(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习专题能力训练10等差数列与等比数列

1、专题能力训练10等差数列与等比数列专题能力训练第26页一、能力突破训练1 .在等差数歹U an中，a4+a0+a6=30，贝U a. 2ai4的值为()A.20B.-20C.10D.-10答案：D解析：因为 a4+a10+a16=30，所以 3a1。=30,即日。=10,所以 a-2a14=-a10=-10.故选 D.2 .在各项均为正数的等比数列d中，若log 2( a2a3a5a7a8)=5，贝Ua-a9=()A.4B.5C.2D.25答案：A解析：由题意得log2( % a3a5a7a8)=log 2=5log2a5=5,所以a5=2.所以a-a9=4.故选A.3 .设an是等比数歹U

2、, &是an的前n项和.对任意正整数 n,有an+2an+1+an+2=0，又a2,贝U S01的值为()A.2B.200C.-2D.0答案：A解析：设公比为 q, ,. an+2an+1 + an+2=0, 2 - a1+2a2+a3=0, . a1+2a1q+aq =0,：q2+2q+1=0, ：q=-1.又 a2,Soi= =2.-4.已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是S,若a3, a% a8成等比数列，则()Aa 1d>0, d$>0B.a 1d<0, d$<0Ca 1d>0, d&<0D.a 1d<0, d&

3、>0答案：B 解析：设an的首项为 a1,公差为 d,贝U a3=a+2d, a4=a+3d, a8=a+7d.- a3, a4, a8成等比数列,：(ai+3d) 2=( ai+2d)( ai+7d),即 3aid+5d2=0.2. dw 0, . aid=-d <0,且 ai=-d.,. dS4=2d(2ai+3d)=-d2<0,故选 B5 .中国古代数学专著九章算术中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为 .答案：120解析：由男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差

4、数列为an,其公差为d,前n项和为&.根据题意可知，&=1260, ai+a4+a7=390,(方法一)S9=9a5=1260, . 5=140.a1+&+az=3a4=390, ：a4=130, .，d=a5-a 4=10, .>.a3=a4-d=120.(方法二)即 一解得：a3=a+2d=120.6 .已知各项均为正数的等差数列 an的前n项和为S, So=40，则a3 - a8的最大值为 .答案：16解析：因为S10=40? a1+a10=a3+a8=8,印>0, a8>0,所以 a3 a8W =16,当且仅当a3=a=4时取等号.7 .设等比

5、数列an满足d+a3=10, a2+a4=5，则aa2an的最大值为 .答案：64解析：由已知 d+a3=10, a2+a4=aq+a3q=5,两式相除得一,解得 q=, a=8,所以da2an=8n -,抛物线f (n) =-n2+n的对称轴为直线n=-=3.5,又nC N,所以当n=3或4时，a®an取最大值为-=26=64.8 .设x,y,z是实数，若9x,12y,15z成等比数列，且成等差数列，则 =答案：一解析：由题意知解得 xz=y2=y2, x+z=y, -从而 -2=2J9 .已知 Sn为数列an的前 n 项和,且 a2+S=31, an+i=3an-2n(nC N)

6、. 求证: d-2n为等比数列；(2)求数列an的前n项和S. (1)证明由an+1 =3an- 2可得an+1- 2n+1=3an- 2n- 2n+1=3ch- 3 - 2n=3( an- 2n).又 a2=3a1-2，贝U &=a+a2=4a1-2,得 32+S=7a1-4=31,得 a1二5，贝U a2 =3w 0.故an-2n为等比数列.(2)解由(1)可知 an-2n=3n-1(a1-2)=3n,：an=2n+3n,.Sn=2n+1+-.-10 .记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式；(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设

7、a的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由 a1=-7 得 d=2.所以an的通项公式为an=2n- 9.(2)由 得 S=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时，S取得最小值,最小彳1为-16.11 .已知数列an是等比数列.设a2=2, a5=1已(1)若 ai+a2+an=t(+), nCN*,求实数 t 的值；(2)若在-与-之间插入k个数b1,b2bk,使得-,b1,"匕,-成等差数列，求k的值.解：设等比数列an的公比为q,由a2=2, a5=16,得q=2, a=1.(1)a1+&+&n=t(+-+ ),'=t ,即=t 对 nC N

8、*者B成立，：t=3. -(2) ._*_一一-,且-,b1, b2bk, - -成等差数列，:公差 d= -=,且-=(k+1)d,即-1=(k+1) x ,解得 k=13.二、思维提升训练12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了 “解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案已知数列 其中第一项是20,接下来的两项是20,2 1，再接下来的三项是20,2 1,2 2,依此类推.求满足如下条件的最小整数N N>100且该数列的前 N项和为2的整数哥.那么该款软件的?t活码是()A 440B. 330C. 220

9、D. 110答案：A解析：设数列的首项为第1组,接下来两项为第 2组,再接下来三项为第 3组,以此类推，设第n组的项数为n,则前n组的项数和为 .第n组的和为 一二2n-1,前n组总共的和为 -n=2n+1-2-n.由题意，N>100,令 一>100，得n> 且nCN*,即N出现在第13组之后.若要使最小整数 N满足：N>100且前N项和为2的整数哥，则S-应与-2-n互为相反数，即2k- 1=2+n(k C N*, n>所以 k=log 2( n+3),解得 n=29, k=5.所以N=+5=440,故选 A13.设等比数列an的前n项和为 与,若8a2+a=0

10、，则下列式子中数值不能确定的是()A. -B. -C.D.答案：D解析：等比数列an中,8 a2+a5=0, ：a5=-8a2, ：q=-2,-=4, =q=-2,-不能确定.- -14.若存在等比数列d,使彳导a1(次+己)=6a-9,则公比q的取值范围为 _. - -I答案：222斛析：因为a2+a3=a(q+q),所以(q+q)-6a1+9=0.当q+q=0时，易知q=-1满足题息，但qw 0;当q+q2w 0 时，A =36-36(q+q2 R 解得< q<-，综上，q C .15.设S为等差数列 an的前n项和，a2+a3=8, S9=81.(1)求an的通项公式；(2)

11、若S3, a14, Sn成等比数列,求S2m.解:(1) V故 an=1 +( n-1) x 2=2n-1.(2)由(1)知，S=-n2.4, a14, Sn成等比数列，.$=,即 9n2=272,解得 m=9,故 S2m=182=324.16.等比数列an的各项均为正数，且2a1+3%=1, =9a2a6.求数列an的通项公式(2)设 bn=log 3ai+iog 3a2+iog 3an,求数列-的前 n 项和.解:(1)设数列an的公比为q.由=9a2a6得=9 ,所以 q2=.由条件可知q>0,故q=.由 2ai+3a2=1 得 2ai+3aiq=1,所以 ai二.故数列an的通项

12、公式为an(2) bn=log 3ai+iog 3a2+iog 3an =-(1 +2+n)=.故-=-2 ,- -+ +-=-2- + .所以数列-的前n项和为-.17.若数列an是公差为正数的等差数列，且对任意nC N*有an - S=2n3-n2.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在数列bn,使得数列anbn的前n项和为 A=5+(2 n-3)2 n-1(n C N)?若存在，求出数列bn 的通项公式及其前n项和Tn;若不存在，请说明理由.解:(1)设等差数列an的公差为d,则d>0,an=dn+( a1-d), S=-dn2+ - - n.对任意nCN*,恒有an $=2n3-n2,贝U dn+(ai-d) -dn2+n =2n3-n2,即dn+(ai-d) - - =2n2-n. d>0,:an=2n 1.(2)二.数列anbn的前 n 项和为 A=5+(2n-3) - 2n-1(n N*),.当 n=1 时