高中数学第六章平面向量初步6.2.1向量基本定理6.2.2直线上向量的坐标及其运算学案新人教B版

1、6. 2.1 向量基本定理6 . 2.2直线上向量的坐标及其运算考点学习目标核心素养共线向量基本定理掌握共线向量基本定理数学抽象、数学运算平囿向量基本定理理解平囿向量基本定理数学抽象、数学运算向量的应用两定理的熟练应用数学建模、逻辑推理直线上向量的坐标及其运算理解直线上向量的坐标的含义及其运算数学抽象，数学运算3问题导学预习教材P152 P159的内容，思考以下问题：1 .共线向量基本定理是怎样表述的？2 .用向量证明三点共线有哪些方法？3 .平面向量基本定理的内容是什么？4 .如何定义平面向量基底？5 .实数与直线上的向量建立了什么关系？ 新知初探:»1 .共线向量基本定理如果aw

2、0且b/ a,则存在唯一的实数 入，使得b=入a.由共线向量基本定理及前面介绍过的结论可知，如果A, B, C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数入，使得AB=入AC2 .平面向量基本定理如果平面内两个向量 a与b不共线，则对该平面内任意一个向量 c,存在唯一的实数对(x, y),使得 c=xa+yb.平面内不共线的两个向量 a与b组成的集合a, b常称为该平面上向量的一组基底，此 时如果c=xa+yb,则称xa + yb为c在基底a, b下的分解式.名师点拨(1) a, b是同一平面内的两个不共线向量.(2)该平面内任意向量 c都可以用a, b线性表示，且这种表示是唯一的.(3)

3、基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.3 .直线上向量的坐标给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量 e,由共线向量基本定理可知，对于直线 上的任意一个向量 a, 一定存在唯一的实数 x,使得a=xe,此时，x称为向量a的坐标.当x>0时，a的方向与e的方向相同；当x=0时，a是零向量;当x<0时，a的方向与e的方向相反.也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.4.直线上向量的运算与坐标的关系假设直线上两个向量 a, b的坐标分别为xi, x2,即a=xie, b=x2e,贝U a=b? xi= x2；_a+ b = (xi + x

4、2)e.如果u, v是两个实数，那么 ua+vb的坐标为uxi + vx2, ua vb 的坐标为 uxi vx2.设A(xi), B(x2)是数轴上两点，O为坐标原点，则 OA=xie, OB= x2e,因此， Ab=ObOa=x?e xie= (x2 xi)e.A氏 | AB =|x2-xi| .、自我检测O判断正误(正确的打“，”，错误的打“x”)(1) 一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底.()(2)若ei, e2是同一平面内两个不共线向量，则 入入2/(入i,入2为实数)可以表示 该平面内所有向量.()(3)若 aei +be2=cei+d&( a,

5、 b, c, dCR),则 a=c, b=d.()答案：(i) x (2) V (3) x 如果向量a与向量b不平行，则与a, b都不平行的向量是()A. 3a+2bB. 2a3C. -2aD. 3b答案：A数轴上三点 A B, C的坐标分别为一i, 2, 5,则()A.AB勺坐标为3B.BC的坐标为3C.AC的坐标为6D.BC的坐标为3答案：BE)如图所示，向量OAT用向量ei, e2表示为.解析：由题图可知， OA= 4ei+3e2.例 已知m n是不共线向量，a=3m+ 4n, b = 6m- 8n,判断a与b是否共线?【解】 若a与b共线，则存在 入C R,使a=入b,即3m+ 4n=

6、入（6 m- 8n）.6 入=3, 因为m n不共线，所以，8入=4.因为不存在 入同时满足此方程组,所以a与b不共线.规I律仿法利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数 入b（bw0）.而已知向量共线求 入，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若入的值.和ei + ke2共两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得设非零向量ei和e2不共线，是否存在实数 k,使kei+e2解：设 kei + e2与ei + ke2共线,所以存在 入 使 kei+e2=入（ei+ke2）,则（k入）ei = （入 k 1）e

7、2.k入=0, 因为ei与巳不共线，所以只能有*则卜=±入 k-i=0,用基底表小向量如图，在平行四边形 ABCDK设对角线A&a, Bb= b,试用基底a,b表示Ab bC【解】由题意知，AO=Oc= 2AC= 2a,lb.所以 XB=戢务 Ob=MBo= 2a-2b, BC>BOfOg= 2a+ 1b.规律方俄将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性 运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程跟踪训炼:组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.如图，已知在梯形 ABC由，AD/ BC E, F分

8、别是AD,BC边上的中点，且 BC= 3AD BA= a, BC= b.试以a, b为基底表示EF, DF,Cd八一，- i解：因为AD/ BC且AD= 3BCL 一 1 一 1所以 AD= -BC= -b.33因为E为AD的中点，所以於 ED=1 AD= 6b.一 i所以BF= b,所以 EF= EmAb+bfDf=d ef=6b+3ba=6ba.CD=CF+ FD= (DF+FC=-(DF+BF)=-11”+2b)= a-2b.3探究点直线的向量参数方程式的应用已知平面内两定点 A b,对该平面内任一动点C,总有Oc= 3入O甘（1 3入）Ob（入e R点O为直线AB外的一点），则点C的轨

9、迹是什么图形？简单说明理由.【解】 法一：3入+ （1 3入）=1且ICR,结合直线的向量参数方程式可知点 迹是直线AB法二：将已知向量等式两边同时减去OA得 一 OC- OA= （3 入1） OA + （1 3 入）OB=（1 - 3 入）（OB- OA=（1 - 3入）厢即 AC= （1 -3入）Ah ICR,所以A B, C三点共线，即点 C的轨迹是直线 ABC的轨规律方r法直线的向量参数方程式的应用若A, B, C三点共线，则有 OC= xO&yOB且x + y=1.(2)若OC= xOAFy而 且x+y=1,则有A, B, C三点共线.跟踪训练. 1>. 一在ABC3,

10、 D为AB上一点，若AD= 2DBCD=-C/A 入 CB则入=3解析：法一：因为AD= 2而所以 AD= 2AB= 2(CB-C/A. 33因为在 acdK CD=CAAD=CAf2(CB-CA 3=疑 3cB所以入=". 3法二：因为AD= 2Db所以A, B, D三点共线，又因为C在直线AB外，则1+入=1,所以入=1.33答案:23探究点直线上向量的坐标及长度运算例4 已知数轴上 A, B两点的坐标为x1, x2,根据下列题中的已知条件，求点A的坐标x1.(1)X2=5, BA勺坐标为一3;(2) x2= - i , | AB =2.【解】（1）因为BA勺坐标为xi （ 5）

11、= 3,所以xi=8.(2)因为 | AB = |-1xi| = 2,所以 xi=1 或 xi=3.规律直线上向量的坐标及长度计算的方法（1）直线上向量的坐标的求法：先求出 （或寻找已知）相应点的坐标，再计算向量的坐标.（2）直线上向量的长度的求法：先求出向量的坐标，再计算该向量的长度.跟蹄训练已知数轴上三点 A, B, C的坐标分别是一8, 3, 7,求的 BC CA的坐标和长度.解：AB勺坐标为(3) (8) =5, | AB = 5;BC勺坐标为 7( 3) = i0, | BC= i0;CA勺坐标为(8) 7= i5, | CA = i5.侧评案怎金向脸i .已知平行四边形 ABCD则

12、下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是（）A.ABDCB.而 BCC.BCCBD. A DA解析:选d.由于XB, 丽共线，所以可以作为一组基底.2.设D为ABC/f在平面内一点，若 BC= 3CD则（）>i-T»A.A D)=- -AB+ 3_ T> i4»B.A D= -AB -AC33八 4_ if.C.A D= -AB+ -AC 33D.AD> 3AB iAC解析：选A.因为BC= 3CD所以 AC-AB= 3( Ad>Ac) = 3 AD>- 3AC所以 3Ad> 4AC-AB,所以 XD> 3M 1XB$= -3aB

13、j+ 3 ac.3.已知向量a, b是一组基底，实数 x, y满足(3x 4y)a+(2x3y)b=6a+3b,则x-y的值为解析：因为a, b是一组基底，所以a与b不共线,因为(3 x 4y) a+ (2 x 3y) b= 6a + 3b,所以，3x-4y=6,2x-3y=3, 所以x-y = 3.x = 6解得y=3答案：34.已知数轴上四点A B, C, D的坐标分别是一4, 2, c, d.若|的=6,求d的值;(2)若AO 3AQ 求证：3CD= 4AC解：(1)因为 | BD = 6, 所以 |d(2)| =6, 即 d+2=6或 d+2 = 6, 所以d=4或d= 8.(2)证明

14、：因为AC勺坐标为c+4, AD勺坐标为d+4, 所以 c+4=-3(d+4),即 c=3d16.因为 3CD勺坐标为 3(d-c) =3d-3c=3d- 3(-3d-16) =12d+48,4AC勺坐标为4c-(-4) =-4c- 16= -4( - 3d 16)16= 12d+48,所以 3CD- 4AC强化培优通关A基础达标若e1, e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是A.e1 - e2, e2 aC. 2e23e1, 6e4e2D. e+e2, e1 一e2解析：选D.e1 + e2与e1 e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线, 不能作为基底

15、.2.已知数轴上两点MN,且| MN =4.若xm=3,则xn等于()A. 1B. 2C. 7D. 1 或一7解析：选 D.| MN= |xn( 3)| =4,所以 Xn ( 3) = ± 4,即 Xn= 1 或一7.3.如图，向量ab等于()A. - 4ei - 2e2D. 3ei-e2C. ei - 3e2解析：选 C.不妨令 a=CA b=CB 则 ab=CAvCB=BX由平行四边形法则可知B冷 ei 3e2.4.已知O是4AB的在平面内一点，D为边BC的中点，且2OAO打0阵0,则（）A.AO=OdB. Xb= 2ODC.AO= 3ODD.2 AO= OD解析：选A.因为在

16、ABC, D为边BC的中点，所以 O国OC= 2OD所以2（OAOd = 0,即OAfOD= 0,从而 AO=Od 2 1 5.在ABC4点P是AB上一点，且C色鼻C加鼻CB又AP= tAB,则t的值为（）331 A.-32 B.-31 C.2解析：选 a.因为 AP= tAB,所以 CP-CA= t(CB-CA, CP= (1 -t)CAV tCB.又CP= ICAv 3CB且CA< 丽共线，所以t = 3.6.如图，在平行四边形 ABCD,点O为AC的中点，点N为OB的中点，设AB= a, Ad=b,若用a, b表示向量AN|则AN=,i 2 i所以入1+入2= 6+3=2.AN=

17、AN DN平面内两个不共线的向量,若DE= XiAb+入所入i,AId解析：以Ab= a, XD> b作为以A点为公共起点的一组基底，则=ad I Db=Ad> 3( Ab- AD)= 4AN 4AB= 4a+4b.-31答案：4a + 4b7.若向量a=4ei + 2e2与b= kei + e2共线，其中ei, e2是同一 则k的值为.解析：因为向量a与b共线，所以存在实数 入，使得b=入a,即 kei + e2=入(4 ei + 2e2)= 4 入 ei + 2 入 e2.因为ei, e2是同一平面内两个不共线的向量，k= 4 入,所以，所以k=2.i = 2 入,答案：28

18、.设 D, E分别是 ABCW边 AB, BC上的点，AD= 1AB BE= 223入2为实数)，则入i+入2的值为 .解析：如图，由题意知，D为AB的中点，9.如图，平行四边形 ABCDK AB= a, AD= b, H, M分别是_ ._ 1一AD DC的中点，BF= -BC；3以a, b为基底表示向量 AMKHF1DC的中点，BF=弓BC3>_ _> -> ->HF=AFAH= A班BF- 2AD=a+3b-2b=a-6b.10.如图，在矩形 OACBP, E和F分别是边AC和BC上的点,满足 AC= 3AE BC= 3BF,若Oc=入O日WOf其中入科e r,求

19、入，科的值.解：在矩形 OACBL QC=OafQB又OC=入O9WOf=入（9通+科（O国前=入3A3Ob所以3±广=13=1,解：在平行四边形 ABCDK AB= a, AD= b, H, M分别是AD所以 AM= AD>DM=AD> 2降加 2AB= b+ga,L3所以入=(1=4.B能力提升11.如果ei, e2是同一平面a内的两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 （）入61+（162（入，pCR）可以表不平面a内的所有向量;对于平面”内的任一向量a,使a=入日+ 62的实数入，科有无穷多对;若向量 入1位与 入2e1 +科2e2共线，则有且只有一个实数入，

20、使得 入e+科e= 入（入261+科262）;ei, ei + e2可以作为该平面的一组基底.A.B.C.D.解析：选B.由平面向量基本定理可知是正确的.对于，由平面向量基本定理可知， 如果一个平面的基底确定，那么平面内任意一个向量在此基底下的分解式是唯一的，故不 正确.对于，当 入iei+e与入2ei +科2e2均为零向量，即 入i=入2=科1=科2=0时，符合 题意的 入有无数个，故不正确.对于，假设ei+e2= x ei,则e2=（入i）ei.又ei, e2不共线，故假设不成立，即 ei + e2与ei不共线，即ei, ei+&可以作为该平面的一组基底， 正确.12 .已知 O是

21、平面上一定点， A, B, C是平面上不共线的三个点，动点 P满足隹断+ 8）,则点 P的轨迹一定通过 ABC（B.内心D.垂心A.外心C.重心解析：选B.-AB为ABh的单位向量, 丽AC 一 ，、，、一 口AB AC，、一，a一一，、一=为AC±的单位向量，则 t十丁的方向为/ BAC的角平分线AD勺方向.又 入C0,|AC|AB |Ac+°0),AB AC"丽 I Aq>的方向与 +的方向相同.I 而 | AC所以点P在ADE移动,所以点P的轨迹一定通过 ABCW内心.13 .如图，在平面内有三个向量 OA OB OC 10A = |OB=i,直线OA与，OB所成钝角为i20° ,直线OCW OA勺夹角为30。，|Oc = 543,设Oc= mOA O 4+ nOBm, nC R）,贝U m+ n =.解析：作以OC为一条对角线的平行四边形 OPCQ如图,则/CO袅 /OCP= 90 ,在 Rt QOCC3, 2OQ= QC |Oc=5>/3.则|Oq=5, |前=10,所以 |Op = i0,又|OA = |Ob = i,所以 Oa 100A Oq= 5加 所 以Og= OF