高斯公式通量及散度

1、第十章第大节彩斯公式通量与微波推广Green 公式=o Gauss 公式一、高斯公式*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件三.通量与散度一、高斯（Gauss）公式定理1.设空间闭区域C由分片光滑的闭曲面Z所围成的方向取外侧，函数P.Q./?在C上有连续的一阶偏导数，则有=JJ Pd yd z + Qd zd * + /?dvd y （Gauss 公式）下面先证：a r，川g或 dxdydz = jjjdxdy也/ OOOQ。A* f证明：设c 引（xj）vz（xj）w二2（x,y）, 为XY型区域，Z = 21 US2 US3,2i ： S2 : z = Z2（x,y）,则JJf -dxdjd

2、z=ff dxdy（Z2y）JJJCBzJ J%Jq&v）&=JJ/）氏（工乂 （x,y）-R（X, y, q（X, y） ） d xd y仃Jd*dy=（瓜 +瓜 + 瓜）RdxdyR（x,y,Zj（x, y）d.vdv =JJ）R（x. y, z2 （x.，）dvdy -几 厂 o o o tsi A 11 Tf xsg R所以J/Jq d xd yd z = 1J、Rdxd y类似可证JJJq=JJ Pd yd z若C不是XY-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个XY-型区域,在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立.dxd yd z = J/、Qd zdx三式相加，即得所证G

3、auss公式：fff 上 dQdRI I （ + + ）dxd ydz“Ja dx dy dzZ + Qdzdx+/?d xdy 0 0 0-0-加Pdyd/例 1.用Gauss 公式计算(x - v)cLvd v+(yzXd vdz其中Z为柱面f + V2 = 1及平面Z = o 9 z = 3所 J闭域。的整个边界曲面的外侧.解：这里尸= (y-aA.Q = O,我= x-y原式=JJJaG-N)dxdydz任坐标)/利用Gauss公式，得2 = z2介于z = 0及6+加(1z)rdrd(9d zQ J r3 . 9万=I dO rd r I (rsinOz)d?=Jo J。 Jo2思考

4、：若z改为内侧，结果有何变化？若X为圆柱侧面(取外侧),如何计算？ OOO1 If Tf 4.W例2.利用Gauss公式计算积分/ =北(*2 cosa+ y? 00s+/ cosy)dS其中Z为锥面z = 之间部分的下侧.：Z解：作辅助面2：Z = ,(x,y)w Dxv :x2 + y2 W/J 取上侧记二七I所围区域为C,则 在、上a = /7 = 1八q2JJJ Jx+y + z)dxdydz -h2dxd v o o 1If Tfcostr + 厂 cosp zT cosy )d S/ = 2jjJc （x + y + z） d Adydz -利用重心公式.注意x = y = 0=2

5、 JJ/q Z d x d ydz 一n h=2f 2 兀 d dz 乃h“Jo1 A4=7T h2y例3.设Z为曲面z = 2 - x2 - y , 1 W z W 2取上包求 / = JJ、.（x Z + x）dydz-x-yzdzdx-xz解:作取下侧的辅助面22z ： Z = 1（x,y）w D :x +厂 Wl rflkz/= ff -JJ 用柱坐标用极坐标=JJJ dAdy&_（7）jj/f -）dxdyty=J ：心,J 7 dN 一 J ：8s2 OdoJ：/ d13兀12例4.设函数y(x,y)在闭区域。上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green )第一公式42ar a

6、” dvdx2dy2 dz2)dvd a d yd zdvcos or +cos p + cos y I d S( dx dy dz )P = u dx dv Q = 3y dvR = 14 dz“产 z 6 dv du dv du dvIll (h+)dxd yd zJJJn ax dx dy dy dz dz其中Z是整个c边界面的外侧.分析：高斯公式Hf (” +丝+ K)dxd、dzJ。dx dy dz=JJ Pd yd z + Qdzdx+ TCdxd y-/ o o o MA as a8ydu t a j、f证：令。=，Q = , R = m .由图斯公式得dx dy dzCti d

7、v 合u dv Ct/dv ,+不或+石提+向最版dyd二rr (、=ji - dvdz + dzdx + qavjvJ I Sr dv dz ， XF/uvdvcos a + cos p + dy dzcos/dS移项即得所证公式.(见P171)60 0 0 0 ，A 14 Tf -一为y(*. y, z) = P(x, y, z)，+ Q(x. y, z)./ + R(x, y, z)k设E为场中任一有向曲面，则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知，单位时间通过曲面E的流量为 = JJ Pd ydz + Qdzdx + /Cdvd y 由两类曲面积分的关系.流量还可表示为 = JJ ( Pe

8、osta + Qcosp + Rcosy )d Sr=爪二彘1s若E为方向向外的闭曲面,则单位时间通过E的流量为0=Pd yd z+ Qd zdx+/Cdxd y当中 0时,说明流入E的流体质量少于一流出的，表明内有泉；，*1二：当中 0时,说明流入Z的流体质量多于 流出的，表明Z内有洞；*”当=0时,说明流入与流出E的流体质量相等.根据高斯公式,流量也可表为O= Il+ 多 +dxd vdz, JJ&Xar dy dz) ,超 z a7 v仪 Sr dy dz) ，(OP CO Clh=hm -(dGwC)Q_*认 ex cy cz J (H), dP dQ dR、=(+羡)河 ox dy

9、dz此式反应了流速场在点A/的特点：其值为正，负或0, 斤别反映在该点有流体涌出，吸入，或没有任何变化 di，0表明该点处有正源， divKvO表明该点处有负源， div才=0表明该点处无源， 数度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场彳处处有div7=0,则称彳为无源场.例如.匀速场屋，%,也)(其中八.八,人为常数), 人 ，&入 J 4一 div v = 0故它是无源场.*例5.置于原点，电量为q的点电荷产生的场强为一 q 一 q . E = F =为(x,y,z)(工。)r r求div巨解:gD+素/m)=q2)22 c 2r -3y r -3z二 十二2。2 r 3a1+(r*O)计算

10、结果与仅原点有点电荷的事实相符.-O。991! 1 T f itw M*内容小结1.高斯公式及其应用 公式：尸d yd z + Qd zdx+Adxd y - ffr / dP dQ dR、=ULk益dz 应用：（i）计算曲面积分（非闭曲面时注意添加辅助面的技巧） （2）推出闭曲面积分为零的充要条件：JJ Pdydz + 0dzd.r + /?dxd y = 0 dP dQ dRT + + 一 =0 dx dy dz 2” RQ 02 .通量与散度设向量场N=(P,Q,R), P、Q,艮在域G内有一阶连续偏导数，则向量场通过有向曲面2的通量为jj/GdSG内任意点处的散度为 一 dP dQ d

11、Rdiv A =+dx dy dz曲 / O 09 O思考与练习 设x： r +.$+二2 = a24gH则.Q为E所围立体，T? +F+z2,判断下列演算是否3户3(1)yd z + 彳d zdx +dxd y rrr/爪/d1ydz +/d z d x + z3dvd y=；几3(3 + /+%2 如dv3/(2) JJ -3 dydz +、dzdx + 3dxdys r厂rWM(7)+l(/)+(7)ldv=Z O 099。1 HATf 4.W作业PI74 1 ,(4),(5)；2(2)；3； 4Iaz * o o o 高斯(1777 7855)德国数学家，天文学家和物理学家，是与阿基米德,牛顿并列的伟 大数学家