相交线、平行线、垂线(二)

1、相交线、平行线、垂线（二）接上期7 .几何证明题的基本结构和方法：1. 正确地进行证明，先要探求证明的思路：这有三种方法：一种方法是从结论着眼，思考要使结论成立，需要具备什么条件，这样逆推直到需要的条件已经具备，当然这种逆推的过程中，要不断地向已知条件靠拢，这就是“执果索因”。有时，这种逆推会遇到障碍，这时也可用另一种方法思考，即从已知条件入手，思考从已知条件可以顺推出什么结论来，这样顺推直至结论成立，这就是“由因导果”，或者也可以顺推与逆推相结合，从问题的两头向中间靠拢，从而发现问题的突破口，这也叫“两头凑”。2. “执果索因”的方法也就是证明的思维方法中的“综合法”，“由因导果”的方法也就

2、 是证明的思维方法中的“分析法”。“两头凑”的方法也就是证明的思维方法中的“分析综合 法”。3. “综合法”、“分析法”，“分析综合法”是证明的思维方法中的直接证法。注：今后学习中还会学习到证明的思维方法中的间接证法：反证法和同一法。 这两种方法在今后的学习中会逐步介绍给同学们。8 .思维方法的训练例1.已知如图，AOE一直线，OB为任一射线，OP平分/ AOBOE平分/ BOC求证：OEL OR分析：1、由逆推法分析要证明 OEL OP,由垂直定义只要证明/ EOP=90 ,而/EOP由/ 1、/ 2所组成，只要证明/ 1 + 2 2=90° o由于 OE, OP分别是/ BOCm

3、/ AOB的角平分线，/BOC / 2=/AOB /(/AOB吆 BOC尸90 ,即/BOC=180 ,那么1 + 2 2=90° o2 .由顺推法分析：由 A0E直线推出/ AOB吆BOC=18U ,由 OP, OE分别为/ AOB /BOC平分线推得/ BOC 由/ POE=/ 1 + /2=( / AOB吆 BOC瓶得/ POE=90 再推得 OPLOE3 .上述分析中和的两个推理是并列的，因而在证明中先写或没有什么关系，但 是和共同的结果，所以必须在和的后面。证明：(1)换)(2)(3) ./ POE之1 + /2 (全量等于部分之和)(/ AOB吆BOC)(等量代X180&

4、#176; （等量代换）=90°OP± OE （垂直定义）整个证明过程由3部分推理所组成，书写证明过程要用顺推法由前向后写例2、已知如图，/ AOG / BOM对顶角，OE平分/ AOC OF平分/ BOD求证：OE, OF互为反向延长线。分析：（1） OE, OF互为反向延长线是指 EOF为一条直线，即证 明E、O、F三点共线。证明这类问题首先要克服视觉给我们带来的干 扰，如/ 1和/ 2并不能看成是一对对顶角，因为缺乏构成对顶角的 必要条件。OE与OF互为反向延长线，而这一点恰恰是本题证明的目标。（2）证明E、O、F三点共线通常采用/ EOE180。，利用平角定义完成三

5、点共线证明。（3）为证明/ EOF=180 ,只要证明/ 1 + /AOF=180 ,从已知/ AOCW/ BOM对顶角，可 推知A、O B三点共线：即/ AOF+Z 2=180° ,只要证明/ 1 = /2,题设中由/ AOC / BOM对 顶角又可知/ AOCy BOD又由OE OF分别为/ AOC/ BO评分线，正好创设了证明/ 1 = /2 的条件。证明：./ AOC / BOD为对顶角（已知） / AOCN BOD（对顶角相等）.OE平分/ AOC OF平分/ BOD（已知）/ 1 =/AOG /2=/ BOD（角平分线定义）./ 1 = /2 （等量之半相等）/ AOC

6、/ BOM对顶角（已知）.AB为直线（对顶角定义）/ AOF吆2=180° （平角定义） / AOF吆1=180° （等量代换）./EOF=180 （等量代换）OE, OF互为反向延长线（平角定义）九.剖析图形结构，挖掘等量关系例3、已知如图， OBL OA 直线 CD过O点，/AOC=20,求证/ DOBB勺度数分析：题设中的条件给出了许多的角的关系，由OBL OA可知/ 1 + 2 2=90° ;由CD过O点,可知/ 2+ /BOD=180 ,再由/ AOC=20 ,很容易求得/DOB的度数解：（不是证明题，不能写“证明”，而写“解”字） . OBL OA （

7、已知） ./AOB=90 （垂直定义） /1 + /2=90° （等量代换）./ 2=90° -/1（等式性质） .直线CD过O点（已知） ./COD=180 （平角定义） / BOD吆2=180° （等量代换） ./BOD=180 -/2（等式性质）=180° -（90° -/1）（等量代换）=90° +/ 1 （等式性质） /1=20° （已知） . / BOD=90 +20° （等量代换）=110° （等式性质）答：/ BOD勺度数为110。（求解题最后写答）例 4、已知如图， OAL OC OBL

8、 OD / AOD=2 BOC 求/ BOC勺度分析：由题设条件（/ AOD=* BOC这是有关/ BOC勺关系式，由 直条件可推出）/ AOB=90 - / BOCCOD=90 -/BOC可见/ AO&/COCO与/ BOC相关，可运用代数方法，元，用方程思想解题，直接设BOC=x用x表示其余的相关角， 分析其等量关系， 得到关于x的方程, 样做，无论从叙述或思考都比较简捷。解：设/ BOC=x,/ AOD=。BOC （已知） / AOD=3x又 / AODN AOB吆BOC吆COD（全量等于部分之和）3x=/ AOB+x+Z COD（等量代换）2x=/ AOB吆COD（等式性质）

9、. OAL OC OBL OD （已知） ./AOB=90 -x , / C6=90° -x （垂直定义）-2x=90° -x+90° -x （等量代换）.4x=180° （等式性质）. x=45° 即/ BOC=45答：BOC勺度数为45°。十.例题：例1.如图所示，直线 AR CD EF相交于点O, /AOC=70 ,/BOE=80 ,求/ DOF的度数。精析：/AOC / COE /BOES成一个平角， 而 / AOC / BOE 的度数为已知，所以，可以先求出/COE的度数，再根据对顶角相等得到/ DOF的度数。解：.AB是直

10、线（已知）， /AOC吆COE吆BOE=180 （平角的定义）， ./COE=180 -/AOC-/ BOE ,/AOC=70, / BOE=80 （已知） . / COE=30 ,CD、EF相交于点O （已知） / COEW/ DOF是对顶角（对顶角的定义） / COEN DOF （对顶角相等） ./ DOF=30/ AOC例2.如图所示，直线 AB与CD相交于O点，OE平分 射线OF，CD于点O,且/ BOF=24 ,求/ COE的度数。解：. OF CQ / BCF=24° , ./AOC=180 -/COF-/ BOF=180° -90° -24°

11、;=66°又 OE平分/ AOC/ AOC=X66°=33°即/COEB勺度数为33°以下两题和平行有关，等学习平行之后再看。例3.如图所示，AB/EF ,求证：/ BCF4 B+/ Fc精析：过点C作CD/AB,则/ B=/1,由平行公理还 可推出CD/EF , ./2=/F, 有/ BCF=Z B+/ F。证明：过点C作CD/AB ,则/ B=/ 1 （两条线平行，内错角相等）AB/EF （已知），CD/ABCD/EF （平行公理推论）./ F=/2 （两直线平行，内错角相等）. / 1 + / 2=/ B+/ F 即/ BCF=Z B+/ F例4.如图所示，已知 AB± BC于B, EF分别交AG BC于E、F, /A+/AEF=180 ,求证：EF± BG精析：由/ A与/ AEF互补可推得 AB/EF ,然后由AB±