高数考试试卷及答案

1、精品文档东北大学2、函数 f(x) 1装 订 线 内 不 要 答 题课程名称：高等数学 试卷:A答案 考试形式： 团置 试卷：共2页授课专业： 管理、电子商务、计工、自动化、材料、环境考试日期：2009年12月29日题号一二三四总分得分阅卷 人一、填空题(每题4分，共24分)"口121n11、极限 lim 22L 2n n2 1 n2 2n2 n2xe 1 x32、已知泊 -1,贝Ua 一x 0 3/T ax2 1_2一x 2t arctant 33、曲线2在t 0处的切线方程为x y 5y 2 3t ln(1 t2) . _ ,、一4、已知函数f(x) (x 1)(x 2)(x 3

2、),则f (x) 0的实根个数为_2 5、曲线y 3/X的拐点为_(0,0) _6、定积分41 x2(1 sin x)dx _ _二、选择题(每题 3分，共21分)1、极限 lim xs1nx B x 0 /1(A). 0(B) 1(C) e(D) e（A）极限不存在X10,(B)x 0,在X 0处B 其它.连续不可导3、设Xo是f （x）的极值点，则C(A) f (Xo)4、函数(A)(5、曲线(A)在(C)在(（C）极限存在不连续（D）可导0 (B) f (Xo)不存在(C)f （x。）0或不存在（D） f(Xo) c(c 0)1 、,、，一的单调减区间为x,0)Xe(B) 1,0) U

3、(0,1X B (C),1U1,)(D) 1,2）是凹的，在（2,）是凸的(B)在(,2）是凸的，在(2,）是凹的）是凸的(D)在(）是凹的6、设F（x）为f （x）的一个原函数，则下列正确的是(A) d(C) F7、已知1(A) ef(x)dx F(x)(x)dx f (x)f (x)dx 1,其中(B)I三、计算题（39分）1、（8分）讨论函数f （X）limn(B) F (X)dX f (x)d/f(x)dx f(x)f(x)cex,0,0x1,则c B 其它.(C) 1(D) 1 e2nX2nX的连续性，若有间断点，判别其类型解:1 f (x) lim - n 12n x2n xx,0

4、,1,1,X,1.1 处，limx 1f(x)limx 1(x)1,所以所以arctan xdx 2 t arctantdt arctant dt22t arctan t,2t arctant2 , t d arctantlimx 1limx 1f(x)f(x)limx 1limx 1x 1为第一类跳跃间断点1 处,lim f (x)x 1lim f (x)x 1lim f (x)x 11,2t arctant2 dtf(x)4、（8 分）lim xx 1lim(x 1limx 1x 1为第一类跳跃间断点2、（ 7分）求由方程xy tedt0解：对方程0xy tedt1,x) 1,f(x)xc

5、ostdt 0所确定的隐函数的导数0xcostdt 0左右两边同时对 x求寻得0xy /'、e (y xy) cosx 0解：设x20 f(x 1)dxdydx即dy dxxyye cosxxyxe3、（8分）计算不定积分arctan Vxdx解：设J7 t,则x t2,即dx 2tdt ,从而1(x 1)arctan、x20 f (x 1)dx ,其中t,则dx dt ,从而11 f(t)dt0tet211 t2 e2dtt21-dtf(x)01 f(t)dt?dtarctant5、（8分）求常数k的值使得曲线解：选x为积分变量，变化区间为k 2 2A k x dxk解得驻点kd2A

6、因为彗4dk22t arctan tt arctan t12 ,1 xx2xe ,f (t)dtx 0,其它.2 .与直线x k, x k 2, yk,k 2,面积元素dA x . . dA 取最小值，A k是积分上（下）限函数，故 ”dk1,0所围图形的面积最小。2 . 一dx,所求面积为2 2 k2 4 k 1 ,令-dA 0, dk0,贝Uk内唯一极小值点，即当k 1时，所围成图形的面积四、证明题(16分)1、(8分)设函数f(x), g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f (a) f(b) 0, ，.、 .一 ' '证明存在(a,b)，使得f ( ) f( )g ( ) 0.证明：做辅助函数 F(x)f(x)eg(x),则 4分F(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且F(a) F(b), - 6 分由罗尔中值定理得存在 (a,b),使得F'() f'( )eg()f ( )g'()eg()0.而eg()0,从而 f'() f( )g'( ) 0-8分x2、(8分)设函数F(x) o (x 2t)f(t)dt ,其中f(x)在(，)上连续，且单调减少，证明F(x)单调增加. xx证明:F(x) x o