(江苏专用)2020高考数学二轮复习专项强化练(三)基本初等函数、函数与方程

1、专项强化练（三）基本初等函数、函数与方程A组一一题型分类练题型一指数式与对数式1. (0.000 1)124+273-49644 -3 27 2 -2解析：原式=(0.1 )4+(3 )3 §= 0.1一+32_= 10+9 78 125答案:1252.设函数f(x) =1 + log 2 (2-x),2x1, x>1,x<1, 则 f( -2) + f (log 212) =解析：因为 f( 2) = 1 + log24=3, f(log 212) = 2log 2121 = 6,所以 f ( 2) + f (log 212)=9.答案：9临门一脚1 .分数指数哥与根式

2、可以相互转化，通常利用分数指数哥的意义把根式的运算转化为 哥的运算，从而简化计算过程.2 .在运用性质log aM= nlog aM时，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log aMI =nlog a| M|（ nC N ,且 n 为偶数）.3 .对数值取正、负值的规律：当 a>1 且 b>1,或 0<a<1 且 0Vb<1 时，log ab>0；当 a>1 且 0Vb<1,或 0<a<1 且 b>1 时，log ab<0.题型二指数、对数函数的图象与性质1. （2018 苏北四市质检）函数y= log 1x的定

3、义域为 .解析：由题意知log 1x>0,得0<xw1,故函数的定义域是（0,1.2答案:（0,12 .函数f（x） =axT + 3（a>0且aw 1）的图象所经过的定点为 .解析：当x=1时，f（1） =a1T + 3=a°+3 = 4,所以函数f（x） = a"1 + 3的图象一定经过的定点为（1 , 4）.答案:（1 , 4）3 .若函数f(x) = a|2x-4|(a>0, awl)且f(l) =9,则f(x)的单调递减区间是 .解析：由f (1) = 9得a2= 9,所以a= 3.因此f (x) = 31解析：因为 f -2 =log 1

4、2, f (0) = log 11, f (3) = log 12,且 y= log 221减函数，所以f (3)< f -2 <f(0).1答案：f (3)< f -2 <f(0)临门一脚1 .指数、对数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数 a按0<a<1和a>1进行分类讨论.2.在对数式中，真数必须大于 0,所以对数函数 y= log ax的定义域应为x|x>0.3.指数和对数函数的研究要注意复合函数的研究，其中对数复合函数的性质在转化时 不能遗忘真数大于零这个条件.4.对于含ax、a2x的表达式，通常可以令t = ax进

5、行换元，但换元过程中一定要注意“新 元”的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系式.题型三函数与方程2x 1 , x< 1,1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为 .1 + log 2x, x>1,解析：当 x<l 时，由 f(x) =2x-1 = 0,解得 x=0;当 x>1 时，由 f(x) = 1 + log 2x=0,1解得x=2,又因为x>1,所以此时方程无解.综上，函数f(x)的零点为0.答案：0x 41,又因为g(x) = |2 x 4|的递 减区间为(一8, 2,所以f(x)的单调递减区间是(一8, 2.答案：(8, 24 .设函数f(x)

6、=2若f ( m)<f ( - m),则实数m的log 2 ( x) , x<0, 取值范围是.解析：因为f(x)为奇函数，图象如图所示，所以f(m)<f(m)? f(m<f(m? f(m)<0.所以 m的取值范围是(一1, 0) U(1 , +8).答案：(一1, 0) U (1 , +oo)的大小关系为1x是定义域内的25 .若函数 f(x) = log 1 |x 1| ,则 f -2 , f (0) , f(3) 22- |xi2.(2019 盐城中学模拟)已知函数f(x)=2)则函数y = f (x) g(x)的零点个数为| x 一 2|x< 2,2

7、函数 g(x) = 3 f (2 -x),，x>2,+ 1, x> 0, x< 0.解析：由已知条件可得g(x)=3-f(2 -x) = 3 x2 y=f (x) g(x)的零点个数即为函数 y=f (x)与y= g( x)图象的交点个数,可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点，所以函数 y= f(x) g(x)的零点个数为2.答案：2, 0)在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y = g(x)的图象如图所示.由图4.已知函数f(x) =kx+ k ln x,x<0,x>0(其中心叽若函数尸5(刈+1有4个零点,则实数k的取值范围是解析：令f(x)

8、=u,结合图象，当k = 0时，不合题意；当k>0时,一人工1人工一=1有两个零点 U1, U2, U1< - 1 , U2=-，则f(x) = un有两个零点 xi , e、，一 ”一1依题忌f (x) = U2应有两个不同于 x1, x2的手点，则k>_.e1答案：",+°0 e临门一脚1 .函数的零点不是点：函数y= f (x)的零点就是方程f(x) = 0的实数根，也就是函数y= f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点.在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.2 .对函数零点存在的判断中，必须强调：(1

9、)f(x)在a, b上连续;(2) f(a) f(b)<0; (3)在(a, b)内存在零点.这是零点存在 的一个充分条件，但不是必要条件.3 .对于定义域内连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.4 .已知函数有零点(方程有根)求参数取值常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后 数形结合求解.B组一一高考提速练1 .已知哥函数f (x) =x"的图象经过点(9, 3),则a

10、的值为.a1解析：代入点(9, 3),得3=9 ,所以a =2.答案：23x, x<0,12 .已知函数f(x)= ng x x>0 那么f f8 的值为.11解析：f 8 = log 2§= 3,1,31f f 8 =f(-3) = 3 =27-1答案：27aja + b3 . (2019 如东中学模拟)设 f(x) = e , 0v av b,右 p= f h/ab) , q = f , r =f (a) f (b),则p, q, r的大小关系是.a+ btxa+ b解析：: 0v avb,，-2>Vab,又 f (x) = e 在(0 ,十)上为增函数，f -

11、2- >a + bf (/ab),即 q>p.又 r = 7f (a) f (b) = /eaeL= e 2 = q，故 q= r >p.答案：q=r>p4 .函数 f (x) =log 2( x2+2«2)的值域为.解析：由题意得x2+2'72>0,即x2+242 c (0, 2册,所以 f (x)w log 22y2=|,故所求函数的值域为00答案:a的取值范围是5 .若函数 y = (a2 1)x在(00, +oo )上为减函数，则实数解析：由y=(a21)x在(一巴 +8)上为减函数，得0<a21<1,所以1<a2<

12、;2,即1<a</2或一小<a< 1.答案：(一季,-1)U(1 ,迎6.对任意的非零实数a, b,若a?b=b 1丁 a<b,a+ 1丁，4 b则 1g 10 000 ?厂2解析：因为 1g 10 000 =1g 10 4=4,万 =4,1 2 4+1 5所以 1g 10 000 ? 2= = 4.5答案：540, x<0,27 . (2019 东台中学模拟)设函数f(x)= x x则满足f(x 2) >f (x)的x22 , x>0,的取值范围是.解析：由题意x>0时，f (x)单调递增，故f (x)>f(0) =0,而xwo时，

13、x=0,故若f(x2 -2) >f (x),则 x2 2>x,且 x2- 2>0,解得 x>2 或 x< -5.答案：(一00,一啦)U(2, +00)8 .已知a>0,且aw1,若函数f(x) = 2ax4在区间1, 2上的最大值为10,则a =解析：若a>1,则函数f(x)在区间1, 2上是增函数，当x=2时，f(x)取得最大值f (2) =2a2- 4=10,即a2=7,又a>1,所以a=中.若0<a<1,则函数f (x)在区间1, 2上是减函数，当x = 1时，f (x)取得最大值f (1) = 2a 1 4= 10,所以 a

14、=7.1综上所述，a的值为g或7.答案：小或79. (2019 如皋中学模拟)定义：如果在函数 y=f (x)定义域内的给定区间a, b上存 ,4-f (b) f (a),-,，一在xc(a<x0<b),辆足f(x°)=,则称函数 y=f(x)是a, b上的 平均值函b a数”，x°是它的一个均值点，如 y= x4是1,1上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数f(x)=x2 + m杆1是1, 1上的平均值函数，则实数m的取值范围是 .解析：因为函数f(x)= x2+m肝1是1, 1上的平均值函数，- f (1) f ( 1)设xo为均值点，所以(_ 1)=m

15、= f(xo),即关于x0的方程一x0+mx+1 = m在(一1, 1)内有实数根，解方程得 x0=1或x0=m- 1.所以必有一1vm- 1<1,即0vm<2,所以实数m的取值范围是(0 , 2).答案：(0, 2)x- 2, x>0,10 .已知函数 f(x)=x2+bx+c xv0满足 f(0)=1,且 f(0) +2f( 1) = 0,那么函数g( x) = f (x) + x的零点个数为 .解析：因为f(0) =1,所以c=1.又因为 f (0) +2f ( 1) =0,1 1所以 f( 1)=1 b+ 1 = 2,得 b = .所以当x>0时，g(x) =

16、2x2= 0有唯一解x=1;当 xwo 时，g(x) =- x2+2x+ 1,人，r人，、1 r一，八八令g(x) =0,得x= 2(舍去)或x= - 2,即g(x) = 0有唯一解.综上可知，g(x) =f(x)+x有2个零点.ax -2x+ 1, x> 1,（2 ）x1在（°°，+ 00 ）上单调,答案：2则实数 a的取值范围11 .若函数f(x)=1/1，a2- 1>0,a-2+1> a2- 1,是.显然满足题意.当a>0时，由题意得所以解析：当 a=0时，a> 1 或 a<0,a>1或a<1,无解.1L1，a2-1&l

17、t;0,a- 2+ K a2- 10w ac 1,当a<0时，由题意得a> 1 或 a<0,所以1<a<1, 所以1<a<0.a< 0或a>1,综上，实数a的取值范围为(一1, 0.答案:( 1, 0.x+1一 12 .已知函数f(x)=log3-平行四边形 ABC四个顶点者B在函数 f(x)的图象上，且x 15A(2 , 1) , B 4, 2 ,则平行四边形 ABCD勺面积为 解析：奇函数f (x) = log 3x1 1的对称中心为O(0 , 0),也为平行四边形 ABCD寸角线的交点，所以平行四边形ABCD的面积为三角形OAB的面积

18、的四倍，由cos/AOB="OB> >| OA| | OB|1811=? ? sin Z AOB= t? 8A445445OAB=1| 7OA| | "OB |sin ZAOB= 11,从而平行 28,11四边形ABCD勺面积为-2.11答案：了e a, x< 0,13 . (2019 前黄中学模拟)已知函数f(x)=(aCF),若函数f(x)在R2x-a, x>0上有两个零点，则实数 a的取值范围是 .解析：画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(一8, 0和(0 , +8)上各有一个零点.当x<0时，f(x)有一个零点，需0vaw1；当x>0时，f(x)有一个零点，需一a ，与 不<0,即 a>0.综上，0vaW1.答案:(0,114 .已知 a>0,函数 f ( x) = (a+1)x2x+sin x+a2, x C R 记函数 f(x)的值域为M函数f(f(x)的值域为N,若M? N,则a的最大值是 .解析：因为 f' (x) =2(a+1)x1+cos x, f ' (x) ' = 2(a+ 1) sin x>0 恒成立，所以f ' (x)单调递增，又f' (0) =0,所以当x<0时，f '