(新高考)2020高考数学小题考法专训(七)圆锥曲线的方程与性质

1、小题考法专训（七）圆锥曲线的方程与性质保分小题落实练、选择题1. 一个焦点为（卷6, 0）且与双曲线22、w=1有相同渐近线的双曲线方程是（）22噫看12解析：选B设所求双曲线方程为y42x = t(tW0)因为一个焦点为（426, 0）,所以|i3t|=26.又焦点在x轴上，所以t =-2,即双曲线方程为2218-_8 = 1.22 .若抛物线y=4x上一点P到其焦点F的距离为2O为坐标原点，则4OF%勺面积为（）iA. 2B. 1c.2D. 2解析：选B设P（x0, y0）,依题意可得|PF=X0+1 = 2,解得X0=1,故y2 = 4Xl,解得1y0=2,不妨取 P(1,2)，则 OF

2、P勺面积为 2*1X2= 1.3 . （2020届高三江西七校联考已知双曲线2= 1（a0, b0）的离心率为3,则 a b双曲线的渐近线方程为（）A. y= 2 xB.2 y= 2 x22人泊卜D.解析：选D因为双曲线中c2=a2+b2,所以 e=a=里9所以5=士啦,所以双曲线的渐近线方程为y= 土，2x.故选D.224.已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线 ，y2= 1的离心率是（）A. 2解析：选D因为m是3与12的等比中项,2所以 m=3X 12= 36,解得 m= 6.若 m= 6,则曲线的方程为22卜1,该曲线是双曲线，其离心率该曲线是椭圆，其离心率 e=X6J26e=216

3、=2；若 m= 6,则曲线的方 2=岑.综上,所求离心率是2或W6.5.已知双曲线x2-y2 = 1的左、右焦点分别为8Fi, F2,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于 A, B两点，且|AF| = |BF|，则|AB=()A. 2 2B. 3C. 4D. 2 2+1解析：选C设双曲线的实半轴长为 a,依题意可得 a=1,由双曲线的定义可得|A因一 |AF| =2a=2, | BF| | BF =2a=2,又 |AF| = | BFi| ,故 | A团一| BF =4,又 | AB = | AE| | BF| ,故 |AB =4. 一 一. . 一TT6.已知RE是双曲线 E的左、右焦点，

4、点P在双曲线E上，/ FiPF=6且(F2F1+ F2P) FiP=0,则双曲线E的离心率e=(B.出+1C.J5+12D.肉12 一一 . 、, 一 、.一一 一一一兀 一解析：选D 由题意知， F2PF是等腰二角形，IF1F2I =|EP| =2c,因为/ F1PE=,所6以| PF1| =2陋1由双曲线的定义，可得243c2c= 2a,所以双曲线E的离心率e=9=H3t, a 2故选D.227. (2019 大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为 Ab2=1(ab0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为b,则椭圆的离心率为()3B.A. 一C.2D. 223解

5、析：选C由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得11b C 1 ,2X2 cx b= 2(2 a+2c) x 3,得 a=2c,即 e = a = 2,故选 C.228.已知双曲线02-b2= 1(a0, b0)的两个顶点分别为A, B,点P为双曲线上除 A, B外任意一点，且点 P与点A, B连线的斜率分别为ki, k2,若kik2=3,则双曲线的渐近线方程为（A.y= xB.C.D.y= 2 x解析：选C设点Rx, y）,由题意知ki k2= x- ax+ ax2 a2 a2y2 I=3,所以其渐近线方程为y=（3x,故选C.9.已知直线l的倾斜角为45 ,直线l

6、与双曲线C：22土9 1(a0b0）的左、右两支分别交于 M N两点，且MF,NF2都垂直于x轴（其中FiF2分别为双曲线C的左、右焦点）,则该双曲线的离心率为（）A. 3c.巾1B.5D?解析：选 D根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点,| MF| = | NE|.设点2M c, y。)，则 Nc, -yo), c2 a2yob2= 1,即 | yo| =c2-a2;由直线l的倾斜角为45。，且|MF|22=| NF2| = | yo| ,得 | yo| =C,即一-=c a整理得 c2aca2=0,即 e2e1=0,解得 e=*j 1或e = 1，（舍去），故选D.10. （20

7、19 石家庄模拟）已知椭圆22当+ y2= 1（ab0）,点F为左焦点，点P为下顶点,a b平行于FP的直线l交椭圆于A, B两点，且AB的中点为M卜，2 i!,则椭圆的离心率为（）1A. 2BY1C.4解析：选B.FP的斜率为一b一，人一，b FR/l,直线1的斜率为一3设A（X1, yWHy。，2x1132 +由2x27+ a2y：b22y2 1b2=122信 b2b2 一ix2 x2、邕；即,2b xdx2-2.x1 x2a y+y2y1y2.AB的中点为M1, 2B.b2b2a2=2bc,b2 + c2= 2bc, /. b=c, . a= J2c,，椭圆的离心率为-2，故选11.(2

8、019 合肥模拟)设抛物线C: y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF=5,若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的焦点到准线的距离为(A. 4 或 8B. 2 或 4C. 2 或 8D. 4 或 16解析：选C抛物线C的方程为y2=2px(p0),理。)，准线方程为x= p.如图，设准线与 x轴的交点为 K,则| KF =p.过M作M叶行于x轴交准线于P,则| MP= | MF =5.取MF的中点为N,过N作NQW亍于x轴交准线于 Q,交y轴于A,则| NQ =|MP+|FR 5pp 5 | MF .+ 2, |AN=|NQ2 = 2=匚2，.以M助直径白圆与y轴相切，A为切点，

9、A(0,2)故 M，5 p, 42p2-10p+ 16 = 0, .p=2 或 p=8,故选 C.12.已知椭圆与十ab2= 1(ab0)的左、右焦点分别为F1( -c, 0), F2(c, 0)P是椭圆上一点，|PE|=|F1F2|= 2c,若/ PRF1 1-3,兀；,则该椭圆的离心率的取值范围是A. 0B.C. 2D.解析：选D根据题意有| PF| = 2a - 2c| PF| = | FiF2| = 2c,贝U cos / PFF1 =4c2+ 4c2 f2a 2c 22X4c2c2- a2+ 2ac 1 2aca2 12c2=2+卞-2+e-制,因为/ PFF1C优，兀cos / P

10、FF1 111 1 1 2 125 所以T0， e,又e0,所以及 2。e 2 e1112e3? -e0)的焦点为F,其准线与双曲线 x-y=1相交于A B两点，若33 ABF为等边三角形，则 p=,抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为 .解析：抛物线的焦点坐标为 jo, P j准线方程为 y=-p,准线方程与双曲线方程联立可得xp= 1,解得x=飞h + p.因为 ABF为等边三角形，所以W31AB =P，即坐312,422X2、y3Zp2 =p,解得p=6.则抛物线焦点坐标为(0,3),因为双曲线渐近线方程为y=x,且=wi 啦.2.所以抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为答案：6 32214

11、.已知Fi, F2为双曲线 C: x2-y2 = 2的左、右焦点，点 P在C上，| PF| =2|PE| ,则 cos / F1 PE=.22解析：化双曲线的方程为x2-y2=1,则a=b= 但 c = 2,因为|PF| =2| PF2 ,所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知 | PF| | PF| =2a=22,解得|PF|=4j2, |P因 =2/，根据余弦定理得 cos/F1PF2一因办邛也)；16 =3.2X2/2X4/24答案：42215.已知F1, F2是双曲线Ex yb2=1(a0, b0)的左、右焦点，点 M在双曲线E上,则双曲线E的离心率为1解析：由题意知 F1(c

12、, 0),1M雨中，sin/MFF1 = 4，所以MF与 x 轴垂直，sin / MFF1 =一, 4因为 MF与x轴垂直，且 M在椭圆上，所以| MF =-.在Rt ab2|MF|1 口 ab21222tanZMFF1 = 即营荻=赤，又 b=c-a， 所以#5c2#5a22ac= 0,两边同时除以a2,得4行22e木5 = 0,又e 1,所以e=F3答案：号 2216. (2019 武汉调研)已知F为椭圆C：与+=1(ab0)的右焦点，O为坐标原点，M a b3为线段OF的垂直平分线与椭圆 C的一个交点，若cos/MOF,则椭圆C的离心率为 解析：设F(c, 0),yo 1,将2c,yo)

13、弋入椭圆C的方程得2+兰=1,即b2i ab2c24a2| ME=|yo| =正与=2中0,即 b211= 40,得 b2 H2 尸 40,又 a?b?= 36,所以a4-85a2+ 324= 0,解得 a2 =81 或 a2=4vc2 =y0.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则 MO时直角三角形，由于 cos/MOF2c所以不妨设-=3,则|OM = 7,c=6.由勾股定理可得c 6 236(舍去)，故a = 9,椭圆C的离心率e=- = - = -a 9 3答案：33B级一一拔高小题提能练1 .多选题已知O是坐标原点，A, B是抛物线y=x2上不同于 O的两点，OALOB下列 四个

14、结论中，所有正确的结论是 ()A. |OA I OB 2B. |OA + |OB2 2C.直线AB过抛物线y=x2的焦点D. O到直线AB的距离小于等于1解析：选 ABD 设 A(xb x2) , B(X2, x2),则OA OB = 0,即 X1X2(1 + X1X2) = 0,所以 X2=-X.对于 A, | OA I OB = jx2(1 + x2) x2 j +最 1=1 + x1+,X2+ 1 2,当且仅当 X1= 1时取等号，故 A正确；对于B, | OA + |OB*MOA . I OB 2、/2,故B正确；对于 G直线x y +1 = 0的距离d=1(a0, b0)的两顶点分别

15、为AB的方程为y-x2=%x1 (x X1),不过点|J0, 4 i，故C错误；对于D, O到直线AB ,122A1, A2, F为双曲线的一个焦点,2 .已知双曲线Ab2.一兀为虚轴的一个端点，若在线段BF(不含端点)存在两点P1, P2,使得/ ARA2=/AP2A = 2,则双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是(解析：选A不妨设点F为双曲线的左焦点，点 B在y轴正半 轴上，则 F( c, 0) , B(0 , b),直线BF的方程为bx cy= bc.如 图，以O为圆心，AA为直径，作圆 Q则Pi, P2在圆O上，由图可ba,知 bc-b2T 4 aba,ba,即b2c2 a2b2 +

16、 a2c2?|(b2 a2 c2 a2b2a,=(b2-a2 j(b2+ a2 a2b2 a, b4-a4-a2b20解得1v 2 2b0),双曲线N： m-n2= 1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆 M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M的离心率为 ;双曲线 N的离心率为 .双曲线N的离心率ei满足2e1= 1 + m2= 4, ei = 2.设D点的横坐标为得x2 =x,a2b23a2+b2.解析：法一：如图，二双曲线N的渐近线方程为y=mx,由正六边形的性质得| ED =2x = c,4x2= c2.4a b2 . 242. 2 .43a2 + b2 = a b ,信 3a 6a b b = 0,6b2b2 2b2 3 a2r- a2 i = 0,解得 a2= 23-3.椭圆 M的离心率 e2= 1 2= 4 - 2-f3.a1- e2=#-1.法二：双曲线 N的渐近线方程为y=mx,如图，连接EC由题意知，F, C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1,则|FQ=2C2=2 ,即 C2= 1.又E为椭圆M上一点，则| EF + | EC = 2a,即 1 + J3 = 2a, a =1+ .32，椭圆M的离心率为c22丁飞f T225.已知M为双曲线C：春=1（20, b0）的右支上一点，A, F分