2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程

1、2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程2019年高考数学总复习：极坐标与参数方程18 / 14x=1 + tsin70° ,1.直线y=2 + tcos70（t为参数）的倾斜角为（A. 70°B.20°C. 160°D.110°答案 B解析方法一:将直线参数方程化为标准形式:x= 1 + tcos20y= 2 + tsin20°（t为参数），则倾斜角为20。，故选B.方法二：tanacos70sin70sin20°。-=tan20 ,20 .cos20x= 1 - tsin70 °另外，本题中直线方程若改为，则

2、倾斜角为160。.y=2 + tcos70°x= 1 + 2t,2 .若直线的参数方程为y=2 3t a为参数） '则直线的斜率为（）2 A32B二3C.23D- -2答案 Dx = 3 + 2cos 0 ,3 .参数方程y= 4+ 2sin 0（。为参数）表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案解析参数方程x= 3+ 2cos 0 ,y= 4+ 2sin 0（财参数）表示的曲线的普通方程为（x+3）2+（y 4）2=4,这是圆心为（一34）,半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.4. （2018皖南八校联考）若直线l:x= 2t

3、,（t为参数）与曲线C:y= 1 - 4tx=V5cos 0 , 厂 （。为参数）y = m+V5sin 0相切，则实数m为（）B. 6或 4A. 4或 6C. - 1 或 9D. 9或 1答案 Ax= 2t,x= V5cos 0 ,解析 由（t为参数），得直线l: 2x+y1 = 0,由广 （。为参数），得曲y=1 4ty=m + 45sin 0线C: x2+（y-m）2=5,因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即里口|,22+1=5,解得 m=4 或 m=6.5. （2014安徽，理）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，x = t+ 1,两种坐标系

4、中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是（t为参数）,圆C的极y = t 3坐标方程是p= 4cos。，则直线l被圆C截得的弦长为（）A.T14B. 2屈C 卡D . 272答案 D解析 由题意得直线l的方程为x y 4=0,圆C的方程为（x 2）2+y2 = 4.则圆心到直线的距离d=淄，故弦长=2严=d2 =2".x= t,6. （2017北京朝阳二模）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）.以y=4+t原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 p= 4V2 sin（ 0兀+ 7），则直线l和曲线C的公共点有（）A. 0个B. 1个C.

5、 2个D.无数个答案 Bx = t,解析 直线l :（t为参数）化为普通方程得x-y+4=0;y = 4+ t曲线 C: P= 4#2sin（ 0 + j化成普通方程得（x 2）2+（y 2）2=8,圆心C（2, 2）到直线l的距离为d = *型=2 吐 r.2直线l与圆C只有一个公共点，故选 B.x=1 + s.x=t+3.7 .在直角坐标系中，已知直线l:（s为参数）与曲线C:2 （t为参数）相交y=2 sy= t2于A, B两点，则|AB| =.答案 ，2x = 1 + s,解析 曲线C可化为y=（x-3）2,将代入y=（x-3）2,化简解得Si = 1,隆=2,y = 2 s所以 |A

6、B| =寸12+12|si- S2|= V2.x= 2 t8 . （2017人大附中模拟）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程y=1+V3t为p+ 2sin 0 = 0,若在圆C上存在一点P,使得点P到直线l的距离最小，则点 P的直角坐标为答案（兴-2）解析 由已知得，直线l的普通方程为+ 1）2=1,在圆C上任取一点 P（COSa,y=-3x+1+2-73,圆C的直角坐标方程为x2+（y-1 + sina ）（长0, 2兀），则点P到直线l的距离为|>/3cosa + sin a 2 2m| |2sin(J ,1+3兀f-f-兀a+ -3-) - 2-2*j3| 2+2

7、/32sin ( a+ 3).，当 a=f时a，此时P（兴-2）9. （2018衡水中学调研）已知直线l的参数方程为x = 2 + tcos a ,为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线y= tsin aC的极坐标方程为（t为参数），以坐标原点p= 2sin 0 2cos 0 .求曲线C的参数方程;(2)当a=时，求直线l与曲线C交点的极坐标.答案解析x= 1+ V2cos(),(4为参数)(2)(2y= 1 十 42sin 4(1)由 p= 2sin 0 2cos 0 ,万），（2,兀）可得» 2 psin 0 2 pcos 0 .所以曲线C的直角坐标方程为 x2+y2 =

8、2y-2x, 化为标准方程为（x + 1）2+（y 1）2= 2.曲线C的参数方程为x = 1 + V2cos(), 厂(f)为参数).y= 1 + V2sin 4（2）当a= 7时，直线l的方程为x=-2+ 平2 y= 2 t，t,化为普通方程为y=x+2.x2+y2=2y-2x, 由y = x+2,x= 0解得y=2x= 2或y= 0.所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为（27), (2,兀).圆C的方程为（x+6）2 + y2=25.10. （2016课标全国II ）在直角坐标系 xOy中,（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；X = tCOS a ,（

9、2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A , B两点，|AB| = 匹，求l的y= tsin a斜率.答案 （1）2+ 12Pcos0 + 11 = 0（2）"p 或"p解析 （1）由*=08$。，y=psin。可得圆 C的极坐标方程为p2+ 12 pcos0+ 11=0.（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线 l的极坐标方程为0= a （QR）.设A , B所对应的极径分别为 0，p 2,将l的极坐标方程代入 C的极坐标方程得 p2+12 pcos a + 11=0.Ite 仍+ p2= 12C0S a , p 1 p 2=11.|AB| = | 1p一 回=（

10、p1+ p2）_2- 4 P1 p 2=144cos2 a 44.由 |AB| = 1/10得 cos2 a =tan a = jT.83所以l的斜率为中或一中.x = 1 8 + t>11. （2017江苏，理）在平面直角坐标系 xOy中，已知直线l的参数方程为t （t为y = 2x = 2s2,参数），曲线C的参数方程为（s为参数）.设P为曲线C上的动点，求点 P到直线y = 242sl的距离的最小值.答案955解析 直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线 C上，设P（2s2, 2g）,从而点P到直线l的距离d =窄=捶些招=2 （s平）2+4.小2+ （ 2） 2V5当

11、 s=夜时，smin = 455.因此当点P的坐标为（4, 4）时，曲线C上点P到直线l的距离取到最小值为 唯.12. （2018湖南省五市十校高三联考）在直角坐标系xOy中，设倾斜角为a的直线l的参数方x = 3+ tcosa ,程为（t为参数）,直线l与曲线C:y= tsin ax=+cos0（。为参数）相交于不同的两点y= tan 0A, B.兀,(1)若a=-r,求线段3AB的中点的直角坐标;(2)若直线l的斜率为2,且过已知点P(3, 0),求|PA| |PB|的值.答案(|,胃)40(2)T解析(1)由曲线C：1 xcos 0昉参数)，可得曲线C的普通方程是x2-y2=1.y =

12、tan 0兀.当不时，直线l的参数方程为3x=3+lt,n (t为参数), y=代入曲线C的普通方程，得t2-6t-16 = 0,设A, B两点对应的参数分别为 t1, t2,则t1 +所以线段AB的中点对应的t =故线段AB的中点的直角坐标为(93 32 )(2)将直线l的参数方程代入曲线的普通方程，化简得(cos2a sin2a )t2+6tcosa + 8= 0,则1PA11PB4 |t1t2|= |2 . 8 加2 a |CoS « sin «_ 18 (1 + tan2 n )1 - tan2 a 由已知得 tana = 2,故 |PA| |PB|=40.13.

13、(2018东北三省四市二模)已知在平面直角坐标系xOy中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为P= 4cos 0 ,直线l的参数方程是x= 1 y= 1 +鸿5 t，厂 (t为参数).,5石t(1)求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程;(2)若曲线x = 2coS a ,C2的参数方程为y= sin a., 兀 (a为参数),曲线C1上的点P的极角为丁，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线答案 (1)x2+y24x= 0, x+2y3=0l的距离的最大值.(2)5解析 (1)由 p= 4cos。得 p2= 4 pcos 0 ,又x2+y2=p2, x

14、=pcos。，y= psin。，所以曲线 Ci的直角坐标方程为 x2+y2-4x=0, 由直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为x+2y3=0.L 兀(2)因为点P的极坐标为(2戍，),直角坐标为(2, 2),点Q的直角坐标为(2cosa , sin a ),1所以 M(1 + cos a , 1 + 2sina ),点 M 到直线 l 的距离 dnU + cos” +J5+ sin“一 31 = W|sin(小；)|,当a+ 4- = -2+ k Tt (k Z),即a= 4" + k兀依Z)时，点M到直线l的距离d的最大值为"50.x= t,14. (2018天

15、星大联考)在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为为参数).以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 p= 242cos( 0兀+ "4")，若直线l与曲线C交于A , B两点若 P(0, 1),求 |PA|十 |PB|;(2)若点M是曲线C上不同于A, B的动点，求 MAB的面积的最大值.答案鬻(2)1V5解析(1)k2小cos(叶"4)可化为x= pcos 0 ,p= 2cos 0 2sin 0 ,将代入，得曲线C的直y = psin 01x= 3、角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=2.将直线l的参数方程化为2丁(t为参数)，

16、代入yj+弩 t(x-1)2+(y+1)2=2,彳导 t2-|t-1 = 0,设方程的解为 t1, t2,则 t1+t2=|, t1t2=- 1,因而 |PA|+ |PB|= |t1|+|t2|= |t1-t2|= (G+t2)24坨2 = 20.3(2)将直线l的参数方程化为普通方程为2&xy1=0,设M(1 十寸2cos。， 1+V2sin。),由点到直线的距离公式，得 M到直线AB的距离为|2 V2 (1 + V2cos 9)+1 V2sin。 1| |2/ + 4cos。 V2sin ) |d=3=3'最大值为呼，由(1)知|AB|= |PA|+ |PB|= 24，因而

17、4MAB面积的最大值为 建喉 X可1 33233一 10 ：59 .备选题|x= 2+ tcos（j）,1.（2018山西5月联考改编）在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为y = y/3+ tsin（）兀CC_L_ 、一一 1一.、.一（t为参数，e e 0,勺）,直线l与。C： x2 + y22x23y=0父于M , N两点，当小变化 时，求弦长|MN|的取值范围.答案护，4解析 将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程中得，（2 + tcos ）2+（/3+ tsin。）2 2（2 + tcos。）一 2g3（噩 + tsin。）= 0,整理得，t2+2tcos（f） 3 = 0,设

18、M, N两点对应的参数分别为t1，t2,则t + t2=2cos（f）, t1 t2=3,|MN| = |t1 12|= yj （t + t2）2 4t1 t2 =寸4cos2。+ 12, 4 e 0, v,cose e 1 1，|MN| e 严,4.322. （2018陕西省西安地区高三八校联考）在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C的极坐标方程为 p= 2sin 0 , 9C 0, 2兀）.（1）求曲线C的直角坐标方程；x= V3t + V3,（2）在曲线C上求一点D,使它到直线l:（t为参数，tCR）的距离最短，并求y = -3t + 2

19、,出点D的直角坐标.答案（1）x2+y22y=0（或 x2+（y1）2= 1） （2）（中，|）解析 （1）由 p= 2sin 0 , 0 0, 2兀），可得 =2psin0 .因为 f2=x2+y2, psin9=y,所以曲线C的直角坐标方程为 x2+y2 2y= 0（或x2+（y 1）2= 1）.x=gt+g,（2）因为直线l的参数方程为（t为参数，tCR）,消去t得直线l的普通方程为y=- 3t+ 2,y= V3x+ 5.因为曲线C: x2+（y1）2=1是以（0, 1）为圆心，1为半径的圆，设点 D（x0, y0）,且点D到 直线l: y=mx+5的距离最短，所以曲线 C在点D处的切线

20、与直线l ： y= y3x+5平 行，即直线CD与l的斜率的乘积等于一1,即y二1 X （ *） = 1.xo因为 x02+(y°1)2= 1,由解得x0=当或x0=当,所以点D的直角坐标为（当,1）或（当,3）.由于点D到直线y=-y/3x+5的距离最短，所以点D的直角坐标为吟3)，2) ,223. （2014课标全国I ）已知曲线C:，+=1,直线x = 2 + t,l：(t为参数).y = 2-2t（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程;（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.x2 y2思路 （1）利用椭圆/+

21、$=1（a>0, b>0）的参数方程为x = acos。,（。为参数），写出曲线Cy= bsin 0的参数方程.消去直线 l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程.设出点P的坐标的参数形式.求出点p到直线l的距离d,则|pA|= s：n30.转化为求关于。的三角函数的最值问题，利用辅助角公式asin 0 + bcos 0 =52 + b2sin（叶（）求解.x= 2cos 0 , 答案(1)C：(。为参数)，l: 2x+y-6=0y = 3sin 0“，22 52,5(2)|PA|max=5 , 1PAmin = 5x= 2cos 0 , 解析（1）曲线C的参数方程为（。为参数）

22、.y = 3sin 0直线l的普通方程为 2x + y 6=0. , 5(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos0 , 3sin 0 )到 l 的距离为 d = |4cos9 + 3sin 0 -6|,则 |PA| =d_2_5sin30°54|5sin（叶”A6,其中“为锐角，且tana=g.sin（叶）T时，1PA隈得最大值，最大值为 平x= 1+ 3cost,（t为参数）.在y=- 2+3sint。为极点，以x轴非负半轴sin（叶a A 1时，|PA|取得最小值，最小值为 255.4.（2015 福建）在平面直角坐标系 xOy中，圆C的参数方程为 极坐标系（与平面直角坐标系 x

23、Oy取相同的长度单位，且以原点 为极轴)中,直线l的方程为2 p sin( 0-4) = m(m C R).（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.答案(1)(x1)2 + (y+2)2= 9, x y+m=0(2)m = 3 及 42解析(1)消去参数t,得到圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由 2p p sin( 9 ) = m,得 p sin 0 pcos。一 m= 0.所以直线l的直角坐标方程为 x y+m=0.(2)依题意，圆心 C到直线l的距离等于2,即|1(：)+ m| =2,解得 m=- 3+272.2x=4+c

24、osa,x = 8cos0 ,5.已知曲线 C1：( a为参数),C2：(。为参数).y= 3 +sin ay= 3sin 0(1)分别求出曲线C1, C2的普通方程；x=3+ 2t,C3y=- 2 + t兀(2)若C1上的点P对应的参数为a= 5，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标.答案(1)C1： (x+4)2+(y-3)2=1 C2： 64=1唔仔,空x= 1 4 + cos(X ,解析(1)由曲线Ci：( “为参数)，得(x + 4)2+(y3)2= 1,y= 3+ sin a它表示一个以(4, 3)为圆心，以1为半径的圆；由C2：x= 8cos

25、 0 , y = 3sin 0x2 yj(。为参数)，得64+;=1，它表示一个中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为 8,短半轴长为3的椭圆.(2)当5=5时，P点的坐标为(一4, 4),设Q点坐标为(8cos。，3sin 0 ), PQ的中点 M( - 23+ 4cos(, 2+2sin。).x=3+2t, C3:©3的普通方程为x2y7=0,y=-2 + t,.|- 2 + 4cos 0 4一 3sin 0 1 7| _ 14cos 0 3sin 0 13| _ |5sin (0+3) 13|= 仙 =当 sin。= 5，cos 0 = 4时，d 的最小值为 855,.329

26、点坐标为9-5)-（第二次作业）x = V2cos 3 ,1. （2018衡水中学调研卷）在平面直角坐标系 xOy中，曲线Ci：（。为参数），y= sin（）曲线C2： x2+y2-2y=0,以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线 I： 0="（蕃0）与曲线Ci, C2分别交于点A, B（均异于原点O）.（1）求曲线Ci, C2的极坐标方程；（2）当0<“4时，求|OA|2+|OB|2的取值范围.答案.2 2= BP e (2)(2，5)解析2C1的普通方程为x2+y2=1,21 + sin2 9 .x= x/2cos 6:（。为参数），曲线y= sin（）x =

27、 pcos 0由得曲线C1的极坐标方程为P2=y = psin 0x2+y22y = 0, .曲线C2的极坐标方程为p= 2sin 0 .2(2)由(1)得 |OA|2=2-, |0B|2= P2= 4sin2 a ,I 十 sin a . |OA|2+ |OB|2 =2- + 4sin2 a =2-+4(1 + sin2 a)-4, 1+sin2a1 + sin2a '.1 0< a <, 1- 1<1 + sin2 a <2, 1- 6<22-+ 4(1 + sin2 a )<9,21 + sin a.|OA|2+|OB|2 的取值范围为(2,

28、5).x = a+ acos 3 ,2. （2018皖南八校联考）在平面直角坐标系 xOy中，曲线C的参数方程为 y= asin 3（a>0, 3为参数）.以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 I的极坐标方程、，.兀3为 pcos（ 0- -3 = 2.若曲线C与I只有一个公共点，求 a的值；兀 ，一一 一（2）A, B为曲线C上的两点，且/ AOB =,求 OAB面积的取大值.答案（1）a=1 （2）鼠3a24解析 （1）由题意知，曲线 C是以（a, 0）为圆心，以a为半径的圆，直线I的直角坐标方程为 x+V3y-3=0.由直线l与圆C只有一个公共点，可得 W3|=a，解

29、得a= 1, a= 3(舍).所以a=1.JAj兀sin3兀，、一，1(2)曲线C是以(a, 0)为圆心，以a为半径的圆，且 ZAOB = ,由正弦定理得3所以 |AB| = q3a.兀又|AB|2=3a2= |OA|2+|OB|22|OA| |OB| cosy>|OA| |OB|,所以 Saqab=2|OA| - |OB|sinw2x 3a2x 乎=31a, 23224所以aqab面积的最大值为3.(2018福建质检)在直角坐标系xQy中，曲线Ci的参数方程为以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线x= 2+ 2cost,（t为参数）.在y= 2sintC2： p= 2s

30、in 0 ,曲线 C3： 0兀=y( p >0)A(2, 0).(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)设C3分别交C1, C2于点P, Q,求4APQ的面积.1答案（1）k 4cos。（2）43 2解析 (1)曲线C1的普通方程为(x 2)2+y2=4,即x2+y2 4x=0, 所以C1的极坐标方程为-4pcos0 = 0,即p= 4cos 0 .兀兀(2)方法一：依题意，设点P, Q的极坐标分别为(1, ), (2, y).一兀一、一L将"6"代入0= 4cos。，得 1 = 2V3, 兀将仁忍代入p=2sin。,得 侬=1,所以 |PQ|= | p闺=273

31、- 1 ,点 A(2 , 0)到曲线 0= -6-( p >0)距离 d= |QA|sin"6= 1.所以 Saapq = 2|PQ|- d = 2X(2V3T)X1 = 21.兀兀方法二：依题意，设点 P, Q的极坐标分别为(P1, ), (2,).兀t-r-将 0= "6代入 p= 4cos0，得 a = 2也，得 |QP|= 2V3,将4-6弋入p= 2sin 0 ,得但=1,即 |OQ| = 1.兀因为 A（2, 0）,所以 ZPOA= ,所以 SsPQ=S OPA Sa OQA1兀 1兀1-= 2>< 2X2/= 2|OA| |OP| sin-6

32、-2|OA| |OQ| - sinX1 1X2X 1X14. （2018河北保定模拟）在平面直角坐标系中，将曲线C1上的每一个点的横坐标保持不变，1纵坐标缩短为原来的2,得到曲线C2.以坐标原点 O为极点，x轴的正半轴为极轴， 建立极坐标系，已知曲线 C1的极坐标方程为P= 2.（1）求曲线C2的参数方程；（2）过坐标原点O且关于y轴对称的两条直线11与12分别交曲线C2于A, C和B, D,且点A在第一象限，当四边形 ABCD的周长最大时，求直线 1i的普通方程.答案（1） x2cos° （。为参数）（2）y = 1xy= sin 04解析（1）由p= 2,得p2=4,因为f2=x

33、2+y2, x= pcos 0 , y = sin 0 ,所以曲线Ci的直角 坐标方程为x2+y2= 4.由题可得曲线C2的方程为x2+y2= 1.x= 2cos 0所以曲线C2的参数方程为（。为参数）.y= sin 0（2）设四边形ABCD的周长为l,点A（2cos 0 , sin 0 ）,l = 8cos 0 + 4sin 0 =1 ,5sin 0 ） = 45sin（小（）其中cos-左，sinLi.7tF-所以当 时 -2k兀+万（kCZ）时，l取得最大值，最大值为4-75.兀此时0= 2k兀+金。依Z）,所以2cos 0 = 2sin 4 =多，sin 0 = cos（j）= p,55此时A（噜事.1所以直线。的w通万程为y=4x.5. （2018湖北鄂南高中模拟）在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程为轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为p= 2g5sin 0 .（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程;（t为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x（2）设圆C与直线l交于A 答案（1）y = x+3+mB两点,若点P的坐标为(3,乖),求|PA|十|PB|. x2+(y-V5)2=5 (2)3722x=3-2-t，y= x+ 3 +解析（1）由直线l的参数方程（t为参数）得直线l的普通方程为yM+当5.