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1、中值定理证明题-CAL-FENGHAI.Network Information Technology Company.2020YEAR2中值定理证明题1.设/(兀)在0, 2a连续，/(0) =f(2a)f(2a),证明在0,a上存在使得【分析】/(x)在0,2a上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根 的存在性定理证明。辅助函数可如下得到f(af(a + + ) = = /(/( ) ) t t f(af(a+ )-/(勺=0Tf(af(a+ x)-/(x) = 0【证明】令G(x)G(x) = = f(af(a + + x)-f(x),x)-f(x),%e0,67 . G(x)在0

2、,a上连续,且G(d)G(d)= /(2a) - /() = /(0) -f(a)f(a)G(0) = /()-/(0)当/=/(0)时,取加0,即有/(“ + ) =/()；当/() =/(0)时，G(O)G(“)vO,由根的存在性定理知存在e(O,d)使得，G(g) = O,即 /(“ + ) = /()2.试问如下推论过程是否正确。对函数/(o=rsin7心在0,A-应用0 r = 0拉格朗曰中值定理得：2 * 1_0八 W)=- = = xsinxsin-=-=()= 2sin丄一cos丄(0vv劝x-0 x-0 x-0 x x 八即：cos = 24 sin - xsin (0 4

3、x)x) x xSO 0时.由lim 2sin- = 0 Um xsin-=0Z Zg g- X得：lim cos丄=0 ,即lim cos = 0(F gMg g解：我们已经知道，li叫cos丄=0不存在，故以上推理过程错误。3首先应注意：上面应用拉格朗曰中值的纟是个中值点，是由/和区间0,x的端点而定的，具体地说， 与X有关系，是依赖于X的，当XTO时， 不定连续地趋于零.它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使limcos4 = 0成立，而liiqcos；=0中要求纟是连续地趋于零。故由limcos- =0推不出limcos=o3.设fMfM在，切上可微,且f f：(a)(a) 0 Jl(b)

4、 0, /(“) =f(b)f(b) = = A,A,试证明 /(x)在 (“,/?)内至少有两个零点。知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。思路：要证明在某个区间小)内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在Mb上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。证明：f f：(a)(a) = =lim : o,由极限的保号性知，f f x-ax-amU+(也)(不妨设.对于VreU+aG),均有2x-ax-a特别地，北使得/(-|)/(-)0|.得/(x, )/() = A；X- - a a同理由得2 eU卫02)临Q，2x x2 2-b-b从而得f(xf(x2 2)f(b)f(b) = = A A；又T /(X)在x xv vx x

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