xj?4 B1 v tJ&A 的一y十 BM-/ -A(x-xJ+B(y-yt>F+!Ay-yJ-B(x-xJ F 学 lAfx-Xo) + Biy-yJltAxc+BYo+C)2-? (Ax0+Eyfl+CO).:.“仅一端。加7/ M ±ByC.l .VA，S当自仅当A(y-/；-a(x-xJ=0的可等 号所以最小值就是dVAOE34,用柯西不等式推导“求证：(a2+b2 )(c 2+d2)>(ac+bd) 2，当且仅当 ad=bc,即 a/c=b/d 时等号成立

4、。”实为柯西不等式的最简形式，用它可以非常方便地 推出点到直线的距离公式。设点M kM为百戟*A*+Bv+C=O 上任意一点,li惫急PRo.G到直线1的 距离为dr Ay|PM| =书YTo) 了A|Ptvrf=8/电+里有蚪_(By-By/)口上>By- Byf-Axc-Byc-C；".”扁胃叱日¥01,当且仅当Ct9-工- h旦河等号成立.5.用解直角三角形法推导设直线l的倾斜角为同过点P作PM/ y轴交l于G(xi , yi),显然X=x。,所以yi_AxgtC/.|PG)=|y0+jbQ易得GPH=y冢tCPH =180'5在两种情况下都育rg；&#

5、39;£ GPH =闻9等.-.COSZ GPH =d-|PH|=|P6Hcosz GPU 总见空近£ 卜 tj3L .=包口在¥d46,用三角形面积公式推导两点间否离公式的推导过程中.使用 隆维思想喝寤直角三角膨，受此启示.当 A-BO时,过点PMyJ的两条直线.分0J 柞平行于x轴小珈的两条直找分别交直 线人Ax十By十CH于点M g By.：上 Ng -婚C ),则同牛帆十日警C kJ|NP同加十 A*C J vMPxNP,D二在Rt A g中，由直角三角形的面积公 式得；|MPP|MP|= J3|POb仔皿网/|PMp十丙P_ lAxp+By+CjX+B7

6、.用向量法推导由酉或，的方程优(A,B 不能的时为。)，得直线的法向量为联 NAB).没过点P*,VJ作邕线E的垂线, 垂足为H (x,yh则向量PFTgA制 *-两/；¥/=入所以 x =Xo+kAt y'-V=XB 目 |PlT|= Vijr-XojyJ3 =k USt5r，又因为点H(x" I在直线E上. 所以就有:A< + By*C=Oi 即 Atxa+kAl,hB (Y十 hB，+C=。,X(Axo+8yo+C) , 又因内AB不同时为必'入=_=9±5%+以' Aa+B2a I PH' |= VE?=5i(Vr-v

7、35-WVAr+b3-=1一郎期±Q i va 4 a即d二|叩十亚dC伊i炉8.用向量射影公式推导没R是直线上的任意一点，没印此 直线的万国向寻为吊=JB.A),则直线 的法向为可=(A田匕阿 =(x-Xfr.v-VJ_ lA<x-xQl|+B(y-yJlVA2+S7"iY点评：向量是一种很好的工臭，用向 量处理，既邂开了分类讨论，又体顼了平 面向量的工性,会有事里功倍的效果。« 9.利用两条平行直线间的距离处处相等推导如果过点P仅No)作I：Ax+By+CxO 的平行线;Ax十By-Axo-By产。，那么直线 V上任意一点到/的距冏都等于点P到直 线的距

8、离，既然可以任意取点,我们应 漫法庭这个点到直线/的距理容招求存. 选取直线r与乂轴的交点g包嗖血， 0),0 GZ的垂线,垂足为乩设，与x 轴相交于点F 咪阳,容易求得FG -她坐处&能a与直线99倾斜角B相等重互补,. Tana二 ±tang- 1产哈”舄从而 d=|GH|二Al|FG|sina>| 1A/噤±£1_ alMl.I%皿By/q一10.从最简单最特殊的引理出发推导引理：坐标原点到直线I； Ax+8y+C=0 的距离 h= 10|_一.照证;先M京点到直绫的距岗这一特 殊情形入手,设直线/与、柏、v地分别交 于点E、叱则点E.F的坐标

9、分别盘言.OMOl等)向三角形面枳相等$ E F大二Loe of籥h五lci.2VAO 5r由平行宣战系求出过点P风Nd且目， 平行的直线09万程；Ax +即-做厂的产口, 设直境/和分别与X辅交于点E、G.SL 点a-10)G-四噢，6,由/常* d- EG-5-3曲上h OE -a(>E n |A|1JCL. IC|_ |Axa±By0+Cj|A| 5/#+/ f S7严11.通过平移坐标系推导】如定点PgyJ 口， 是坐在原点就好了，丫为此，我们以点或飞 JJ.yj为原点律直直角卜/句PJ 坐标系xdv)并在坐标汩巴¥'分别与'1 、/坐标轴x

10、/平n设直线/在新坐标系中记 为没任恿点G在新旧坐标系中的坐标分 别是仅:¥)*,怅 则由=otf1 +U1百典 tx,y)=冗*Vj+tCvL，X=2+x'，V=Yc+V,、 直线，在新坐林系中的方程是:AX+xHB (v'+¥d+C=Ot 即 Ax'+By'十Ax0+Byc+C=0. 点o*到直线r的距离就是点p【心”到 直度工的距离，由引理得g jAxBvo+CI 一12,由直线与圆的位置关系推导】当以点为反 心的13与直线！： Ax+By+CO相切时.IE 的半径就是点P1如y&到 直线? ；Ax-rBy+C=O的距 圈.子是，问题转化为当 以点PUoT。为圆的IE与直线1只茸一个交点时.求圆的半径.朕立万程Ax十By十CE (x-xJXyT/二炉，消V整理得关于x