利用综合除法巧解一元多项式问题

1、利用综合除法巧解一元多项式问题The Ingenious Use of Synthetic Division to Solve the Problem of One Element Polynomial HU Jiaojiao ， CHENG Qian( School of Mathematics and Statistics ， Qinghai Normal University ， Xining ， Qinghai 810008 )Synthetic division plays an important role in the study of higher algebra ， is w

2、idely used in solving， the expression ofmathematical problems. And the calculation of a polynomial factorization ， especially the root problem is complicated ， in this paper ， the polynomial function can be easily decomposed by using the synthetic division method， and the high degree polynomial can

3、be decomposed effectively. And at the same time division number greater than 1 is extended.Keywords polynomial ； synthetic division ； rationalroot ； factorization一元多项式是数学学习重要组成部分，是学生学习函数的基石；综合除法是带余除法的一种特殊情况，是研究多项式理论的重要工具， 在多项式计算中充当有利工具，本文利用这一工具分析如何简便快速计算多项式函数的函数值问题， 且在综合除法的基础上结合有理根判断法分解高次多项式； 最后再对除式

4、次数大 于 1 的综合除法表达式， 讨论其商式和余式的求法并给出简洁的 表达形式。1 预备知识定义 1.11 数环上一个文字的多项式或一元多项式指的是 形式表达这里是非负整数； 都是中的数。 在多项式中叫作常数项或零 次项，叫作次项，叫作次项的系数。定理 1.11 设，则中可找到多项式，当去除时，使，所 得余式就是在处的值，即。定理 1.21 设是一个整系数多项式， 若有理数是的一个根， 和是互素的整数，是一个整系数多项式，那么（1） 整除的最高次项系数，而整除的常数项系数；（2） 现介绍综合除法。设由定理 1.1 得其中 商式； 余式为，则可用下表计算出商式的系数和余式： 这就是综合除法。2

5、 综合除法的应用2.1 利用综合除法简便计算多项式的值 在计算高次幂多项式函数的值时， 会出现运算复杂、 运算量大、耗时长等特点，为简化运算、提高效率和正确率，当题目要 求求得某高次多项式函数的值时， 那么可以将利用综合除法写成 的多项式形式，余式的值即就是所求的值。例 1 ，求解：将通过综合除法分别写成以为除式的形式即；此时得例 2 将多项式表示成的形式解：所以因而综合上述解题方法， 可发现在求特定高次多项式值时， 综合 除法不仅提高运算效率， 还降低了运算量， 将函多项式写成特定 函数幂的形式对解题以及理解多项式也具有非常重要的意义。2.2 分解因式分解因式是代数式的恒等变形， 目前使用因

6、式分解的方法中 例如十字交叉法只能解决较低次幂多项式的问题， 对于高次幂多 项式计算仍没有行之有效的解决办法。 此时借助定理 1.2 利用综 合除法可解决高次多项式求有理根的问题。例 3 求多项式的有理根解：由题知最高项系数 1 的因数是 ?？，常数项 -6 的因数 是?？； ?？； ?？； ?？，由定理 1.3 知，所有可能的有理根 是?？； ? ？； ?？； ?？。以下通过综合除法来检验。即（二重根）， -1，-2，3 为全部根。本题中多项式次数较高， 简单十字交叉法不能， 将因式分解， 运用综合除法可对其分解，但注意重根情形。3 除式为高次多项式的综合除法 将综合除法中除式为的形式推广为更高次的整系数多项式 问题，文献2 中未给出余式的具体的表达式， 文献 3 虽分类详 尽，但结构太过复杂， 因此为提高应用广泛性和可操作性得到以 下一般形式。定理：设有，且，商式；余式则有；且；且则有下表：定理由关系式，比较同次项系数易得。例4 设，求除的商式和余式。解：令；那么根据上述一般方法公式对使用综合除法，除式为 所以除的商式为，余式为本题利用上面的表达式， 简捷地计算了除式为高次项的多项式运算，使问题变得简单化。如果除式中最高项系数不为1，那么我们应该先将除式变为最高项系数为 1 的多项式再利用综合 除法一般形式进行计算即可。4 结束语 本文利用综合除法及其相关拓展解决了多项式值计