广东省深圳市宝安区2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试卷含解析

1、玉女区2018-2019学年高二下学期期末考试数学理试卷一、选择题。1 .已知集合 A x y JX" , B x 1 x 2 ,则 AI B ()A. 1,1B. 1,1C. 1,2D. 1,2【答案】C【解析】【分析】集合A和集合B的公共元素构成集合AI B ,由此利用集合A= x X 1,B x| 1 x 2 ,即可求出AI Bo【详解】因为A x y ，X1 = x x 1 0 x x 1 o集合B x 1 x 2 ,所以 AI B x1 x 2 = 1,2。【点睛】本题考查交集及其运算，是基础题，解题时要认真审题。2 . z 1 i 2i (i为虚数单位)，则复数z对应的点

2、在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】通过z -2-求出z ,然后得到复数z对应的点的坐标。1 i2i 2i(1 i) , . 【详解】由z 1 i 2i得z 一-1 i.所以复数z在复平面对应的点在第 1 i (1 i)(1 i)一象限。【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题。3.已知顶点在x轴上的双曲线实轴长为 4,其两条渐近线方程为 2x y 0,该双曲线的焦点A. 23,0B. 4、, 3,0C.2 . 5,0D.4,5,0【解析】【分析】由双曲线实轴长为4可知a 2.由渐近线方程

3、 2x可得到b a2.然后利用b2,即可得到焦点坐标。由双曲线实轴长为 4可知a 2.由渐近线方程2x y0,可得到2.即 b 4.所以c2a2 b2 20.又双曲线顶点在x轴上，所以焦点坐标为2.5,0本题考查了双曲线的几何性质,渐近线方程，属于基础题。4.已知函数2x1,Xx 27A. 一8【答案】CB.C. 1D. 7根据题意，由函数的解析式可得3 f(1) f(1).,又由 f (1)21即得到答案。【详解】由函数的解析式可得f( 1) f(1).,又由 f (1) 21 11,贝U f ( 3) 1.【点睛】本题考查了分段函数,解答的关键是运用函数的周期性把f ( 3)转化有具体解析

4、式的范围内。5.在ABC中,BAC 60AB 3 , AC 4,点M满足uuuvumvuuv uuuuv _BM 2MC ，则 AB AM 等A. 10B. 9C. 8D. 7【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，表不出向量uuurAM然后求解向量的数量积。【详解】在ABC中,BAC 60 , AB 3, AC、产. uuuv uuuv 一/曰满足BM 2MC，可得uuuin i uur 2 UULr AM -AB -AC.33ntt uuv uuuv uuu 1 uur 则 AB AM = AB (-AB32 uuir 1 uuu 2-AC)=-AB 332 uuu uuir -AB AC

5、3213 - 3 4 - 7.32【点睛】本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量。6.如图，在平面直角坐标系xOy中，质点M , N间隔3分钟先后从点P ,绕原点按逆时针方向作角速度为一弧度/分钟的匀速圆周运动，则6N运动的时间为（）M与N的纵坐标之差第4次达到最大值时,PC. 49.5分钟D. 52.5分钟A. 37.5 分钟B. 40.5 分钟【答案】A【解析】【详解】分析：由题意可得：yN=sin - x 一62cosx , yM= 一 x+3sin x ,6626计算 yM- yN= J2sin x ,即可得出.64详解：由题意可得：yN=sin x 62cosx ,

6、 y后 cos x+3 一662sin 一 x y m- yN=yM yN= 2 sin - x 3令 sin x=1,解得： 一 x=2kTt+ , x=12k+ ,646422k=0, 1, 2, 3.与N的纵坐标之差第 4次达到最大值时，N运动的时间=3X 12+3=37.5 （分钟） 2故选：A.点睛：本题考查了三角函数的图象与性质、和差公式、数形结合方法，考查了推理能力与计 算能力，属于中档题.也查到了三角函数的定义的应用，三角函数的定义指的是单位圆上的 点坐标和这一点的旋转角之间的关系 .7.下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）eg“ c 2c 4c 16A. 8 B.

7、 8 C. 8D. 8 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图是，边长为 2正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一个顶点为球的球心。【详解】根据三视图得到原图是，边长为2的正方体，挖掉八分之一的球，以正方体其中一43 14个顶点为球的球心，故剩余的体积为：8 2 8 .383故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出

8、几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8. “ a 3 ” 是“圆 O ： x2 y2 2 与圆 C ：2y a 8外切”的(A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件由圆O ： x2 y2 2与圆C :2y a8外切可得，圆心0(0,0)到圆心C(a,a)的距离是3J2.求出a的值，然后判断两个命题之间的关系。【详解】由圆0 ： x2 y222与圆C ： x a y2a 8外切可得，圆心 0(0,0)到圆心C(a，a)的距离是3乏即J(a 0)2 (a 0)2 J207 372,可得

9、a 3.所以22-22a 3是圆0： x2 y2 2与圆C ： x a y a 8外切”的充分不必要条件。【点睛】本题考查了两个圆位置关系及两个命题之间的关系，考查计算能力，转化思想。属于中档题。9.已知点M (°, 1)在抛物线C:x2 2py(p 0)的准线上，F为C的焦点，过M点的直线与C相切于点N ,则A. 1【答案】B【解析】【分析】根据题中条件可得到抛物线方程，由直线和抛物线相切得到切点N的坐标，进而求得面积.【详解】点M 0, 1在抛物线C:x2 2py(p 0)的准线上，可得到p=2,方程为：X2 4y,切点N ( x,y ),满足x2 4y ,过M点的直线设为y k

10、x 1,和抛物线联立得到2x 4kx 4 0 ,2一一 ,、 一一 .216k16 0 k 1 ,取 k=1,此时万程为 x 4x 4 0, N 2,1，一 八11 C CCFMN 的面积为：S2FMxn2 2 22.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了直线和抛物线的位置关系，当直线和抛物线相切时，可以联立直线和抛物线，使得判别式等于0,也可以设出切点坐标求导得到该点处的斜率10.已知 ABC为等腰三角形，满足 ABAC J3, BC 2,若P为底BC上的动点，则uuv uuv uuuvAP (AB AC)A.有最大值8【答案】DB.是定值2C.有最小值1D.是定值4设AD是等腰三角形的高.将

11、AP转化为uuv ADuuv , uuv uuv什八斗 uuuDP ,将 AB AC转化为2AD，代入数量积公式后，化简后可得出正确选项【详解】设AD是等腰三角形的高，长度为J37_ uuu uuv uuvV2 .故 AP AB ACuuuvuuuv uuuvuuv2 uuivuuiv uuiv2ADDP2AD2AD2DPAD2AD24.所以选D.【点睛】本小题主要考查向量数学思想方法.属于基础题.线性运算，考查向量的数量积运算，还考查了化归与转化的11.函数f xex 2 x 1的图象大致为（）从而可得结果.【详解】函数f x ex 2 x 1是偶函数，排除选项 B；当x 0时，函数f x

12、ex 2x 1 ,可得f' xex 2,0,ln2时，f' x 0,函数是减涵数，当x ln 2时，函数是增函数，排除项选项 A, D ,故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数 定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,212.已知双曲线X2 a右两支上关于坐标原点的中点，若原点A. 3排除不合要求的图象0)的左、右焦,1(a线O在三段MN为N分别为AF2、BF22 y_2B. J6ij为 Fi、F2, A、B分别是双曲线左、则双曲线

13、的离心D.根据M、N分别为AF2、BF2的中点，故OMff行于A平行于AF2,再由向量点积为0得到四边形AF1BF2是矩形，通过几何关系得到点 A的坐标，代入双曲线得到齐次式，求解离心率.【详解】因为M、N分别为AF2、852的中点，故 OM平行于AF1,ON平行于AF2,因为原点O在以线段MN为直径的圆上，根据圆的几何性质得到OM瓯直于ON故彳#到AF2垂直于BF2,由AB两点关于原点对称得到，四边形AF1BF2对角线互相平分，所以四边形AF1BF2是矩形，设角 AOF2,根据条件得到tan2短，sin2.2 ,cos3c 2 2c OA c, A -, 将点A代入双曲线方程得到：332 o

14、 2c 8c11142 24429a2 9b29a 18a c c 0 e 18e 9 0 e 12. 22a b c解得 e2 9 6 2 e 、. 6.3故答案为：C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出 a, c,代入公式ce ;只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，结合b2 c2 a2转化为a,c的齐a次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（ e的取值范围）.二、填空题.x 113.若x, y满足y 1,则z

15、x 2y的最小值为x y 3【答案】2【解析】【分析】x zx z回出不等式组表本的可行域，将 z x 2y变形为y -,移动直线y -并结合2 22 2图形得到最优解，进而得到所求的最小值.【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示. x z .A时，直线y 在y轴2 2x z平移直线y -,由图形得，当直线经过可行域内的点2 2上的截距最小，此时 z取得最小值.由x y 3解得y 1所以点A的坐标为(4, 1).所以 Zmin 4 2 ( 1) 2.故答案为2.【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函

16、数中z的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求.,15 ,14.在 一1 Jx 1的展开式中常数项等于 x【答案】9【解析】【分析】先求出二项式 & 1 5展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项.【详解】二项式,x55 r1的展开式的通项为Tr 1ClJx)5'C；x亍(r 0,1,2,L,5)，1 5. 1 JX 1展开式中的常数项为c53 ( 1) C5 10 1 9. X故答案为9.【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的 通项，然后采用组合(即“凑”)的方法得到所求的项，解题

17、时要做到细致、不要漏掉任何 一种情况.215.已知双曲线C:x2 1的左右焦点分别为F1、F2,点A在双曲线上，点 M的坐标为 32 .-,0 ，且M到直线AF1 , AF2的距离相等，则| AF1 |3-【答案】4【解析】【分析】画出图形，根据M到直线AF1，AF2的距离相等得到 AM为 F1AF2的平分线，然后根据角平分线的性质得到AF1AF2F1MMF?2 ,再根据双曲线的定义可求得【详解】由题意得下22.0，点A在双曲线的右支上,又点M的坐标为 |F1M | 283,MF2画出图形如图所示,MPAF1, MQAF2,垂足分别为P,Q,由题意得MP |MQ , 什 / AM为 F1AF2

18、的平分线,AF1,AF2又AFi"AFi故答案为FiMMF2AF24, AF24.2,即 |AF12 AF2 .2,2.【点睛】本题考查双曲线的定义和三角形角平分线的性质，解题的关键是认真分析题意，从 平面几何图形的性质得到线段的比例关系，考查分析和解决问题的能力，属于中档题.16.在 ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c, D是AB的中点，若CD 1且1(a -b)sin A (cb)(sin CsinB),则 ABC面积的最大值是【答案】_155由题意及正弦定理得到2,2a b2 abc 一2一 一 八 1. 15 一一, 一，于是可得cosC -,sinC &quo

19、t;5;然后在 CDA44和CDB中分别由余弦定理及CDA CDB可得c22(a2 b2) 4 .在此基础上可得 a2 b2 ab2【详解】如图，设4 ,再由基本不等式得到 ab8口A ,一，一,于是可得三角形面积的最大值.5CDA ,则 CDB在 CDA和 CDB中，分别由余弦定理可得cos2-1 b2-,cos(c21 a2)'c2两式相加，整理得 2 (a2 b2) 0, 2 c22(a2b2) 4 .由 a b sinA c b sinC sinB 及正弦定理得 a ba cbcb, 22整理得a2 b2 c2 ab,22.22由余弦定理的推论可得 cosC a-b 1,所以s

20、inC 乂15.2ab 44把代入整理得a2 b2 ab 4 , 2又a2 b2 2ab,当且仅当a b时等号成立,ab 5ab ,8所以4 2ab ,故得ab 一 .225所以 Sabc 1absinC 1 8 %叵.22 545即ABC面积的最大值是故答案为_15 .5【点睛】本题考查解三角形在平面几何中的应用，解题时注意几何图形性质的合理利用.对于三角形中的最值问题， 求解时一般要用到基本不定式，运用时不要忽视等号成立的条件. 本题综合性较强，考查运用知识解决问题的能力和计算能力.三、解答题.117 .各项均为正数的数列an的首项a1,前n项和为Sn,且Sn iSnan 1(i)求an的

21、通项公式：(2)若数列bn满足bnnan,求bn的前n项和Tn.【答案】(1)an2n n,2(2)Tn1 n210,1【解析】【分析】(1)已知Sn1 Sn2 一,口 cCan 1 , 可付 SnSn 12 i1an ,则an 1an,并驯证n 1时，ZE否满足等式，从而知数列an是等差数列，求其通项即可。(2)因为bnnan=n n1 ,是由等差数列和等比数列的对应项的积组成用错位相减法即可求和。所以当n2时,-得:an 1(1)因为SnSnSn1anan 11Snanan因为an的各项均为正数，所以an 11an 0 ,且 0,所以 an 1 an 一由知,2_ -S2 S1a2 ,即

22、2a1a2一12又因为a1,所以a2.1 一故 an 1 an n N1.1 所以数列 an是首项为-,公差为1的等差数列1an (1)得 an , bnnd所以TnTn-得Tn10且 1时,Tn2, TnTn11时,由得综上，数列bn的前n项和Tn2n-210,1【点睛】本题主要考查了等差数列,等比数列以及数列的求和。利用等比数列求和公式时,当公比是字母时，要注意讨论公式的范围。属于中档题。18 .如图，在四面体 ABCD中，E, F分别是线段 AD, BD的中点， ABD BCD 900,EC J2，AB BD 2,直线EC与平面ABC所成的角等于30°.(1)证明：平面EFC

23、平面BCD;(2)求二面角 A CE B的余弦值.一r1【答案】(I)见证明；(n)。3【解析】【分析】(I)先证得 EF FC ,再证得EF BD ,于是可得EF 平面BCD ,根据面面垂直的 判定定理可得平面 EFC 平面BCD. (n)利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即 可得到所求.【详解】(I)在 R BCD中，F是斜边BD的中点, .1所以 FC -BD 1. 2因为E,F是AD,BD的中点，一,1所以 EF -AB 1 ,且 EC V2， 2所以 EF2 FC2 EC2,所以EF FC .又因为 AB BD,EF/AB,所以EF BD ,又 BD FC F ,所以EF 平面

24、BCD ,因为EF 平面EFC ,所以平面EFC 平面BCD .(n)方法一：取 AC中点M ,连ME ,则ME /CD ,因为 CE 1AD 2 , 2所以CD AC.又因为 CD BC , AC BC C,所以CD 平面ABC ,所以ME 平面ABC .因此 ECM是直线EC与平面ABC所成的角.故 AC 2MC 2EC cos30o .6 ,所以 CD BC .2.过点B作BN AC于N ,则BN 平面ACD ,AB BC 23且BNAC 3过点B作BH EC于H ,连接HN , 则 BHN为二面角 A CE B的平面角.因为 BE BC EC J2,所以 bh UBE *HNBH2BN

25、2 端所以cos BHN 一, BH 31因此二面角A CE B的余弦值为-.3方法二： 如图所示，在平面 BCD中，作x轴，BD以B为坐标原点，BD, BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系 Bxyz .因为CD BC J2（同方法一,过程略）则 C 1,1,0 , A 0,0,2 , E 0,1,1 .uuv1,0,1 , BEuuv0,1,1 , AE0,1, 1 ,v设平面ACE的法向重mx1, y1, Z1 ,uuv v则 AEvm °,即 y10,取 入 1 得m 1,1,1 .CE?v 0% 乙 0v设平面BCE的法向重nx2,y2,z2uuv vBE n0y2z2

26、0v ,则 uuvv ，即 2 ，取 x2 1,得v 1, 1,1 .CE n0x2Z20v v 所以cos m,n由图形得二面角因此二面角AV vm n 1_ 1im1V 近收 3'A CE B为锐角， 1 CE B的余弦值为.3【点睛】利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求 解，注意计算和证明的交替运用.利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过 求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系.19.如图，OA OB是两条互相垂直的笔直公路，半径。上2km的扇形AO觉某地的一名胜古迹区域.当地政府为了缓解该古迹周围的交

27、通压力，欲在圆弧AB上新增一个入口 P (点P不与A, B重合)，并新建两条都与圆弧 AB相切的笔直公路 MB MN切点分别是B, P.当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低.设/ POA=,公路MB MN的总长为f ().(1)求f()关于 的函数关系式，并写出函数的定义域;(2)当 为何值时，投资费用最低？并求出 f ()的最小值.【答案】(1) f( ) 4tan(- -) 2tan (0) ；(2)当 一时，投资费用最低,4 226此时f()的最小值为2&(1)由题意，设 POA ,利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公f的解析式，再利用基本式，即可得函数的关

28、系式;(2)利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案【详解】（1）连接OM，在Rt OPA中,OP2, POA ,故 AP 2tan据平面几何知识可知 MB MP, BOM在 Rt BOM 中，OB 2, BOM 一 一，故 BM 4 2所以 f x AP 2BM 2 tan4 tan( ),4 22 tan(),4 2显然 （0,-）,所以函数的f定义域为（0,一）, 2即函数关系式为f x 2tan4 tan(),且4 2(2)化简（1）中f的函数关系式可得:4tan 一 8 2tan2- 1 2y t2 4ttan t(124t - 432)

29、,则 tan 22 t ,代入上式得:42.32.3当且仅当2tan 2tan 一22 3求得tan3 ,，又03一时，投资费用最低，此时 f 的最小值为2J3.6【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用, 以及基本不等式求最值问题，其中根据平面几何的知识和三角函数的关系式和恒等变换的公式，得到函数的解析式是解答的关键，着重靠考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力20 .中国已经成为全球最大的电商市场，但是实体店仍然是消费者接触商品和品牌的重要渠道某机构随机抽取了年龄介于10岁到60岁的消费者200人，对他们的主要购物方式进行问卷调查.现对调查对象的年龄分布及主要购物方式进行统计，

30、得到如下图表：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下7540岁或40岁以上55总计(1)根据已知条件完成上述列联表，并据此资料，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关？(2)用分层抽样的方法从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，然后再从这8名消费者中抽取5名进行答谢.设抽到的消费者中40岁以下的人数为 X ,求X的分布列和数学期望.分英公式：K临界值表：n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)其中n a b c d._2P K k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063

31、.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)可以在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关；(2)见解析【解析】【分析】(1)先由频率分布直方图得到列联表，再根据公式计算得到卡方值，进而作出判断；(2)消费者中40岁以下的人数为 X ,可能取值为3, 4, 5,求出相应的概率值，再得到分布列和期望.【详解】(1)根据直方图可知40岁以下的消费者共有200 0.1 0.2 0.3120人，40或40岁以上的消费者有 80人，故根据数据完成列联表如下：主要购物方式年龄阶段网络平台购物实体店购物总计40岁以下754512040岁或40岁以上2555

32、80总计100100200依题意，K2的观测值2200 75 55 25 45K 120 80 100 10075 18.75 10.8284故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为消费者主要的购物方式与年龄有关(2)从通过网络平台购物的消费者中随机抽取8人，其中40岁以下的有6人，40岁或40岁以上的有2人，从这8名消费者抽取5名进行答谢，设抽到的消费者中40岁以下的人数为 X,则X的可能取值为3, 4, 5且PX 3岑201C856 14C2 c43015C556 28c20c663c85628515315E X 34 5 3.751428284则X的分布列为:X3455153P1

33、42828故X的数学期望为3.75.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随 机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列 组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按 规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些 实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接 利用这种典型分布的期望公式求得.21 .已知抛物线E： y2 2 Px上

34、一点 m,2到其准线的距离为 2.(1)求抛物线E的方程;(2)如图A, b, C为抛物线E上三个点，D 8,0 ,若四边形ABCD为菱形，求四边形ABCD的面积.【答案】(1) y2 4x ; (2) 32或16而【解析】【分析】(1)利用点在抛物线上和焦半径公式列出关于m, P的方程组求解即可。(2)设出A,C点的坐标及直线 AC,利用设而不求和韦达定理求出AC中点的坐标，然后求出B点的坐标，利用 B在抛物线上以及直线 BD和直线AC的斜率互为负倒数列出方程组求出B点坐标，然后求出 AC的长度，即可求出面积。4 2mp【详解】(1)由已知可得 p ，m 22消去 m 得：p2 4p 4 0

35、, p 2抛物线E的方程为y2 4x(2)设 A 4,W，C X2,y2 ,菱形 ABCD 的中心 M %,y。当AC x轴，则B在原点，M 4,0 ,- 1一 一解法一：当AC与x轴不垂直时，设直线 AC方程:32,x ty m ,则直线BD的斜率为AC 8, BD 8 ,菱形的面积S - AC BD 2y2 4x x ty消去x得:2y 4ty4myi y2 4tyi y24mxx222yiy242yi y22yiy224t 2m42xo 2t m , yo 2t , M 为 BD 的中点2B 4t 2m 8,4t ,点B在抛物线上，且直线BD的斜率为 t。一 22- 一16t4 4t 2m 82t解得