2020学年湖北省武汉市华师一附中高一下学期期末数学试题(解析版)

1、2020学年湖北省武汉市华师一附中高一下学期期末数学试题一、单选题1 .在 ABC中，cos A snB,则 ABC的形状为()sin CA .直角三角形B .等腰三角形C.钝角三角形D .正三角形【答案】Asin B【解析】 在 ABC中，由cosA ,变形为sinB cosAsinC ,再利用内角和转sinC化为sin A C cosAsinC ,通过两角和的正弦展开判断.【详解】一一 ，一, 一 sin B在 ABC中，因为cos A ,sin C所以 sinB cosAsinC ,所以 sin A C cosAsinC ,所以 sin AcosC 0,所以C 一, 2所以 ABC直角三

2、角形.故选：A【点睛】本题主要考查了利用三角恒等变换判断三角形的形状，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2 .预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是R P0 1 k n(k 1), Pn为预测人口数，Po为初期人口数，k为预测期内年增长率，n为预测期间隔年数.如果在某一时期有1 k 0,那么在这期间人口数A .呈下降趋势B .呈上升趋势C .摆动变化D .不变【答案】A【解析】可以通过Pn与P0之间的大小关系进行判断.【详解】n当 1 k 0时，0 1 k 1,0 1k 1,n所以 P0 1 kP0,呈下降趋势.【点睛】 判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大

3、小来判断.3 .若 a b 0, c d 0,则一定有()C.a a ba bcdcd【答案】D,一，八，c11【解析】本题主要考查不等关系.已知a b 0,c d 0,所以 一 一0,所以d cab, ab,故一一.故选Ddcdc4 .把一个已知圆锥截成个圆台和一个小圆锥，已知圆台的上、下底面半径之比为1:3,母线长为6cm,则己知圆锥的母线长为（）cm.A. 8B. 9C, 10D . 12【答案】B【解析】 设圆锥的母线长为l ,根据圆锥的轴截面三角形的相似性，通过圆台的上、下底面半径之比为1: 3来求解.【详解】设圆锥的母线长为l,因为圆台的上、下底面半径之比为1:3,所以 l 6:

4、l 1:3,解得l 9.故选：B【点睛】本题主要考查了旋转体轴截面中的比例关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题5 .如图是棱长为a的正方体的平面展开图，则在这个正方体中直线MN , EF所成角的大小为（）C.3【答案】C【解析】 根据异面直线所成的角的定义，先作其中一条的平行线，作出异面直线所成的角,然后求解.【详解】如图所示：在正方体中，MN/EG,所以 FEG直线MN, EF所成角，由正方体的性质，知 EF EG FG ,所以 FEG 一.3故选：C【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了推理论证的能力，属于基础题6 .设l为直线，是两个不同的平面，下列说法中正确的是（）A.若

5、 l P ,l P ,贝1J /B .若 H ,l H ，则 l /C.若 l ,l P ，则D .若 ,l P ，则 l【答案】C【解析】 画出长方体，按照选项的内容在长方体中找到相应的情况，即可得到答案【详解】对于选项A,在长方体中，任何一条棱都和它相对的两个平面平行，但这两个平面相交，所以A不正确；对于选项B,若 ，分别是长方体的上、下底面，在下底面所在平面中任选一条直线l ,都有l P ，但l ，所以B不正确；对于选项D,在长方体中，令下底面为，左边侧面为，此时 ，在右边侧面中取一条对角线l ,则l P ，但l与 不垂直，所以 D不正确；对于选项C,设平面I m,且l ，因为l / ，

6、所以l Pm ,又l ，所以m ,又m ，所以，所以C正确.【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，属于简单题7 .将正整数 1,2,3,4,L ,n,L 按第 k组含 k 1 个数分组：1,2 , 3,4,5 , 6,7,8,9 ,L ,那么2019所在的组数为（）A. 62B. 63C. 64D . 65【答案】B【解析】 观察规律，看每一组的最后一个数与组数的关系，可知第 n组最后一个数是n n 32+3+4+ .+n+1= ,然后再验证求解 .【详解】观察规律，第一组最后一个数是2=2 ,第二组最后一个数是 5=2+3 ,第三组最后一个数是 9=2+3+4 ,，依此，第n组最后一个数是n

7、 n 32+3+4+ .+ n+l= 2一 n n 3当n 62时， 2015,所以2019所在的组数为63.2故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推，还考查了推理论证的能力，属于中档题8 .已知下列各命题：两两相交且不共点的三条直线确定一个平面：若真线a不平行于平面 a,则直线a与平面a有公共点：若两个平面垂直，则一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线：若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角相等或互补则其中正确的命题共有（）个A. 4B . 3C. 2D.1【答案】B【解析】利用平面的基本性质判断.利用直线与平面的位置关系判断.由面面垂直的性质定理判断.通过举反例来

8、判断.【详解】两两相交且不共点，形成三个不共线的点，确定一个平面，故正确若真线a不平行于平面a,则直线a与平面a相交或在平面内，所以有公共点，故正确若两个平面垂直，则一个平面内，若垂直交线的直线则垂直另一个平面， 垂直另一平面内 所有直线，若不垂直与交线， 也与另一平面内垂直交线的直线及其平行线垂直，也有无数条,故正确.若两个二面角的两个面分别对应垂直，则这两个二面角关系不确定，如图：在正方体 ABCD-A iBiCiDi中，二面角 D-AAi-F与二面角 Di-DC-A的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补.故错误 .故选：B【点睛】本题主要考查了点、线、面的位置

9、关系，还考查了推理论证和理解辨析的能力，属于基础题.9 .长方体共顶点的三个相邻面面积分别为J2, J3, J6 ,这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A. 6B. 8C. i2D. 24【答案】Aab 2【解析】 设长方体的棱长为 a,b,c,球的半径为r ,根据题意有 ac J3 ,再根据球的直 bc 、. 6径是长方体的体对角线求解 .【详解】设长方体的棱长为 a,b,c,球的半径为r ,ab .2根据题意， ac m, bc - 6a2 i2解得c 3 ,b2 2所以 r - . a2 b2 c2 6, 22所以外接球的表面积 s 4 r2 6 ,故选：A【点睛】本题

10、主要考查了球的组合体问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题10 .边长为2的正方形 ABCD中，点E是AB的中点，点 F是BC的中点，将ED, DCF分别沿DE,DF折起，使A,C两点重合于Ai,则直线AD与平面DEF所成角的正弦值为（）C.叵3【答案】D【详解】如图所示:在正方形中连接 BD ,交EF于点G ,在折叠图，连接 A G ,因为 DA AE, DA A F, A E AF A,所以DA 平面A EF ,所以DA EF ,又因为EF DG ,所以EF 平面A BG ,又因为EF 平面DEF ,所以ADG 平面DEF ,则GD是A D在平面DEF上的射影,所以 A DG即为所求因为

11、AG BG 3 AD 2,DG2AD2 A G2sin A DGAG 1DG 313DG面ADG 平.然后在直角【解析】 在正方形中连接 BD ,交EF于点G ,根据正方形的性质， EF 在折叠图中 DA 平面AEF ,得到DA EF ,从而EF 平面A BG 面DEF，则GD是A D在平面DEF上的射影，找到直线与平面所所成的角 三角 A DG中求解.故选：D本题主要考查了折叠图问题，还考查了推理论证和空间想象的能力，属于中档题11 .三棱锥A BCD的高AH 3J3,若AB AC ,二面角A BC D为,G为ABC的重心，则HG的长为（）A. 75B. 76C. 77D .屈【答案】C【解

12、析】根据AB=AC ,取BC的中点E ,连结AE ,得到AE，BC ,再由由AH，平面BCD , 得到EHXBC.,所以/ GEH是二面角的平面角，然后在 4GHE中，利用余弦定理求解 .【详解】:如图所示：取BC的中点E,连结AE ,- AB=AC , AE BC ,且点 G在中线 AE上，连结 HE. AH，平面 BCD, EH XBC.-Z GEH =60 在 RtAAHE 中，./ AEH =60 , AH=373EH =AHtan 30 =3 ,AE=6 , GE= 1 AE=23由余弦定理得 HG 2=9+4-2 X 3 X 2COS60 =7.HG = J7故选：C【点睛】本题主

13、要考查了二面角问题，还考查了空间想象和推理论证的能力，属于中档题12 .己知 ABC的周长为20,内切圆的半径为 J3, BC 7,则tan A的值为（）A. 3-B. 1C. 73D . 2【答案】C【解析】 根据 ABC的周长为20,内切圆的半径为 J3,求得S ABC - AB BC AC r 1 20 J3 10J3,再利用正弦定理 22S ABC 1 AB AC sin A 10，3,得到AB AC 迎后 ,然后代入余弦定理 2sin ABC2 AB2 AC2 2AB AC cosA,化简得到 J3sin A cos A 1 求解.【详解】因为 ABC的周长为20,内切圆的半径为 J

14、3, 1一 一 1 一 一所以 S ABC - AB BC AC r - 20 、,3 10.3, 2220 3.sin ABC2 AB22AB AC2双3 1sin Acos A 1,12，所以AB AC由余弦定理得：2AB AC所以49 169所以3sin A即 sin A 一 6因为A为内角，又因为 Sabc -AB AC sin A 10，3, 2AC2 2AB AC cos A,1 cos A ,cos A ，所以 A , A , 663所以 tan A . 3 .故选：C【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题、填空题第10页共23页uuu

15、ruuu uur uur使向量 BM xAB yAD zAA1，则 x 2y 3z 2第30页共23页Luiu uur uur umr【解析】 在平行六面体中把向量用bm用AB, AD, AA1表示，再利用待定系数法，求得x, y,z.再求解【详解】如图所示:uuluUULT uuiir因为 BMBB1B1Muur i uuur uuiirAA1 AD1 AB2uuur i unr i uur AA1 -AD -AB, 22uuuruuuunr uuur又因为 BM xAB yAD zAA ,i所以x-,z2所以 x 2y 3z 7 . 2故答案为： 2【点睛】 本题主要考查了空间向量的基本定

16、理，还考查了运算求解的能力，属于基础题14 .在 ABC中，已知A B ,则下列四个不等式中，正确的不等式的序号为 sin A sin B sin A sin B cosA cosB cosA cosB【答案】【解析】 根据A B ,分当A (0,和A -,两种情况分类讨论，每一类中利用22正、余弦函数的单调性判断，特别注意，当时，AB.【详解】当A （0,万时，y sin x在（0,万上是增函数，因为A B ,所以sin A sin B ,因为y 8sx在（0,上是减函数，且 A B , 2所以 cosA cosB,当A 一,时，且A B ,2_ ，冗 ，=，一，因为y sin x在 一，式

17、上是减函数，2所以 sin A sin B sinB,而 cos A 0,cos B 0 ,所以 cosA cosB.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦函数与余弦函数的单调性在三角形中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15 ,正六棱柱 ABCDEFAB1C1D1E1F1各棱长均为1,则一动点从 A出发沿表面移动到Di时的最短路程为.【答案】15 2.3【解析】 根据可能走的路径，将所给的正六棱柱展开，利用平面几何知识求解比较【详解】将所给的正六棱柱下图（2）表面按图（1）展开.(1)ADi, 32 1.10 ,ADiAEi2EiDi21 3i255233 ，ADi ADi ，故从A

18、沿正侧面和上表面到D i的路程最短为5 2/3故答案为：.5 23【点睛】本题主要考查了空间几何体展形图的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.i6 .设Sn为数列an的前n项和,Sni)SiS2S3S|00【解析】anan因为所以【详解】i 时，aiSnSn 1(i)nan为偶数，则为奇数，则aiai同理可得所以SiSa2a3i)aiai2时,i)i)n1an(i)nan ian iaiana4SI00i22an12n彳（n为奇数）；2an2)12ni)故ani ,3n是偶数）.a2i22i24a5a6a99a1002i2100，ii6X) (1ci00) (c22X)i002

19、i 一 i7(i产i i二(i00 i)3 2、一 1, 1,、应选答案3（产1）.点睛：本题运用演绎推理的思维方法，分别探求出数列各项的规律（成等比数列）等比数列的求和公式，使得问题简捷、巧妙获解.三、解答题17 .在 ABC中，a,b,c分别为内角A, B,C的对边，且2asinA 2b c sinB 2c b sinC（1）求a的大小：（2）若 a 2j3,B ,求 ABC 的面积 S.4【答案】（1）3（2）3 J3【解析】（1）根据正弦定理将 2asinA 2b c sinB 2c b sinC,角化为边得2a22b c b 2c b c,即b2 c2 a2 bc ,再由余弦定理求解

20、_2 3（2）根据a 2百,B ,由正弦定理1y341 , sinC sin A B sinAcosB cos Asin B ,然后代入公式 S - absinC 求解. 2(1)因为 2asinA2b c sinB 2c b sinC ,2由正弦定理得： 2a2b c b 2c b c,即 b2 c2 a2 bc,cos A.22b c2bc又 A 0,A -.3(2)因为 a 2V3,B 2.3由正弦定理得32又 sinCsin Asin Acos B cosAsin B -6-2 ,4所以S1,八absin C2【点睛】 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属

21、于中档题18 .正方体ABCD ABiCiDi的棱长为a,点E,F分别是棱BCiCDi的中点(1)证明：四边形 bdfe是一个梯形:3 37a24(2)求几何体BCD ECiF的表面积和体积(1)证明见解析(2)表面积为 a ,体积为4【解析】(1)在正方体中，根据E,F分别是棱B1c1, C1D1的中点，由中位线得到EF /B1D11且EF BDi ,又由BD / BiDi ,根据公理4平行关系的传递性得证 2(2)几何体BCD ECiF的表面积，上下底是直角三角形，三个侧面，有两个是全等的直角梯形，另一个是等腰梯形求解，体积按照棱台体积公式求解【详解】(1)如图所示：在正方体中，因为 E,

22、F分别是棱BiCi,CiDi的中点,所以 EF /BiDi且 EFBQ, 2又因为BD / B1D1 ,所以EF/BD且EF所以四边形BDFE是个梯形.（2）几何体BCDECiF的表面积为:222 222a 2a3.213a a.44体积为:1-a2r 3 7a24抽象概括，推理论证的能力，属于本题主要考查几何体中的截面问题，还考查了空间想象, 中档题.19 .某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算该项目月处理成本 y （元）与月处理量 x （吨）之间的函数关系可以近似地表示为：1 32-X3 80x2 5040x,x 120,144）y 3,且每处理一

23、吨生活垃圾，可得到能利用的生1 2-x2 200x 80000, x 144,500）物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴.（1）当x 200,300时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利,则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】（1）不能获利，政府每月至少补贴5000元；（2）每月处理量为 400吨时，平均成本最低.【解析】（1）利用：（生物的柴油总价值）（对应段的月处理成本）利润，根据利润的（月处理正负以及大小来判断是否需要补贴，以及补贴多少；（2）考虑：（月处理成本）量）每

24、吨的平均处理成本，即为 ？，计算？的最小值，注意分段.x x【详解】 （1）当x 200,300）时，该项目获利为S,则-121S200x-x2200x 80000x40022.当x 200,300）时，S 0,因此，该项目不会获利当x 300时，S取得最大值 5000,所以政府每月至少需要补贴5000元才能使该项目不亏损;（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为:12 ccc cr/ cc /-x 80x 5040 x 120,144) 3180000-x 200 x 144,500)2x12-x 1202403y 1 2当 x 120,144)时，y -x2 80x 5040 x 3

25、所以当x 120时，-取得最小值240； x当 x 144,500)时，y - x 200 80000x 2x2.x 80000400,2 x200200当且仅当x 80000,即2 xx 400时，-取得最小值200x因为240 200,所以当每月处理量为 400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.本题考查分段函数模型的实际运用，难度一般.（1 ）实际问题在求解的时候注意定义域问题;（2）利用基本不等式求解最值的时候，注意说明取等号的条件20 .如图，已知平面 ABG平行于三棱锥 V ABC的底面ABC,等边 ARC所在的平面与底面ABC垂直，且 ACB ,设AC 2,BC 12(1)求证：

26、B1cl AB1 且 B1cl AC1；(2 )求二面角A VB C的余弦值.1【答案】(1)证明见解析；(1)4【解析】(1)由平面A1B1C1 /平面4BC,根据面面平行的性质定理，可得B1C1/BC ,AG / /AC ,再由BC AC ,得到B1C1 AC1.由平面AB 平面4BC ,根据面面垂直的性质定理可得 BC，平面ABC ,从而有B1C1 AB1.(2)过A作AD BC于D,根据题意有4D 平面VBC,过D作HD VB于H, 连结AH,由三垂线定理知 AH VB,所以 AHD是二面角A VB C的平面角.然后 在在Rt BB1C中，在Rt BB1C中，利用三角形相似求得 DH再

27、在Rt AHD求解.【详解】(1)证明：平面 ABiCi /平面4BC ,. B1C1/BC , AC1/AC ,. BC AC,B1GAG ,又平面 ABQ 平面4BC ,平面A&C I平面ABC AC ,bc 平面 ab1c ,BC1平面 AB1c ,.B1C1AB1.(2)过 A作 ADBiC 于 d, ABC为正三角形,D为B1C中点,bc ad又.bci b1c C,4D 平面 VBC.在等边三角形ABiC中，AD13 AC 国过D作HD VB于H,连结由三垂线定理知 AH VB,AHD是二面角A VBC的平面角.在 Rt BB1c 中，B1DHBiBC ,DH B1DBC B1B

28、DHB1D BC 立B1BAH ，AD 2 DH 2cosAHD DHAH还考查本题主要考查几何体中面面平行的性质定理和面面垂直的性质定理及二角面角问题, 了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题 21 .在正四棱柱 ABCD ABiCiDi中，底面边长为1,侧棱长为2.(1 )求证：平面ACDi平面BBiDiD ；(2)求直线AA1与平面ACDi所成的角的正弦值；(3)设H为截面 ACDi内-点(不包括边界)，求H到面ADDiA ,面DCCiDi ,面ABCD 的距离平方和的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2) - (3)也315【解析】(1 )利用在正方体的几何性质，得到 AC

29、 BD,AC DD1,通过线面垂直和面 面垂直的判定定理证明.(2)根据 AA/DD1和平面ACD1 平面BB1D1D ,知DQ是DQ在平面ACD1上的射影，DD1O即为直线AA与平面ACD1所成的角，然后在 DDO中求解.(3)如图所示从H向面ADDA ,面DCC1D1,面ABCD引垂线，构成一个长方体，设到面ADDA ,面DCC1D1 ,面ABCD的距离分别为x, y, z, d x2 y2 z2 ,即长方体体对角线长的平方，当且仅当 DH 平面ACD1时，d x2 y2 z2最小，然后用 等体积法求解.【详解】(1)如图所示：在正方体中 AC BD,AC DD1且BD I DD1 D,所

30、以AC 平面BBiDiD ,又因为AC 平面ACDi ,所以平面 ACDi 平面BBiDiD.(2)因为 AA1/DD1 ,由(1)知平面ACDi平面BBiDiD ,所以DQ是DiD在平面ACDi上的射影，所以 DQ。即为直线AA与平面ACDi所成的角，在 DDQ 中 DO -, DDi 2, DQ ,2 2八 i所以 sin DDiO -.(3)如图所示从 H向面ADDA,面DCCiDi,面ABCD引垂线，构成一个长方体，设到面 ADDiA ,面DCCiDi ,面ABCD的距离分别为x, y, z,222d x y z ,即长方体体对角线长的平方，当且仅当DH平面ACD1时，d x2 y2 z2最小,又因为Vd ACD1VD1 ACD ,31s 3ACD1dminACD1dmin31s 31sACD DD1，ACD DD1 ,d 4jdmin )15【点睛】还考查了空间本题主要考查几何体中线面垂直，面面垂直的判定定理和线面角及距离问题, 想象