(完整word版)椭圆的画法(word文档良心出品)

1、几何画板简明教程并且设b2=a2c2得椭圆的标准方程图93第九章椭圆的画法和性质椭圆的定义1 .在平面内，到两个定点 Fi、F2的距离的 和等于常数(大于|Fi F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 这 两个定点叫做椭圆的 焦点，两焦点间的距离叫做 焦距。2 .椭圆的标准方程：设M(x, y)是椭圆是上任意一点，椭圆的焦距 为2c (c>0),则如图建立直角坐标系，又 Fi、F2 的坐标分别是Fi( c, 0), F2(c, 0),若M点与Fi、 F2两点的距离的和等于 2a (a>c>0),则|MFi|十 |MF2|=2a,(x c)2y2(x -c)2 y2 =2a,整理化简,2

2、2x y /-二i2 . 2.a b3 .椭圆的第二定义：设动点M(x, y)与定点F(c, 0)的距离和它到定直线l : x=的距离的比是常数 c (a>c>0),则点M的 ca轨迹是椭圆。点F是椭圆的一个焦点，直线l是椭圆. c中对应于焦点 F的准线。常数e= (0<e<i)是椭圆a的离心率。图924 .椭圆的参数方程：以原点为圆心，分别以 a、b (a>b>0)为半径作两个 圆，点A是大圆上的一个点，点B是OA与小圆的交点， 过点A作ANXOx,垂足为 N,过点B作BMXAN,垂 足为M,当点A在大圆上运动时，M点的轨迹是椭圆。设点M的坐标是(x, y

3、),()是以Ox为始边，OA为 终边的正角，取。为参数，那么5 = |ON |= |OA |cos(j)= acos 4 ,6 = |NM |= |OB|sin 4 = bsin 4 ,椭圆的参数方程是,x=acos1例是参数).y=bsin®49二.椭圆的画法：画法1:1 .在x轴上取两点Fl、F2,使|OFi|=|OF*用它们作为两个焦点；2 .在图形外作一条线段 CD,使 |CD|= 2a, (|CD|>|FiF2|);3 .以O为中心，在x轴上取两点 Ai、A2,使|AiA2|= |CD|;4 .在CD上分别取C'、D',使|CC'|=|AiFi

4、|=|DD'|;作线段C'D',并用“作图”菜单中的 “对象上的点"功能在 C'D'上作点M ;5 .分别以Fi、F2为圆心，用|CM|、|MD|为半径作圆，两圆相交于 Pi、P2两点；同样方法 分别以Fi、F2为圆心，用|DM|、|CD|为半径作圆，两圆相交于 P3、P4两点；并将这四个点定 义为“追踪点”；6 .依次选中点M、点Pi (或点M、 理论根据：点Pi是两圆的交点，点Pi到 Fi与F2的距离的和等于两圆的半径 和，即 |PFi|+ |PF2|= |CM|+ |MD| = |CD|=2a.说明：M点不要直接在 CD上取，那样 画出来

5、的椭圆将在x轴附近断开一点P2),用“作图”菜单中的“轨迹”功能，作出椭圆。图95段，因为计算机画的曲线实际上是由 若干条小线段形成的，这些线段的端 点是由符合条件的若干个点中随机选 取的，当我们使点M在CD上运动时， 一般情况点C '、D'都取不到，于是画 出来的图形就不好看了。画法2:1 .在x轴上取两点Fi、F2,使|OFi|=|OF*用它们作为两个焦点；2 .在图形外作一条线段，使它的长度为2a, (2a>|FiF2|);3 .以Fi为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点P;4 .连接PFi、PF2,作PF2的中垂线与 PFi交于点M,连接MF2；5 .将点M定义

6、为“追踪点”，分别选中点M、点P,用“作图”菜单中的“轨迹”功能画出椭圆。理论根据：点 M 在 PF2的中垂线上，|MP|=|MF2|,，|MFi|+|MF2|=|MFi|+ |MP|= |FiP|= 2a.即 点M到两个定点F1和F2的距离的和等于定长。点M的轨迹是一个椭圆。画法3:1 .在平面中作两条直线，使直线l为准线，另一条直线 AB与直线l垂直；两条直线的交点为C;2 .在图形外取两条线段 a和c,使a>c;a2a23 .计算 c,在直线AB上取一点F,使|CF|= -c,点F作为椭圆的焦点； cc4 .在线段FC上，取点A,使RF|=a c,在CF的延长线上，取点 B,使|F

7、B| = a+c,作 线段AB,用“作图”菜单中的“对象上的点”功能，取动点 P;5 .计算e= c ,度量|CP|的长，计算|CP| £ ;6 .以点F为圆心，|CP|更为半径作圆，此圆与过点aP且垂直于AB的直线相交于 Mi, M2两点；7,分别选中点Mi和点P(或点M2和点)，用“作图” 菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：点Mi到点F的距离是|CP| >c ,点Mi到准线l的距 离 |MiD|= |CP|,. 点Mi到F的距离一点M1到直线l的距离画法4:c=e.a点Mi在椭圆上。1 .以坐标原点 。为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径画两个圆2

8、.在大圆上取一点 A,连接OA与小圆交于点 B;3 .过点A作AN垂直于Ox轴，垂足为 N;作BM垂直于AN,垂足为 M;4 .分别选中点M和点A,用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。理论根据：|ON|=acos（f）, |NM|= bsin（）,根据椭 圆的参数方程知，点 M的轨迹是一个椭 圆。画法5:1 .以坐标原点O为圆心，分别以a、 b（a>b>0）为半径画两个圆；2 .在大圆上取一点 P,过点P作PN ，Ox轴，垂足为N;b3 .计算两圆半径的比 k=,定义a为“标记比”，选中点 N,定义为“缩放 中心”；4 .选中点P,用“变换”菜单图9 8中的“缩放”功能，将点

9、 P用标记比缩放得到点 M;设点M的坐标是（x, y）,则点P的横坐标为x,纵坐标y0= -ay b点P在圆x2+y2=a2上,2 2222+学.整理得裂中=1.结论:只要动点P在一个圆上运动，那么在一个方向上按一定比例压缩或延长PD,所得到的点M的轨迹都是椭圆。5 .分别选中点M和点P,用“作图”菜单中的“轨迹”功能，画出椭圆。 理论根据：三.椭圆中动弦的画法（一）椭圆焦点弦的画法Fi,且点M、N都在椭圆上；MN,隐藏其它的内容，这时选中点M,在椭圆MN始终经过点Fi.图 9-i0a=3.116 cmb=2.592 cmc=1.729 cm图991 .用参数方程的画法画出一个椭圆，计算它的a

10、, b, c的值，在长轴上画出两个焦点Fi、F2（使 |OFi|=c）;2 .在大圆上任取一点 P,相应作出它在椭圆上的对应点M;3,连接PFi延长与大圆交于点 Q；4 .作出点Q在椭圆上的对应点 N;5 .连接MN,则线段MN 一定过焦点6 .保留坐标系、椭圆、焦点和焦点弦 拖动它，则点N相应在椭圆上移动，且理论根据：椭圆上的点 M、N是由大圆上的点 P、Q得到的，线段 PQ在大圆上经过定点 Fi,则相应的线段MN在椭圆上也经过定 点Fi.（二）椭圆中过定点 M的弦的画法：1 .用参数方程的画法画出一个椭圆， 标出定点M;计算两圆半径的比 k=a,b定义为“标记比”；2 .作MDOx轴，垂足

11、是D,以D 为缩放中心，把点 M用标记比缩放，得 到点M;3 .在大圆上取一点 P',作出它在椭 圆上的相应点 P;4 .连接P'M',延长与大圆交于 Q', 作出点Q'在椭圆上的对应点Q;5 .连接PQ,则PQ始终经过点 M,且P、Q都在椭圆上;6 .保留坐标系、椭圆、定点M和过定点M的弦PQ,隐藏其它的内容，这时选中点P,在椭圆上拖动它，则点 Q相应在椭圆上移动，且 PQ始终经过点M.理论根据：椭圆上的点P、Q是由大圆上的点 P'、Q'得到的，线段P'Q'在大圆上经过定点 M',则相应 的线段PQ在椭圆上也经过

12、定点 M.o问题的关键是怎样由点M得到点M',我们看到，只要在纵坐标是以定比 a缩放点M,就得到了对应点 M'.b（三）椭圆中平行弦的画法的画法：图 911 a1 .用参数方程的画法画出一个椭圆，计算两圆半径的比k=,定义为 标记比；b2 .在图形外画一条线段 AC,过点A作水平线AD,过C作CDLAD;3 .选中点D作为“缩放中心”，再选中点 C,用“标记比”缩放，得到点 B,连接AB;4 .在大圆上任取一点 P',过P'作AB的平行线角大圆于 Q;5 .用参数方程的作法，分别作出 P'、Q'在椭圆上的对应点 P、Q;6 .连接PQ,则PQ就是

13、与AC平行的椭圆中的弦；7 .保留坐标系、椭圆、 AC和PQ,隐藏其它的内容；选中点P在椭圆上拖动点 P,则弦PQ始终与AC平行，且点P、Q在椭圆上；8 .作PQ的中点，标记为“追踪点”，则点 P运动时，可以看到中点的轨迹是一条线段。理论根据：在大圆上，PQ7/AB,这个关系保持不变，相应的点P、Q是点P'、Q'在椭圆上的对应点，线段PQ的斜率保持不变。 那么我们只要找到线段 AC与AB的关系就可以了。 在这个作法 中，改变已知条件 AC的倾斜角，那么相应的 PQ的斜率也发生同样的变化。四.椭圆切线的画法（一）过椭圆上一个定点 M的切线:1 .在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出

14、它的两个焦点Fi、F2；2 .在椭圆上标出定点 M;3 .以Fi为圆心，椭圆的长轴 2a为半径作圆；4 .连接FiM延长交大圆于点 N;5 .连接F2N,作F2N的中垂线，这条中垂线过点 M,并且是椭圆的切线。理论根据：点M在椭圆上，|MFi|+ |MF2|= 2a,又|FiN|=2a,|MF2|= |MN|,点M在F2N的中垂线上，直线MD经过点M且与椭圆有且仅有一个 交点，所以直线 MD是椭圆过点M的切线。（二）过椭圆外一点作椭圆的切线:1 .在直角坐标系中画一个椭圆，同时标出它的两个焦点 Fi、F2；2 .在椭圆外标出定点 T;3 .以点Fi为圆心，椭圆的长轴 2a为半径作圆；4 .以点T为圆心，|TF2|为半