稳态误差的计算

1、第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法项 目内 容教 学 目 的理解稳态及稳态误差的概念，掌握其计算方法和计算结果，进而熟悉减小或消除稳态误差的措施。 教 学 重 点稳态误差系数定义和典型输入信号作用下的稳态误差，即表35 ；减小或消除稳态误差的措施。教 学 难 点广义（动态）误差的概念和广义（动态）误差系数的计算方法，各种补偿措施。 讲授技巧及注意事项表达式推导、图形显示和表格总结相辅相成。3-6 线性系统的稳态误差分析线性系统的稳态误差分析3-6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差 系统响应的系统响应的稳态分量(例如tts的输出分量）反映了反映了系统系统跟踪跟踪给定控制信

2、号给定控制信号或或希望输出信号希望输出信号的准确度或抑制的准确度或抑制扰动信号的扰动信号的恢复恢复能力。通常用稳态误差来衡量。它与系能力。通常用稳态误差来衡量。它与系统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的统本身的结构、参数及外作用的形式有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素有关。本书只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差，即等因素所引起的稳态误差，即原理性误差原理性误差。 给定稳态误差给定稳态误差（由给定输入引起的稳态误差由给定输入引起的稳态

3、误差） 扰动稳态误差扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差由扰动输入引起的稳态误差） 给定输入量变化时给定输入量变化时，要求系统输出量以一定的精度要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用输入量的变化，因而用给定稳态误差给定稳态误差来衡量系统的来衡量系统的稳态性能。稳态性能。给定输入量不变时给定输入量不变时，需要分析输出量在扰动，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差扰动稳态误差来衡量系统来衡量系统的稳态性能。的稳态性能。 一、稳态误差的定义和基本概念 系统的误差 e(t)的基本定义为输出量的希望值与实际值之差。典型系统结构如图所示，其误差

4、定义有两种形式：（1）输出端定义法：式中： 为系统输出量的希望值； C(t)为输出量的实际值。（2）输入端定义法： 式中： r(t)为给定输入； b(t)为系统主反馈信号。 H（s）是测量装置的传递函数（通常我们认为是理想的），故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。)()()(tCtCter)(tCr)()()(tbtrteR(s)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sH图 典型反馈系统结构图1/H(s)(tCr-E(s)e(t)()()(sHsEsE误差的定义0510152025303500.20.40.60.811.21.41.61.82System:unti

5、tled1SettlingTime(sec):7.54System:untitled2FinalValue:1StepResponseTime(sec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sHstep(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35) ( )1rr tC ttC(t)=b(t)H(s)=1注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念注意：误差、误差响应、稳态分量、瞬态分量、动态误差、稳态误差等概念 1e tt( )C t ( )b tC tlim( )lim

6、 ( )( )11ssttee tr tb t 单位反馈情况：单位反馈情况：12501.671GGGss从图形和公式中体会误差和稳态误差一0510152025303500.20.40.60.81System:untitled1FinalValue:0.5System:untitled1SettlingTime(sec):7.37StepResponseTime(sec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sHstep(feedback(tf(50*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),2),0:.01:35)C(t)r(t)=1(t)H(

7、s)=2 re tCt( )C t非单位反馈情况：非单位反馈情况：lim( )lim( )( )0.50.5ssrttee tCtC t 12501.671GGGss从图形和公式中体会误差和稳态误差1( )2rrC tH稳态误差的定义稳态误差的定义：对于稳定的系统，误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以 表示。sselim ( )lim ( )( )ssttee tr tb t基本公式注意：注意：两种误差定义的统一性其关键在于反馈两种误差定义的统一性其关键在于反馈传递函数传递函数H(s)H(s)的确定性、可靠性、准确性。的确定性、可靠性、准确性。稳态误差的定义一二、给定输入作用下系统的误差分

8、析这时，不考虑扰动的影响。可以写出随动系统的误差 ：)(sE)(sRH2G1G-)(11)(11)(21sRGsRHGGsEk)(1)(lim)(lim)(lim00sGssRssEteeksstss显然， 与输入和开环传递函数有关。sse给定输入时的稳态误差假设开环传递函数 的形式如下：)(sGk)() 12() 1() 12() 1()(01211212121sGsKsTsTsTssssKsGnllllnjjmkkkkmiik)() 12() 1() 12() 1()(01211212121sGsKsTsTsTssssKsGnllllnjjmkkkkmiik式中： 开环放大系数； 开环传递

9、函数积分环节的个数； 开环传递函数去掉积分和比例环节； K)(0sGnnnmmmG212102,2, 1)0(vvsvskssssKsRssGsKssRsGssRe)(lim)(1)(lim)(1)(lim10000给定输入时的稳态误差)643(lim)(lim010SKsRSessss输入信号开环增益有关系统型别与)(sRKess式中： 称为位置误差系数； )(lim0sGKkspKeKsKGKsssp11,)(lim000，时当0,)(lim100ssspesGsKK，时当单位阶跃函数输入时的稳态误差q当输入为 时（单位阶跃函数）ssR1)(psksksssKsGsKsGsGssRe11)

10、(lim11)(lim11)(1)(lim0000 的大小反映了系统在阶跃输入下的稳态精度。 越大， 越小。所以说 反映了系统跟踪阶跃输入的能力。pKpKssepK如果要求对于阶跃作用下不存在稳态误差，则必须选用型及型以上的系统。习惯上，阶跃输入作用下的稳态误差称为静差 0510152025303500.20.40.60.811.21.41.61.8System:untitled2FinalValue:1System:untitled1FinalValue:0.909System:untitled2SettlingTime(sec):6.81System:untitled1SettlingTi

11、me(sec):2.86System:untitled4FinalValue:0.5System:untitled4SettlingTime(sec):2.49StepResponseTime(sec)AmplitudeR(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)(1sG)(2sG)(sHstep(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(10*0.0,1,conv(1,0,1.67,1),1),0:.01:35)step(feedback(tf(1*0.0,1,conv(1,1,1.67,1),1),

12、0:.01:35)从图形中体会误差和稳态误差12101.671GGGss12101 1.671GGGss1211 1.671GGGssq 当输入为 时（单位斜坡函数）21)(ssRvsksksssKsGsKsGssGssRe1)(lim1)(lim1)(1)(lim01000式中： 称为速度误差系数； )(lim0sGsKksvsssvessKGK,0)(lim000，时当KeKsKGKsssv1,)(lim100，时当0,)(lim200sssvesGsKK，时当单位斜坡函数输入时的稳态误差0型系统稳态时不能跟踪斜坡输入型系统稳态时能跟踪斜坡输入，但存在一个稳态位置误差型及型以上系统，稳态时

13、能准确跟踪斜坡输入信号，不存在位置误差结论：0246810121416182002468101214161820LinearSimulationResultsTime(sec)Amplitude输入K=5K=1K=0.3阶跃响应阶跃响应：零稳态误差斜坡响应：稳态误差为常数指令：t=0:.01:20;u=t;lsim(feedback(tf(5*0,1,conv(1,0,1.67,1),1),u,t)101.671ddK T sGTss ( )rr tC ttlim( )lim ( )( )(1/)ssttee tr tb tttK KKevss11q 当输入为 时（单位加速度函数）31)(ss

14、RasksksssKsGsKsGssGssRe1)(lim1)(lim1)(1)(lim020200式中： 称为加速度误差系数； )(lim20sGsKksasssaesKGsK,0)(lim1 , 00)2, 1(0，时当KeKsKGKsssa1,)(lim200，时当0,)(lim300sssaesGsKK，时当单位加速度函数输入时的稳态误差反映了系统跟踪抛物线输入的能力。aK0型与型系统稳态时不能跟踪加速度输入型系统稳态时能跟踪加速度输入，但存在一个稳态位置误差型以上系统，稳态时能准确跟踪加速度输入信号，不存在位置误差051015020406080100120LinearSimulati

15、onResultsTime(sec)Amplitude t=0:.01:100; u=1/2*t.2;lsim(feedback(tf(0.14*conv(8,1,4,1),conv(1,0,conv(1,0,6,1),1),u,t)K=0.14,0.04,0.0094误差KKeass112814161KssGssK0.0094K0.04K0.14r(t)取不同的取不同的r(t)=R1(t)ess= 1+ksRlim0sr(t)=Vtess= sVlim0sksr(t)=At2/2ess= s2Alim0sks型型0型型型型R1(t) R1+ kV kVt000A kAt2/2R1(t)VtA

16、t2/2kkk000静态误差系数静态误差系数稳态误差稳态误差小结：小结：123Kp=?Kv=?Ka=?啥时能用表格？啥时能用表格？误差为无穷时系统误差为无穷时系统还稳定吗？还稳定吗？例3-11 单位反馈控制系统的开环传递函数为试求：(1)位置误差系数，速度误差系数和加速度误差系数；(2)当参考输入为r1(t)，rtl(t)和rt21(t)时系统的稳态误差。解：根据误差系数公式，有位置误差系数为 211KG ss asbscs速度误差系数为 200limlim11vssKKsG ssKs asbscs 200limlim11pssKKG ss asbscs 加速度误差系数为 22200limli

17、m011assKKs G sss asbscs当参考输入为r1(t)，即阶跃函数输入时系统的稳态误差为011ssprreK当参考输入为rtl(t)，即斜坡函数输入时系统的稳态误差为ssvrreKK参考输入为rt21(t)，即抛物线函数输入时系统的稳态误差为220ssarreK 如果系统承受的输入信号是多种典型函数的组合，例如 212312r tkk tk t则根据线性叠加原理，可将每一输入分量单独作用于系统，再将各稳态误差分量叠加起来，得到3121sspvakkkeKKK显然，这时至少应选用2型系统，否则稳态误差将为无穷大。无穷大的稳态误差，表示系统输出量与输入量之间在位置上的误差随时间t而增

18、长，稳态时达无穷大。由此可见，采用高型别系统对提高系统的控制准确度有利，但应以确保系统的稳定性为前提，同时还要兼顾系统的动态性能要求。例3-12 设图示系统的输入信号r(t)=10+5t， 试分析系统的稳定性并求出其稳态误差。 解 由图求得系统的特征方程为0Ks )K5 . 01 (s3s223R(s)-C(s)12)(1()15.0(ssssk例12图 系统结构图1.先判稳由特征方程列劳斯表由特征方程列劳斯表 2 1+0.5K2 1+0.5K 3 K 3 K要使系统稳定，必须要使系统稳定，必须 K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.5K)K 0 , 1+0.5K 0 , 3(1+0.

19、5K)2K 02K 0解得解得 K 0K 0，K-2K-2，K 6K 6所以，当所以，当0 K 60 K6时，系统将不稳定。)12)(1()15 .0()(limlim00ssssKsGKsspKsssSKsssGKssv)12)(1()15 .0()(limlim00KKKevpss55110（2）求稳态误差系数（3）求稳态误差3.说明：小结：给定作用下的稳态误差与外作用有关。对同一系统加入不同的输入，稳态误差不同。与时间常数形式的开环增益有关；对有差系统，K，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。 与积分环节的个数有关。积分环节的个数，稳态误差，但同时系统的稳定性和动态特性变差。由此

20、可见对稳态误差的要求往往与系统的稳定性和动态特性的要求是矛盾的。三、扰动稳态误差 控制系统除了受到给定输入的作用外，通常还受到扰动输入的作用。系统在扰动输入作用下的稳态误差的大小，反映了系统的抗干扰能力。 令R(s)=0R(s)-B(s)(1sG)(2sG+N(s)(sH图a 扰动输入作用下系统结构图C(s)E(s)()()()(1)()(212sNsHsGsGsGsC)()()()()()(1)()()(212sNssNsHsGsGsHsGsEen)()()()(1)()()(21200limlimsNsHsGsGsHssGteessss例2 设控制系统如图3-26所示，其中给定输入 ，扰动

21、输入 ,试求系统的稳态误差。sKsG1111)()1 ()(222ssKsG)( 1)(ttr)( 1)(ttnR(s)-)(1sG)(2sG+N(s)C(s)E(s)解 当系统同时受到给定输入和扰动输入的作用时，其稳定误差为给定稳态误差和扰动稳态误差的叠加。令n(t)=0时，求得给定输入作用下的误差传递函数为所以给定稳态误差为:) s (G) s (G11) s (21er01)1)(1 ()1)(1 ()()(1)(21212120210limlimsKKsssssssGsGsRsessssr图3-26 扰动输入作用下系统结构图由上式计算可以看出，r(t)和n(t)同是阶跃信号，由于在系统

22、中的作用点不同，故它们产生的稳态误差也不相同。此外，由扰动稳态误差的表达式可见，提高系统前向通道中扰动信号作用点之前的环节G1(s)的放大系数（即 ），可以减小系统的扰动稳态误差。该系统总的稳态误差为)()(1)()()()(22sGsGsGsNsEsnen12121120212011)1)(1 ()1 ()()(1)()(limlimKsKKssssKssGsGsNssGessssn1K 令r(t)=0时，求得扰动输入作用下的误差传递函数为 所以扰动稳态误差为11Keeessrssnss为了分析系统中串联的积分环节对稳态误差的影响，我们假设图3-26中 )1 ()(111ssKsGsKsG2

23、221)(0)()(1)(210limsGsGssResssr)()()(1)(2120limsNsGsGssGesssn01)1)(1()1(21212120limsKKssssKss给定输入和扰动输入保持不变。这时，系统的稳态误差可按上述相同的方法求出，即 R(s)-)(1sG)(2sG+N(s)C(s)E(s)系统总的稳态误差为0ssnssrsseee 比较以上两次计算的结果可以看出，若要消除系统的给定稳态误差，则系统前向通道中串联的积分环节都起作用。若要消除系统的扰动稳态误差，则在系统前向通道中只有扰动输入作用点之前G1(s)的积分环节才起作用。因此，若要消除由给定输入和扰动输入同时作

24、用于系统所产生的稳态误差，则串联的积分环节应集中在前向通道中扰动输入作用点之前(即G1(s)中). 四、减小或消除稳态误差的方法 前面的讨论表明，为了减小系统的稳态误差，可以增加开环传递函数中的串联积分环节的数目或提高系统的开环放大系数。但是，串联的积分环节一般不超过2，而开环放大系数也不能任意增大，否则系统将可能不稳定。为了进一步减小系统稳态误差，还可以采用加前馈控制的复合控制方法，即从给定输入或扰动输入处引出一个前馈控制量（扰动必须是可以测量的），加到系统中去，通过适当选择补偿装置和作用点，就可以达到减小或消除稳态误差的目的。在下图所示系统中，为了消除由r(t)引起的稳态误差，可在原反馈控

25、制的基础上，从给定输入处引出前馈量经补偿装置 加到系统控制量中。此时系统误差信号的拉氏变换式为经整理得 显然，如果选择补偿装置的传递函数为则系统的给定稳态误差为零。 )(sGcR(s)(sGcE(s)(1sG)(2sGC(s)-+ 按给定输入补偿的复合控制)()()()()()()(12sRsGsEsGsGsRsEc)()()(1)()(1 )(212sRsGsGsGsGsEc)(1)(2sGsGc 在下图所示系统中，为了消除由n(t)引起的稳态误差，可在原反馈控制的基础上，从扰动输入引出前馈量经补偿装置 加到系统中，若设r(t)=0，)(sGc)(1)(1sGsGC提问：E(s)应该放在a还

26、是b处？为什么？)(1sG)(2sG)(sGcR(s)N(s)E(s)-+C(s)A图3-28 按扰动输入补偿的复合控制ab)()(1)()()()()()(21221sGsGsGsGsGsGsNsEc显然，如果选择补偿装置的传递函数为小结：根据基本公式和各种典型输入型号进行讨论。消除稳态误差的方法小结：（1）重点集中在前向通路最前端的传递函数中（如G1(s)中）。措施：a.增加稳态增益；b.增加积分环节的个数；（2）使用给定前馈补偿和扰动前馈补偿近似消除部分已知和可测信号造成的稳态误差。本章小结1、时域分析是通过直接求解系统在典型输入信号作用下的时域响应来分析系统的性能的。通常是以系统阶跃响

27、应的超调量、调节时间和稳态误差等性能指标来评价系统性能的优劣。2、 二阶系统在欠阻尼时的响应虽有振荡，但只要阻尼取值适当（如左右），则系统既有响应的快速性，又有过渡过程的平稳性，因而在控制系统中常把二阶系统设计为欠阻尼。3、 如果高阶系统中含有一对闭环主导极点，则该系统的瞬态响应就可以近似地用这对主导极点所描述的二阶系统来表征。 7 . 04、稳定是系统所能正常工作的首要条件。线性定常系统的稳定是系统固有特性，它取决于系统的结构和参数，与外施信号的形式和大小无关。不用求根而能直接判断系统稳定性的方法，称为稳定判据。稳定判据只回答特征方程式的根在s平面上的分布情况，而不能确定根的具体数值。5、

28、稳态误差是系统控制精度的度量，也是系统的一个重要性能指标。系统的稳态误差既与其结构和参数有关，也与控制信号的形式、大小和作用点有关。6、 系统的稳态精度与动态性能在对系统的类型和开环增益的要求上是相矛盾的。解决这一矛盾的方法，除了在系统中设置校正装置外，还可用前馈补偿的方法来提高系统的稳态精度。则可使输出不受扰动n(t)的影响，故系统的扰动稳态误差为零。 从直观上看，当满足 时，扰动信号经两条通道到达A点，两个分支信号正好大小相等，符号相反，因而实现了对扰动的全补偿。由于物理上可实现系统的传递函数总是满足分母的阶次大于或等于其分子的阶次，要求构造出分子的阶次大于或等于其分母阶次的补偿装置，这通

29、常是不可能的。此外，由于传递函数的元件参数随着时间的推移也会发生变化，这就使得全补偿条件不可能成立。所以，实际上只能实现近似补偿。可以证明（有条件），前馈控制加入前后，系统的特征方程保持不变（前边的传递函数可直接看出），因此，系统的稳定性将不会发生变化。)(1)(1sGsGC例题例题求图示系统的稳态误差求图示系统的稳态误差ess 。 2R(s)C(s)N(s)0.2s+11s(s+1)2其中其中 r(t)=t, n(t)= -1(t)解：解：令令n(t)=0,Er(s)= -C(s)R(s)H(s)=s(s+1)(0.2s+1)+40.5s(s+1)(0.2s+1)s2.1因为系统稳定，所以因

30、为系统稳定，所以essr=limsEr(s)=s 0令令r(t)=0,En(s)= -Cn(s) =s(s+1)(0.2s+1)+4 2(0.2s+1)s.1essn=limsEn(s)=21s0总误差总误差ess=essr+ essness=8121+85=81稳态误差小结：1.公式小结( )( )( )E sR sB s 1( )1( )( )erE ssR sG s H s00( )( )( )1( )( )limlimlimssrtsssR see tsE sG s Hs niimjjsSsKsHsG11)1()1()()()()(lim0sHsGsKs（1）（2）（3）（4）（5）（

31、1）基本公式给定输入单独作用时( )( )( )( )( )E sR sB sH s C s 212( )( )( )1( )( )( )enE sGs H ssN sGs Gs H s 20012( )( )( )( )1( )( )( )limlimssnsssGs H see tN sG s Gs H s扰动单独作用时给定输入和扰动共同作用时( )( )( )E sR sB s 212( )( )( )11( )( )( )erR sGs H s N sE ss R ss N sG s H sG s Gs H s ssssrssneee（6）（7）（8）（9）（10）（11）4.稳态误差

32、的计算方法稳态误差的计算方法(1).拉氏变换的终值定理拉氏变换的终值定理 当输入信号为当输入信号为 时时,可用可用终值定理计算静态误差终值定理计算静态误差,谐波谐波(正弦正弦,余弦余弦)输输入时不能应用此定理。入时不能应用此定理。(2).根据误差定义求稳态误差的方法根据误差定义求稳态误差的方法 a.求误差响应传递函数求误差响应传递函数)()(lim)(lim)(lim00sCsCssEsteersstss221,),(1),(tttt)()(sRsEb.误差响应的象函数误差响应的象函数c.误差响应的原函数误差响应的原函数d.求极值求极值 即为稳态误差。即为稳态误差。 如系统同时存在输入信号和扰动信号如系统同时存在输入信号和扰动信号,则系则系统误差的求法如下：统误差的求法如下：)()()()(sRsRsEsE)( te)(limtetR(s)N(s)E(s)+)(ser)(sen 为系统对输入信号的误差传递函数为系统对输入信号的误差传递函数, 为系统对扰动信号的误差传递函数。为系统对扰动信号的误差传递函数。 则则: )(ser)()()()(lim)(lim00sNssRssssEeenerssss)(