知识要点空间直角坐标系

1、百度文库让每个人平等地提升自我第5讲空间直角坐标系知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则：工轴、y轴、z轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、 中指：己知点的坐标尸（x,y,z）作点的方法与步骤（路径法）：沿x轴正方向（x>0时）或负方向（xvO时）移动1x1个单位，再沿），轴正方向（y>0 时）或负方向（y < 0时）移动I yl个单位，最后沿x轴正方向（z >0时）或负方向（z <0 时）移动Izl个单位，即可作出点已知点的位置求坐标的方法：过户作三个平而分别与入轴、），轴、z轴垂直于48,C,点A8,C在X轴、y轴、z轴 的坐标分别是，则就是点P

2、的坐标2、在x轴上的点分别可以表示为（40,0）,（0,。,0）,（0,0,c），在坐标平面xOy, xOz，）。2内的点分别可以表示为（“庆0），3,0©,（0也。）；3、点P（a,b,c）关于工轴的对称点的坐标为（a-b,-c）点P（a,b,c）关于y轴的对称点的坐标为（a,c）：点P（a、b,c）关于z轴的对称点的坐标为（-a-b.c）：点P（a/,c）关于坐标平面xOy的对称点为（44c）：点P（a、b,c）关于坐标平面xOz的对称点为（«,-/7,c）；点P（a,b,c）关于坐标平而yOz的对称点为：点P（a,Z?,c）关于原点的对称点。4 .已知空间两点尸（内，

3、%，4）。（超，力，小），则线段尸。的中点坐标为y + % ） +22）2 ' 2 ' 25 .空间两点间的距离公式已知空间两点 P(xv)，, Zj )Q(x2 ,y2iz2),则两点的距离为I PQ= yj(xl-x2)2+(yl-y2)2+(zi-Z2)2 ，特殊地，点A(x, y, z)到原点。的距离为I A01= yjx2 + y2 + z2 ;5.以C(x°,加Z0)为球心，r为半径的球面方程为(x-小尸+ (y-y0)2 +(z-z0)2= r2特殊地，以原点为球心，r为半径的球而方程为x2 +)，2 + z2 = r2重难点突破重点：了解空间直角坐标系

4、，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间 的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系 重难点：在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1 .借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题L点P(ahc)到)，轴的距离为解析借助长方体来思考，以点O,尸为长方体对角线的两个顶点，点P(a,4c)到y轴的距 离为长方体一条面对角线的长度，其值为jL+d2 .将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题2：对于任意实数x,y,z,求+ 丁 + / + 7*+1)2 +(),2/+ (z -的最小 值解析在空间直

5、角坐标系中，M +在+ z? + J(x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2表示空间点 (x,y,z)到点(0,0,0)的距离与到点(1,2,1)的距离之和，它的最小值就是点(0,0,0)与点 (-1,2,1)之间的线段长，所以+ ),2 +刈+ J(x + 1)2 + (y - 2)2 +(Z 1)2的最小值为 瓜3 .利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线1百度文库-让每个人平等地提升白我(3)得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析考点1：空间直角坐标系题型1：认识空间直角坐标系例1 (1)在空间直角坐标

6、系中，表示()A. y轴上的点B.过y轴的平面C.垂直于y轴的平而D.平行于)，轴的直线(2)在空间直角坐标系中，方程)，=x表示A.在坐标平而入0V中，1, 3象限的平分线B.平行于z轴的一条直线C.经过z轴的一个平而D.平行于z轴的一个平面【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平而直角坐标系，如在平面直角坐标系坐标系中，方程x = 1表示所有横坐标为1的点的集合解析(1) y =。表示所有在y轴上的投影是点(0,a,0)的点的集合，所以y = ”表示经过点(0,4,0)且垂直于y轴的平面(2)方程y = x表示在任何一个垂直于z轴的一个平面内，1, 3象限的平分线组成的集合【名师指引】(

7、1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点伍,0,0)且垂直于x轴的平而上的点都可表示为(a, y, z)题型2:空间中点坐标公式与点的对称问题例2 点尸(,4c)关于z轴的对称点为点R关于平而X。的对称点为P：则P?的坐标为【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点P和6关于z轴对称，所以点。和R的竖坐标相同，且在平面xOy的射影关于原点对称，故点P、的坐标为(4-,。)，又因点 < 和P关于平而xOy对称，所以点，坐标为(”,4)【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助

8、空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找 关系，如借助空间想象,在例2中可以直接得出点P2为点P(a,b,c)关于原点的对称点,故坐 标为(一。，-b,-c)【新题导练】1.已知正四棱柱48CQ A81GA的顶点坐标分别为A(0,0,0),8(2,0,0),0(0,2,0),A (O, o, 5),则G的坐标为。解析正四棱柱ABCD - a81GA过点A的三条棱恰好是坐标轴，q的坐标为(2, 2, 5)2 .平行四边形A8C。的两个顶点的的坐标为4一1,3),8(3,2,-3),对角线的交点为M(l,0,4),则顶点C的坐标为 ,顶点D的坐标为解析由已知得线段AC的中点为线段80的中点也是由中点

9、坐标公式易得C(3-1,5), 0(-1,-2,11)3 .已知M(4,3,1),记例到x轴的距离为。，"到y轴的距离为，"到z轴的距离 为c,则()A. a>b>c B. c>h>a C. c> a>bD. b>c>a解析借助长方体来思考，。、c分别是三条面对角线的长度。a =yc = 5 ,选 C考点2：空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题例3如图：已知点41,。)，对于Oz轴正半轴上任意一点尸，在Oy轴上是否存在一 点8,使得恒成立？若存在，求出8点的坐标；若不存在，说明理由;【解题思路】转化为

10、距离问题，即证明尸加+4序二尸层解析设 P(OQc) 8(0也0),对于Oz轴正半轴上任意一点尸，假设在Oy轴上存在一点3,使得。4)期恒成金，则 pT + a8 =0&3百度文库-让每个人平等地提升白我/. (0-1)2 +(0-1)2 + (c _ 0)2 + (1-0)2+(1-/?)2 + (0 _ 0)2 = (0- 0)2 + (0 _ b)2 + (c _ 0)2即3 + 3-1)2=，解得：b = 2 所以存在这样的点8,当点B为(0,2,0)时，A4_LA3恒成立【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的

11、点的轨迹。【新题导练】4 .已知A(x,5 x,2x l),8(l,x + 2,2 x),当A,3两点间距离取得最小值时，x的值为A.198B. 一78 C.719D.14解析I AB 1=- I) + (3 2x)2 +(34- 32=V14x2-12x + 19 = J14(a - 1)2 +18当x=,时，IA8I取得最小值5 .已知球而*-1)2+()，+ 2尸+-3)2=9,与点4一3,2,5),则球面上的点与点A距离的最大值与最小值分别是 解析球心。(1,一2,3),力。=6,球面上的点与点4距离的最大值与最小值分别是9和36 .已知三点4(一1/，2),8(1,2,-1),C(4

12、,0,3),是否存在实数,使A、B、C共线？若存在, 求出。的值；若不存在，说明理由。解析AB = 7(-1-02+(1-2)2+(2 + 1)2 = V14 ,AC =+(_0尸 +q_3)，= (a + l)2 +2 ,BC = 7(1-«)2+(2-0)2+(-1-3)2 = yl(a -1)2 + 20 ,因为3C>AB,所以，若三点共线，有=+ 或AC = 8C + A8,若8C = AC + AB,整理得：5a2+18。+ 19 = 0,此方程无解；若AC = 8C + A8,整理得：5/+18 + 19 = 0,此方程也无解。所以不存在实数。，使A、B、C共线。抢

13、分频道基础巩固训练1 .将空间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将X轴与y轴，4轴与z轴所成的角 画成()A. 90° B. 135° C. 45° D. 75°解析：选B2 .点尸(3,4,5)在丁以平而上的投影点R的坐标是()A. (3,0,0) B. (0,4,5)C. (3,0,5)D. (3,4,0)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选B3 .三棱锥。一 ABC中，0(0,0,0),A(2,0,0),8(0,l,0),C(0,0,3)此三棱锥的体积为()A. 1B. 2C. 3D. 6解析0AoaOC两两垂直，Vo_abc = L1.1.2

14、-3 = 3 24 . (2007山东济宁模拟)设点B是点A(2, -3, 5)关于平面xOy的对称点，则AB等于()A. 10B. MC. V38D. 38解析A点A(2, -3, 5)关于平面xQy的对称点为8(2,3,5),AB = 7(2 - 2)2 + -3 - (-3)2 + 5 - (-5)2 = 105 . (2007年湛江模拟)点P(l,2,3)关于)，轴的对称点为，P关于平而工Oz的对称点为P1,则1勺61二解析R(1,2,3),鸟(12,3), .坨g 1=7'存6 .正方体不在同一表面上的两顶点P (-1, 2, -1), Q (3, -2, 3),则正方体的体

15、积是解析不共而，.尸。为正方体的一条对角线，PQ = 4B 正方体的棱长为4,体积为64综合提高训练7 .空间直角坐标系中，到坐标平面xOy, xOz., yOz的距离分别为2, 2, 3的点有 个个 个个解析：8 个。分别为(3, 2, 2)、(3, 2, 2)、(3, -2, 2)、(3, -2, 一2)、(-3, 2, 2)、 (-3, 2, -2)、(-3, -2, 2)、(-3, -2, -2)8 .(2007山东昌乐模拟)三角形A8C的三个顶点的坐标为A(l,211),8(4,2,3),。(6,1,4), 则A48C的形状为()A.正三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角

16、三角形解析CI AB= 7(1-4)2+(-2-2)2 + (11-3)2 =廊AC= /(4-6)2+(-2 + 1)2+(11-4)2 = <75I BC1= J(4-6:+(2 + 1尸+(3-4)2 =旧:.AC2 +BC1 =AB19 . (2008年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系O qz中有一点4一1,一1,2),点8是平 而xQy内的直线x+y = l上的动点，则A8两点的最短距离是()/7V34V17A. J6B.C. 3D.22解析因为点B在xoy平面内的直线x + y = 1上，故可设点B为(x-x + 1,0), 所以 A8 = yj(x +1)2 + (-X + 2)2 + (0 - 2)2 = j2/-2x + 9 = ,2(x 一;.,所以当L时，AB取得最小值斗，此时点B为d - ,0)。222 2(1)当点尸为对角线A8的中点,7点。在棱CO上运动时，/ / D1 、；p;Q卜C；/A10.如图，以棱长为。的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系O-QZ，点尸在 正方体的对角线A3上，点。在正方体的棱CO上。Z-探究尸0的最小值：(2)当点尸在对角线A8上运动，点。为棱CO的中点时，探究尸。的最小值：解析由已知 A3,a