2019_2020学年高中数学第八章立体几何初步8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系学案新人教A版

1、8. 4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系考点学习目标核心素养空间两直线的位置关系了解空间两条直线间的位置关系，理解异面直线的定义直观想象直线与平面的位置关系了解直线与平面之间的三种位置关系，并能判断直线与平面的位置关系，会用符号语言和图形语日表小直观想象、逻辑推理平囿与平囿的位置关系了解平面与平面之间的两种位置关系，并能判断两个平面的位置关系，会用符号语言和图形语言表小直观想象、逻辑推理问题导学预习教材P128 P131的内容，思考以下问题：1 .空间两直线有哪几种位置关系？2 .直线与平面的位置关系有哪几种？3 .平面与平面的位置关系有哪几种？4 .如何用符号和图形表示直线与平面的位置

2、关系？5 .如何用符号和图形表示平面与平面的位置关系？新知初探1.空间中直线与直线的位置关系(1)异面直线定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线;画法：(通常用平面衬托)(2)空间两条直线的位置关系士少 相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点;平行直线：在同一平面内,没有公共点；,异面直线：不同在任何一个平面内,没有公共点名师点拨异面直线既不相交，也不平行.(1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件.如图中，虽然有a? “，b? 3 ,a与b不是异面直线.(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线,即a, b分别在两个不同的平面内，但是因为anb = Q所以

3、2.空间中直线与平面的位置关系入 % / 位直大系直线a在平面a内直线a在平囿a外直线a与平 面a相交直线a与平面a平行公共点付万表/、无数个公共点a? a有且只有一个公共点a n a = A没有公共点a / a图形表小k zLJY名师点拨一般地，直线 a在平面”内时，应把直线 a画在表示平面 ”的平行四边形内；直线 a 与平面a相交时，应画成直线 a与平面a有且只有一个公共点，被平面 a遮住的部分画成 虚线或不画；直线 a与平面a平行时，应画成直线 a与表示平面a的平行四边形的一条边 平行，并画在表示平面 a的平行四边形外.3.空间中平面与平面的位置关系八/位直大系两个平囿平行两个平囿相交公

4、共点付万表/、没有公共点 a / 3有无数个公共点(在一条直线上)a n 3 = l图形表小A/4 /V名师点拨(1)画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.“两个平面”均指不重合的两个(2)以后我们说到“两条直线”均指不重合的两条直线,平面.O判断(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)异面直线没有公共点.()(2)没有公共点的两条直线是异面直线.()(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内.()(4)分别在两个平面内的直线一定是异面直线.()(5)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线，则 b与c是异面直线.()(6)若直线l与平面a不相交，则直线l与平面a平

5、行.()(7)如果直线a, b和平面a满足a/ a , b/ a ,那么a/ b.()(8)如果直线a, b和平面a满足a / b, a / a , b? a ,那么b / a .()(9)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.()(10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.()答案：(1) V (2) X (3) V (4) X (5) X (6) X (7) X (8) , (9) X (10) X异面直线是指()A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两个不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线解析：选

6、D.对于A,空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共 力面)，另一个是异面，所以 A应排除.对于B,分别位于两个平面内的直/线，既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是相交的情况，所以歹B应排除.对于C,如图中的a, b可看作是平面 a内的一条直线a与平/面a外的一条直线b,显然它们是相交直线，所以C应排除.只有 D符合定义.正方体的六个面中相互平行的平面有()A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对解析：选B.前后两个面、左右两个面、上下两个面都平行.O直线all b, b? a ,则a与a的位置关系是()A. a/ aB. a与 a 相交C. a与a不相交D. a? a解析：选C.当

7、直线a/ b, b? a时，直线a与平面a的位置关系有可能是 a/ a或a?a ,不可能相交，所以选 C. 正方体ABCDABGD的各个面中与直线 AB平行的平面有 个.解析：由正方体图形特点，知直线ABi与平面CCDD和平面ABCDF行.答案：2解惑,探究集破 .搽究点空间两直线位置关系的判定例1 如图，在长方体 ABCDAiBiCD中，判断下列直线的位置关 系：直线AB与直线DC的位置关系是 ;直线AB与直线BC的位置关系是 ;直线DD与直线DC的位置关系是 ;直线AB与直线BC的位置关系是 .【解析】 经探究可知直线 AB与直线DC在平面ABCD中，且没有交点，则两直线平行,所以应该填“

8、平行”；点 A、R Bi在平面AiBB内，而C不在平面ABB内，则直线 AB与直线BiC异面.同理，直线 AB与直线BC异面.所以应该填“异面”；直线DD与直线DC相交于D点，所以应该填“相交”.【答案】 平行异面相交异面（1）判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用基本事 实4（下节学习）判断.（2）判定两条直线是异面直线的方法定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内；重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个 不经过此点的直线是异面直线. 用符号语言可表示为 A?a,BC B?l ? AB l是异面直线（如图）.跟踪训练:

9、1 .三棱锥A BCD勺六条棱所在直线成异面直线的有 （）B. 4对A. 3对C. 5对D. 6对解析：选A.三棱锥A-BCD勺六条棱所在直线中，成异面直线的有： AB和CD AD和BC B/口 AG所以三棱锥A-BCD勺六条棱所在直线成异面直线的有3对.故选A.2 .若直线a/ b, bnc= A，则a与c的位置关系是B.相交A.异面C.平行D.异面或相交解析：选D.a与c不可能平行，若 a/c,又因为a/ b,所以b/ c,这与bn c= A矛盾, 但a与c异面、相交都有可能.探究点直线与平面的位置关系例回下列命题：直线l平行于平面”内的无数条直线，则l / a ；若直线a在平面a外，则a

10、/ a ；若直线a / b,直线b? a ,则a / a ；若直线a/b, b? ”，那么直线a就平行于平面”内的无数条直线.其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】因为直线l虽与平面a内无数条直线平行，但l有可能在平面 a内，所以l不一定平行于 a ,所以是假命题.因为直线a在平面a外包括两种情况：a / a和a与a相交，所以a和a不一定平行， 所以是假命题.因为直线all b, b? a ,则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面“内，所以a不 一定平行于a ,所以是假命题.因为a/ b, b? “，所以a? ”或all “，所以a可以与平面口内的无数条直线平行，所

11、以是真命题.综上，真命题的个数为 1.【答案】 A判断直线与平面的位置关系应注意的问题(1)在判断直线与平面的位置关系时，直线在平面内、直线与平面相交、 直线与平面平行,这三种情况都要考虑到，避免疏忽或遗漏.（2）解决此类问题时，可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断.1 .若直线a/平面”，直线b/平面”，则a与b的位置关系是（）A.平行B.相交C.异面D.以上都有可能解析：选D.如图所示，长方体 ABCDA1BGD中，AB/平面AG AD /平面AC,有 ABA AD = A;又 DC /平面 AC 有 AB/ DC1；取

12、BB 和 CC 的 中点M N,则MM BC则MN/平面AC,有AB与MN#面.2 .下列命题正确的个数为（）若直线l上有无数个点不在平面 a内，则l / a ；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若直线l与平面a平行，则l与平面a内的任意一条直线都没有公共点.A. 0B. 1C. 2D. 3解析：选B.如图所示，借助长方体模型来判断. 棱AA所在直线有无数个点在平面 ABCD /外，但棱AA所在直线与平面 ABCDf交，所以命题不正确./二AB/AB A B所在直线平行于平面 ABCD但直线 AB平面ABCD月月所以命题不正确.直线l与平面a平行，则l与a无公

13、共点，l与平面a内所有直线都没有公共点，所以命题正确.探究点平面与平面的位置关系例3 已知在两个平面内分别有一条直线，并且这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）B.相交A.平行C.平行或相交D.以上都不对【解析】 如图，可能会出现以下两种情况:互动探究1 .变条件在本例中，若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两平面的位置关系如何?解：如图，a? ”，b?3 , a, b异面，则两平面平行或相交.2 .变条件在本例中,若将条件改为平面内有无数条直线与平面 3平行，那么平面a与平面3的关系是什么?解：如图，a内都有无数条直线与平面平行.由图知，平面 a与平

14、面3可能平行或相交.3.变条件在本例中，若将条件改为平面内的任意一条直线与平面 3平行，那么平面a与平面3的关系是什么?解：因为平面a内的任意一条直线与平面平行，所以只有这两个平面平行才能做到,所以平面a与平面3平行.律方法(1)平面与平面的位置关系的判断方法平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点;平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点.(2)常见的平面和平面平行的模型棱柱、棱台、圆柱、圆台的上下底面平行;长方体的六个面中，三组相对面平行.跟踪训练卜列说法中正确的个数是()平面a与平面3 , 丫都相交，则这三个平面有 2条或3条交线;如果a, b是两条直线，a

15、/ b,那么a平行于经过b的任何一个平面;直线a不平行于平面a ,则a不平行于a内任何一条直线;如果a / 3 , a/ a ,那么a/ 3 .A.0B.1C.2D.3解析：选A.中，交线也可能是1条；a也可能在经过b的平面内；中a不平行于a可能在3内.故四平面a ,则a可能在平面a内，平面a内有与a平行的直线；中,个命题都是错误的，选A.探究点点、线、面位置关系图形的画法例4 如图所示，G是正方体 ABCDABCD的棱DD延长线上的一点，E, F是棱 AB BC 的中点，试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线.过点G及AC(2)过三点E, F, D.【解】(1)画法：连接 GA交

16、AQ于点M连接GC CD于点N;连接MN AC则MACN MN AC为所求平面与正方体表面的交线.如图所示.(2)画法：连接EF交DC的延长线于点 P,交DA的延长线于点 Q;连接DP交CC于点M 连接DQ交AA于点N;连接MF NE则DM, MF FE EN ND为所求平面与正方体表面的交 线.如图所示.律方法直线与平面位置关系的图形的画法(1)画直线a在平面”内时，表示直线a的线段只能在表示平面”的平行四边形内，而 不能有部分在这个平行四边形外.(2)画直线a与平面a相交时，表示直线 a的线段必须有部分在表示平面a的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开，又具有较强的立体感.a的

17、线段在表示平面a的（3）画直线a与平面”平行时，最直观的画法是用来表示直线平行四边形之外，且与此平行四边形的一边平行.跟踪训练:如图，在正方体 ABCDABGD中，E是AA的中点，画出过 D, C, E的平面与平面AB四的交线，并说明理由.解：如图，取 AB的中点F,连接EF, AB, CF因为E是AA的中点，所以 EF/ AB在正方体 ABCDABCD中,AiD/ BC AQ=BC所以四边形Ai BC加平行四边形.所以 AB/ CD,所以 EF/ CD.所以E, F, C, D四点共面.因为EC平面ABEAi, EC平面DC耳FC 平面 ABBAi, FC 平面 DCE所以平面 ABBA n

18、平面 DCE= EF所以过点D, C, E的平面与平面 ABBA的交线为EF验证,反馈区标 1 .不平行的两条直线的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.相交或异面解析：选D.若两直线不平行，则直线可能相交，也可能异面.2 .若 MC l , NC l , N?a , M a ,则有（）A. l / aB. l ? aC. l与a相交D.以上都有可能解析：选C.由符号语言知，直线l上有一点在平面 a内，另一点在a外，故l与a相交.故选C.3 .若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是A.平行B.异面C.相交D.平行或异面解析：选D.如图：4 .如果一条直线与两个平行平面中

19、的一个平行，那么这条直线与另一个平面的位置关系 为（）A.平行B.直线在平面内C.相交或直线在平面内D.平行或直线在平面内解析：选 D.若一条直线与两个平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行或 直线在平面内.5 .已知平面“ n 3 = c,直线a/ a , a与3相交，则a与c的位置关系是 答案：异面6 .下列命题正确的是 .（填序号）若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；若直线l与平面”相交，则l与平面a内的任意直线都是异面直线；如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交.解析：显然是正确的；中，直线l和平面a内过l与a交点的直线都相交而不是异面，所

20、以是错误的；中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它 们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以是错误的.答案：应用系怎A 基础达标1 .若直线l不平行于平面 a ,且l ? a ,则（）A. a内的所有直线与l异面B. a内不存在与l平行的直线C. a内存在唯一的直线与l平行D. a内的直线与l都相交答案：B2 .若a, b是异面直线，b, c是异面直线，则（）A. a/ cB. a, c是异面直线C. a, c相交D. a, c平行或相交或异面解析：选D.如图，可借助长方体理解，令a=CC, b= AB,则BCAD DD均满足题目条件，故直线a和直线c的位置关系是平行、

21、相交或 / 乙 / “ 异面.3 .已知异面直线 a, b,有a? “，b? 3且“ n 3 = c,则直线c Ab与a, b的关系是（）A. c与a, b都相交B. c与a, b都不相交C. c至多与a, b中的一条相交D. c至少与a, b中的一条相交解析：选D.若c与a, b都不相交，因为c与a在巾内，所以a/ c.又c与b都在3内, 所以b/c.所以all b,与已知条件矛盾.如图，只有以下三种情况.4 .如果点Ml是两条异面直线外的一点，则过点M且与a, b都平行的平面（）A.只有一个B.恰有两个C.没有或只有一个D.有无数个解析：选C.当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的

22、平面内时，这样满足条 件的平面没有；当点 M不在上述两个平面内时，满足条彳的平面只有一个.故选 C.5 .若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（）A. 5部分B. 6部分C. 7部分D. 8部分解析：选C.如图所示，可以将空间划分为7部分.6 .已知a, b是两条直线，“，3是两个平面，则下列说法中正确的序号为 .若a / 3 , a? a , b? 3 ,则a与b是异面直线；若 a / 3 , a? a ,则 a / 3 ；若a n 3 =b, a? a ,则a与3 一定相交.解析：中直线 a与b没有交点，所以a与b可能异面也可能平行，故错误；中直 线a与平面3没有

23、公共点，所以a/ 3 ,故正确；中直线 a与平面3有可能平行，故 错误.答案：7 .下列命题:平面a与平面3 , 丫都相交，则这三个平面有两条交线；若l , m是异面直线，l / a , m/ 3 ,则a / 3 .其中错误命题的序号为.解析：对于，当 3 / 丫时，有2条交线；当3 n 丫 = a且a? ”时，有1条交线；当“、3、丫两两相交且不过同一条直线时，有3条交线(如棱柱的三个侧面)，故错误；对于，可借助正方体 ABCDABCD进行判断，如图所示./产因为六面体 ABCDABCD是正方体，所以 AB/平面 DC©, B1C1/口平面AADD因为AB与BG异面，而平面 DCC

24、1与平面AADD相交，所 内：I L以命题错误，综上可知都错误.，答案：8 .若直线a?平面a ,直线b?平面3 , a, b是异面直线，则a , 3的位置关系是解析：在正方体 ABCD ABCD中，AB?平面ABCDBG?平面 ABCD, BG?平面BOB, AB, BiG是异面直线，但平面 ABCD平面ABCD,平面ABCDf平面BCGB相交.答案：平行或相交9 .完成下列作图.(1)在图中画出两个平行平面.(2)在图中画出两个相交平面.(3)在图中画出一个平面与两个平行平面相交.(4)在图中画出三个两两相交的平面.解:10.如图,平面+3、丫满足判断a与b、a与3的关系并证明你的结论.解：a / b, a / 3 .证明如下：由 “n 丫 = 2知2?”且a? 丫，由 3 n 丫 = b 知 b? 3 且 b? 丫因为a / 3 , a? a , b? 3 ,所以a、b无公共点.n y = a, 3 n 丫个.又因为a? 丫且b? 丫，所以a/ b.因为a / 3 ,所以a与3无公共点.又a? ”，所以a与3无公共点，所以a/ 3 .B 能力提升11.经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作A. 0个B.C. 0个或1个D.解析：选C.若两点所在的直线与平面平行