(新高考)2020高考数学小题考法专训(十)导数的简单应用

1、小题考法专训（十）导数的简单应用A级保分小题落实练一、选择题1 .已知函数f(x)的导函数为f ' (x),且满足f (x) = 2xf ' (1) + ln x,则f'等于()A. eB1C1De解析：选 B 因为 f (x) = 2xf ' (1) + In x,所以 f ' (x) = 2f ' (1) + 1，令 x = 1,得 f ' (1) x=2f ' (1) + 1,解得 f ' (1) =- 1.2.已知直线2x y+1=0与曲线y=aex+x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a 的值是()A. eB

2、. 2eC. 1D. 2解析：选 C 设切点为(x(o, aex(o+x0),由曲线y=aex+x,可得y' =aex+1,则切线的斜率k= y'I x= x0= aex0+1.令aex°+1 = 2 可得x0= In则曲线在点(x°,aexo+x0),即a垢；，1+ln ；处的切线方程为y -1 - In ；=2工In ； j,整理可得 2x yIn 1+1 = 0.结合题中所给的切线2x y+1 = 0,得In 1+1=1, . a= 1.a3 .已知直线y=kx + 1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则b的值为()A. 3B. - 3C.

3、 5D. 5解析：选 A由题意知,3=k+1, . . k=2.又(x3+ax+b)' |x= (3x2+a)|x=1 = 3+a,3+a=2, a= 1,3= 1 1 + b,即 b= 3.4 . （2019 河北九校第二次联考）函数y=x + '+2In x的单调递减区间是（）xA. (-3,1)B. (0,1)C. (-1,3)D. (0,3)解析：选B令y' = 1H+2V0,得3vxv1,又x>0,故所求函数的单调递减区间 x x为(0,1),故选B.5 .已知函数y=xf ' （x）的图象如图所示（其中f' （x）是函数f（x）的导函数

4、），下面四个图象中大致为y=f（x）的图象的是（）解析：选 C 当 0vxv1 时，xf ' (x) v 0,，f ' ( x) v 0,故 y= f (x)在(0,1)上为减函数； 当x>l时，x(x) >0,，(x)>0,故y= f(x)在(1 , +8)上为增函数，因此排除A、日D,故选C.6 .若函数f(x)=kx 21n x在区间(1 , + °°)上单调递增，则 k的取值范围是()A. ( 一00, 一 2B. ( 一00, 一 1C. 1 , +°°)D. 2 ,+8)2 .斛析：选 D因为f(x)=kx

5、21n x,所以f (x) = k-.因为f (x)在区间(1 , +°0)上 x,2 ，八 r2,、单调递增，所以在区间(1, +8)上f ' (x)=k >0恒成立，即k>-恒成立，当xC(1, 十 xx却时，0<!< 2,所以修2,故选D.1,则a的取7.若函数f (x) = 1x2+ (a -1) x - aln x存在唯一的极值，且此极值不小于值范围为()；3、；3、A. |2, 2JB.弓，+00)；3、芭、C. |0, 2D. (-1,0) U 5 +8 J解析：选B对函数求导得f' (x)=x+a_1_a=(x+aJx1)因为函

6、数存在唯一的极 x x值，所以导函数存在唯一的零点，且零点大于0,故x=1是唯一的极值点，此时一a<0且f (1)13 ,=2 + a>l? a>2.故选 B.8. (2020届高三武汉调研)设曲线 C: y=3x42x39x2+4,在曲线 C上一点M(1 ,4)处的切线记为l ,则切线l与曲线C的公共点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选C y' = 12x3-6x2-18x,所以切线l的斜率k=y' | x=1 = 12,所以切线l的12x+y-8=0,432方程为 12x+ y8 = 0.联立方程 jy_3x4 2x3 gx2+4消去 y，

7、得 3x42x39x2+12x 4 =0,所以(x+2)(3 x-2)( x-1)2=0,所以 Xi=- 2, x2=|, x3=1,所以切线 l 与曲线 C有 33个公共点，故选C.a的取值范9.已知函数f(x)=xln xae (e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数 围是()1ejB. (0 , e)C1! e)D. ( 8, e)e .一 ln x+1解析：选 A f( x)= lnx ae + 1,令 f( x)= 0,彳导a =x.右函数f (x) = xlnxe1_ _ ln x_ 1xln x+1x一 ae 有两个极值点，则y=a和g(x)=x 在(0,+8)上有 2个交点，

8、g' ( x) =xee(x>0).令 h(x) = - ln x- 1,则 hz (x) = - A-< 0, h(x)在(0 , +°°)上单调递减 而 xx xh(1) =0,故 x (0,1)时，h(x) >0,即 g' (x)>0, g(x)单调递增，xC (1 , +8)时，h(x)< 0,即 g' (x)V0, g(x)单调递减，故 g( x) max= g(1) =1,而 x-0 时，g(x) 一一0°, x 一十 °0 e, 一 ln x+1 , 1时，g(x)一0.右y=a和g(x

9、) = -e在(0 , +8)上有2个交点，只需 0vavg10.已知函数f(x+1)是偶函数，当xC(1,十°°)时，函数 f(x) = sin x-x,设 a= fb=f(3) , c=f(0),则a, b, c的大小关系为()B. c< a< bD. a< bv cA. b< a< cC. bvcva5-2解析：选 A .函数f(x+1)是偶函数，函数 f(x)的图象关于直线 x=1对称，a=b=f(3) , c=f(0) =f(2).又当 xC(1, +8)时，函数 f(x) = sin x-x,当 x C (1 ,+8)时，f'

10、; (x) = cos x 1W0,即 f (x) = sin x-x 在(1 , + 00)上为减函数， bv a< c.11.设函数f (x)在R上存在导函数f' (x),对任意的实数 x都有f (x) = 4x2f ( x), ,1_1 当 xC(8, 0时，f (x)+2<4x,右 f (m 1)wf(m) + 4m 2,则头数 m 的取值氾围是 ()；1、： 3)A.2，+°° jB. | 2， +°° JC. 1 , +°°)D. 2,+8)解析：选 A 令 F(x) =f (x)-2x2,因为 F(

11、x)+F(x)=f(x)+f(x)4x2=0,所以 R x) =F(x),故 F(x) = f (x) 2x2 是奇函数.则当 xC(8, 0时，F，(x) =f ' (x) 4xv 1 22<0,所以函数F(x) = f(x) 2x在(8, 0上单调递减，故函数 F(x)在R上单调递减.不等式 f(m l)wf(m) + 4* 2 等价于 f(m+ 1) - 2( mu 1) & f( m) 2m2,即 F( m+1) < F(- _1 ,m),由函数的单倜性可得1 >- mi即mt> 2.故选A.12. (2019 福州模拟)已知函数f (x) =x

12、3- 2ex2+ mx- In x,若f(x)>x恒成立，则实数m的取值范围是()A. 'e2 + e+ 1, +°° JB. '0, e2+ e+ 1 'C. 1 -°°, e2+；+11D. (一°°, e2+J解析：选 A 由 f(x)>x 恒成立，得 x32ex2+mx- In x>x 恒成立，即 x3- 2ex2 + ( m-1)xIn x>0恒成立，因为x>0,所以两边同时除以 x,得x2-2ex+(m- 1)">0,则xln x 2,人In x 2，1

13、 In x,m- 1 >x- x + 2ex恒成立.令g(x) =x- x +2ex,贝Ug( x)=x 2x+2e,当 01 In x一一,1 In xvxve 时，2>0,2e -2x>0,所以 g (x)>0;当 x>e 时，2v0,2e2xv0,xx所以 g' (x)<0.所以当 x=e 时，g(x)max=-+ e2,则 m- 1>-+ e2,所以 m>e2+-+ 1,故选 eeeA.二、填空题 -,兀 .一 ,解析：因为 f' (x)=sin x+xcos x,所以 f'13.右曲线f (x) = xsin x

14、+1在x= 2处的切线与直线 ax+2y+1 = 0相互垂直，则实数 兀 兀兀/4sin - 十 万 cos -2"=1.又直线 ax-a !；= - 1,解得 a= 2.一 一、. a 一一，+ 2y+1 = 0的斜率为一万，所以1X答案：214.已知函数 f (x) =sin x-3x, x 0 , % , cos xo=1, xo 0 ,兀.f(x)的最大值为f(x。)；f(x)的最小值为f(xo)；f(x)在0 , Xo上是减函数;f(x)在Xo,兀上是减函数.那么上面命题中真命题的序号是 .解析：f ' (x) =cos x-1,由广(x) =0,得 cos x =

15、 1,即 X = X0.因为 xe 0 ,兀，当 330VXVX0 时，f' (x)>0;当 XoVXVtt 时，f' (X)v0,所以 f(x)的最大值为 f (Xo) , f(x)在 X0,兀上是减函数.答案：1215.若函数f(x) = ln x-2ax2-2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是 .解析：f' (x)=1ax 2= aX +：X_1. XX因为函数f(x)存在单调递减区间，所以f ' (X)W0有解.又因为函数f(X)的定义域为(0, +8),所以ax2+ 2x-1 >0在(0 , 十00)上有解.当a>0时，y =

16、ax2+2x 1为开口向上的抛物线，A=4+4a>0恒成立，所以ax2+2x1>0在(0 , +8)上有解恒成立；当a<0时，y=ax2+2x1为开口向下的抛物线，ax2+2x-1 >0在(0 , +°0)上恒有A =4 + 4a>0,解，则11解得1v a<0；a>0,当a=0时，显然符合题意.综上所述，实数a的取值范围是(1, +8).答案：( 1, +8)16. (2019 江西七校第一次联考 )定义：如果函数f (x)在a, b上存在X1, X2(aX1X2<功满足£'门1) =(X2)=芈卢岁)则称函数f(x

17、)是a, b上的“中值函数”.已知函 ba数f(x) = 1x31x2+m是0, m上的“中值函数”，则实数m的取值范围是 .32解析：由题意，知f' (x) = x2X在区间0 , m上存在X1 , X2(0 VX1 VX2m ,满足f ' ( X1)=f' (X2) =f何二f(0)= ?n2gm,所以方程 x2x = ；mi ；m在区间(0 , m)上有两个不相等的解. III 3232令 g( x) =x2x gn2+Jrm0 < x< m), 32r A = 1 + *-2m> 0,3I g(0 尸则1g(m .-mi+ -m> 032

18、|m2；m> 0,-33解得4 V mK 较安.33日木，g 2 !B级一一拔高小题提能练1 .多选题已知函数 y=f(x)的导函数f' (x)的图象如图所示，则下列判断正确的是()A.函数y = f(x)在区间13, -2 ,为单调递增B.当x= 2时，函数y=f(x)取得极小值C.函数y = f(x)在区间(一2,2)内单调递增D.当x=3时，函数y=f(x)有极小值解析：选BC对于A,函数y=f(x)在区间13, -2 j内有增有减，故 A不正确；对于B, 当x= 2时，函数y=f(x)取得极小值，故 B正确；对于C,当x (-2,2)时，恒有f' (x) >

19、0,则函数y=f(x)在区间(2,2)内单调递增，故 C正确；对于D,当x=3时，f' (x)w0, 故D不正确.2.多选题已知函数y = f(x)在R上可导且f(0) =1,其导函数f' (x)满足f g二f(x) x I>0,对于函数g(x)="x-下列结论正确的是()eA.函数g(x)在(1 , +°°)上为单调递增函数B. x= 1是函数g(x)的极小值点C.函数g( x)至多有两个零点D.当x<0时，不等式f(x)Wex恒成立解析：选 ABC g(x)=fex-1则 g' (x) = f(x)7f(x),当 x>

20、 1 时，由 (：J；fP b 0 可 得f ' (x) -f(x)>0,则g' (x) >0,故y = g(x)在(1 , +8)上单调递增，故 A正确；当x<1 时，由 f(x 匚f(x 卜。可得 f' (x) f(x) <0,则 g' (x)<0,故 y= g(x)在(一8, I)上单 x 1调递减，故x= 1是函数y=g(x)的极小值点，故B正确；若g(1) <0,则函数y=g(x)有2个 零点，若g(1) =0,则函数y = g(x)有1个零点，若g(1) >0,则函数y= g(x)没有零点，故C 正确；因为y

21、=g(x)在(一00, 1)上单调递减，所以y=g(x)在(一00, 0)上单调递减，由g(0)岑=1 ,得当 x<0 时，g(x) >g(0), 即故f (x) >ex,故D错误.3.已知函数 f(x) = aln xbx2, a, be R.若不等式 f (x) > x对所有的 be (-0°, 0 , x (e , e2都成立，则实数 a的取值范围是()2,e)A. e , +8)B,与，+°° J滴2 12c.12，e JD. e , +8)解析：选 B f (x) > x 对所有的 bC(一0 , x C (e , e2都成

22、立，即 aln x-x> bx2 对 所有的be (巴 0, xC(e, e2都成立，因为be (巴 0, xC(e, e2,所以bx2的最大 值为0,所以aln x-x>0在xC (e , e2时恒成立，所以a>x在xC (e , e2时恒成立，令ln xx9ln x 1x9g(x)=Mx，xC(e, e,则 g' (x)= 1n 2x >0 恒成立,所以 g(x) =nx在(e , e 上单调22递增，所以当x = e2时，g(x)取得最大值j,所以a>|,故选B.23124. (2019 石家庄模拟)已知函数f(x)=aax + ?2F，aCR,当x

23、C 0,1时，函数f(x)仅在x= 1处取得最大值，则 a的取值范围为解析：= f(x)=2ax3+ a2 x2 .f(x) =2ax + (2 a - 1) x,-0<x<1,a<0 时，f ' (x)<0,二.函数f (x)在区间0,1上单调递减，x=1时，f(x)取得最小值，与题意不符，a>0.由 f' (x) =2ax2+(2a1)x=0,得 x=0 或 x = 21. 2a,f(x)在区间0,1上单调递增，f (x)当 J1W0,即 a1 时，f' (x)>0(x 0,1) 2a2仅在x=1处取得最大值，符合题意.即Wav2时，令 f' (x)<