十五讲样本及抽分布

1、1 / 1第六章样本及抽样分布概率论和数理统计都是研 究随机现象统计规律性的学科， 但是它们在研究问题的方法上 乂有其自身的特点.在许多实际 问题中，要想全面地了解所研究 的对象的整体情况往往是不现 实的，只能通过试验得到它的局 部信息，由于局部和整体是密切 相联系的,还是可以利用这局部 信息来推断整体特性的，这就是 数理统计方法的基本思想.第十五讲样本及抽样分布数理统计讨论问题的出发点是试验数 据，它的基本任务是研究如何对随机现象进 行观察或试验以获得具有代表性的局部数 据，以及如何对收集到的局部数据进行整理、 分析，并对所研究的对象的整体特性做出尽 可能准确的推测和判断.数理统计的内容十分

2、丰富，大体上可分 为收集数据和统计推断两个方面：(1)收集数据研究如何对随机现象进 行观察或试验，以便获得能够很好地反映整 体情况的局部数据.其内容包括抽样技术、 试验设计等.(2)统计推断研究如何对收集到的局 部数据进行整理、分析，并对所考察的对象 的整体特性做出尽可能准确可信的推测和判 断.其内容包括参数估计、假设检验、方差 分析和回归分析等.统计推断是数理统计的 主体.统计推断问题举例:某公司要采购一批产品, 每件产品不是合格品就是不合格品，但该批 产品总有一个不合格品率P。由此，若从该 批产品中随机抽取一件，用X表示该产品是 否合格，不难看出X服从(0-1),但分布中 的参数P是不知道

3、的。一些问题：(1)P的大小如何；(2) P大概落在什么范 围内；(3)能否认为p满足设定要求(如 p <0. 05)o1 .随机样本总体:试验全部可能的观察值（或研究对象的 全体）；个体：每一个可能观察值（或组成总体的每 一个元素）；容量：总体中所包含的个体个数；总体中的每一个个体是随机试验的一个 观察值,可理解为它是某一随机变量X的值, 研究所有个体的观察值出现的概率，就是研 究随机变量X的分布问题。因此，一个总体 对应于一个随机变量Xo对一个总体的研究 就是对一个随机变量X的研究，X的分布函 数和数字特征就称为总体的分布函数和数字 特征。今后将不区分总体与相应的随机变量, 笼统地称

4、为总体Xo例如，假设一射击手的射击水平稳定， 则射击手的所有射击成绩（从前、现在和未 来）可称为“总体”，而一次射击的成绩称为 “个体”。显然，一次射击的成绩好坏由射击 手的射击水平即射击成绩这一随机变量的分 布决定，而射击手成绩的“总体”服从同一 随机变量分布。在数理统计中，人们都是通过从总体中 抽取一部分个体，根据获得的数据来对总体 的分布得出推断的。被抽出的部分个体叫做 总体的一个样本。样本：从总体中抽取的部分个体； 样品：样本中的每个个体；§1随机样本当总体的容量有限时，称为 有限总体；否则，称为无限总体.应当指出，样本是具有二重 性的.一方面，抽样前样本中的 每个样品的取值

5、都具有随机性， 即每个样品都是随机变量；另一 方面，抽样后样本中的样品都是 确定的数值.在理论研究中，我 们把样本中的每个样品都看作 随机变量，总体X的一个容量为 n的样本通常是用n个随机变量 （X“X2,X”）来表示,进行一 次具体的抽样之后得到n个确 定的数值（为,42,称为样本 的一个观测值，简称为样本值.一般，对有限总体，放回抽 样所得到的样本为简单随机样 本,但使用不方便，常用不放回 抽样代替.而代替的条件是样本容量：一个样本中所含样品的个数。为对总体分布得出合理的推断，人们常采用 简单随机样本进行分析。简单随机样本：设XI,X2,X”是来自总体 x的一个样本，若,x相互独立， 且X

6、”X,X”都与X有相同的概率分布， 则称,X.为总体X的一个简单随 机样本，简称样本。也可以将样本看称是一个随机向量，写成 (XPX2, -,Xn)o由定义得,若(X,X2,X”)为具有分布函 数尸的总体X的一个样本,则xpx2,% 相互独立，且它们的分布函数都是尸，所以 (xx”,X”)的联合分布函数为尸”(再,孙，/)=立尸(即乂若X具有概率密度了,则(XrX?,X”) 的概率密度为n/(再”2，一，匕)=1/区)-J-12 .统计量样本是进行统计推断的依据。在应用时，往 往不是直接使用样本本身，而是针对不同的 问题构造样本的适当函数，利用这些函数进 行统计推断。总体、样本、样本观察值的关

7、系：统计是从手中已有的资料一一 样本观察值，去推断总体的情况一一 总体分布。样本是联系两者的桥梁。 总体分布决定了样本取值的概率规 律，也就是样本取到样本观察值的规 律，因而可以用样本观察值去推断总 体。§ 2抽样分布因为X,X2,.”Xn都是随机 变量，而统计量g(Xl,X2，,Xn) 是随机变量的函数，因此统计 量也是一个随机变量.设Xi, X2, . . . , Xn是相应于样 本X,X2，,Xn的样本值，则称 g(xn x2,., xa)S g(X|,X2, .» Xn)的观察值。定义：设Xhx2，,Xn是来自总体X的一个样 本，g(Xl,X2，,Xn)是 Xi,X

8、2,.,Xn 的函数，若 g中不含未知参数，则称g(X,X2,Xn)是一 统计量。特别注意：样本方差与样本二阶 中心矩是不同的。常用的统计量：设(X1,X2,X”)是来自总体X的容量为的样本，称统计量1 (1)x = iyxf为样本均值;(2) 52=-£卜-幻2为样本方差;"1寸Z(X,M)2/-I= £(X/2X* + /)r-1= ±X-2X±Xi + ±X2r-1/-I1-= £x：-r-!=£xr-lS =一£(Xj-引 为样本标准差；1 (3)4为样本的k阶(原点)矩;(4) Bkf(Xj -

9、田为样本的k阶中心 /-I矩。样本方差的计算式：s'伐X；耳)-13=1)3.经验分布函数设(XX2,X“)是总体F的一个样本 用S(x)表示X'X2,X.中不大于x的随机变 量的个数，-8<工<8,定义经验分布函数 Fn(x)为7,(x) = S(x), -CO<X<00.n一般，设为,，覆是总体F的一个容量1/1为n的样本值.先将3,与，当按自小到大 的次序排列，并重新编号，设为则经验分布函数Fn(x)的观察值为0, W平.n1,若，若X. “XV'%川, 若XN %!).例如(1)设总体F具有一个样本值1,23则经验分布函数F3(x)的观察

10、值为0,£21,若XV 1,若 1 < x < 2,若2 < x < 3, 若xN 3.设总体F具有一个样本值1,12则经验分 布函数F3(X)的观察值为0,若x < 1,F3(x)= < 若I<xv2,1,若x > 2. *对于经验分布函数Fn(X),格里汶科 (Glivenko)在1933年证明了以下的结果：对 于任一实数x,当 f 8时Fn(x)以概率1 一 致收敛于分布函数F(x),即数学上用Sup这个记号表示“上 确界”，即最小上界。Ps lim sup |Fn(x)-F(x)| = 0 = 1n-x-»<x&

11、lt;oc因此，对于任一实数x,当n充分大时，经验 分布函数的任一个观察值Fn(X)与总体分布 函数F(x)只有微小的差别，从而在实际上可 以当作F(x)来使用.1/1样本，则称统计量/服从自由度为/-I（课间休息）4.统计中常用的三种分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计 中常用到如下三个分布：/分布、t分布和F分布。（1）/分布 定义:设孙占,X”是来自总体N（O,1）的 n的尸分布，记为/ /（）的概率密度函数为：n Xc、.H”x>0-0x«08" |其中：LZx,（：）=、垢 2/分布的性质： 1）若/2 4伽）,则E（/） = ，D（x2） = 2/1,

12、事实上，因为X, N（O,1）,则：£（Xz2） = D（XJ = 1,D（X：） = E（X；） E（X：）f=l x4e Lbc-1 = 3-1 = 2而Jri = 1,2,所以：e（/）= e（£x；）= £e（x；）= ；oa2） = o（tx：） = £o（x：） = 2 r-1j-12） /分布的可加性：设婷/（%）,£/（/），且疔与淳相互独立，贝IJ：+2）。3） X2（n）分布的上。分位数有表可查。4）当n充分大时，近似地有/（）x+ J2" -1）其中，%是标准正态分布的上。分位点。（2），分布定义:设x n（oj

13、）, 丫/伽），且x与y相互独立，则称统计量：t = 2L所服从的有分布是自由度为的/分布，记为7 «），/ 、分布又称为学生氏（Student）分布。/ ，分布的概率密度函数为：/i2:r（x, n）= :竽）（1 + 二）-竽一-oo<x<-hx）o，分布的特点（性质）：1） «X；）关于K=o对称"（K"）在x=0达最大值,/*；）的X轴为水平渐近线；2）若7«），则心 1 时，E（T） = O;n> 2时.，D（T）=/一；n-23） /（“）分布的上。分位数有表可查，且I4) limt(x,n) = ,-e 2 ;即->co时,，分3 而布fN（OJ）, 一般地，当 >45时，分布与NQ1）非常接近，上a分位数可用正态分布近似。（3）尸分布定义：设乂/（?），y/（），且x与y相互独立，则称统计量产=卫”服从自由 Y/n度为