高中数学第三章数系的扩充和复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义

1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念R知识导学1 .虚数单位i在实数集R中添加新数i ,规定：(1)i 2=01- 1,其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数 进行02四则运算,且原有的加、乘运算律仍然成立.2 .复数的相关概念集合C=a+bi| aCR, bCR中的数，即形如 a+bi(a, bC R)的数叫做匚03复数,其中i 叫做04虚数单位.全体复数的集合 C叫做05复数集.复数通用字母z表示，即2=2+坏a, bCF),这一表示形式叫做口06复数的代数形式. 其 中的a与b分别叫做复数z的07实部与虚部.3 .复数的分类对于复数z=a + bi ,当且仅当曰8b=0时，它是实数；当且仅当

2、口 09a=b=0时，它是实数 0；当且仅当出0bwo时,叫做虚数；当口112=0,且bwo时，叫做纯虚数.4,复数相等的充要条件在复数集 C=a+bi| a, bCR中任取两个数 a+bi, c+di(a, b, c, dCR»,规定：a + bi 与 c+di 的充要条件是口122= c且 b= d(a, b, c, dCR».黑知识拓展复数相等的充要条件(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a, b, c, dCR,若忽略这一条件，则不能成立.因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条 件.(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数

3、问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现.利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式， 为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要.示自诊小测1 .判一判(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)若a, b为实数，则z = a+bi为虚数.()(2)若z=ni( m nCC),则当且仅当 m= 0, no时，z为纯虚数.()(3) bi是纯虚数.()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.()答案 (1) X (2) X (3) X (4) V2 .做一做(1)若a+bi=0,则实数a=,实数b=.(2)(1 +3)i

4、的实部与虚部分别是 .(3)若复数(a+1) + (a21)i( aCR)是实数，则 a=.答案 (1)00 (2)0,1 +串 (3) ±1课堂互动探究探究1复数的有关概念例1给出下列四个命题：两个复数不能比较大小；若x, yC C,则x+yi = 1 + i的充要条件是 x=y=1；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；纯虚数集相对复数集的补集是虚数集.其中真命题的个数是.解析中当这两个复数都是实数时，可以比较大小；由于x,y都是复数，故x+yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件;若a = 0,则ai不是纯虚数；由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知，所求

5、补集应是非纯虚数集与实数集的并答案0拓展提升数集从实数集扩充到复数集后，某些结论不再成立.如：两数大小的比较，某数的平方是非负数等.但i与实数的运算及运算律仍成立.【跟踪训练1】 下列命题中：若aCR,则(a+1)i是纯虚数；若 a, be R且 a>b,则 a+ i> b+ i ；若(x21) + (x2+3x+2)i是纯虚数，则实数 x= ±1；两个虚数不能比较大小.其中，正确命题的序号是 ()AS B.C.D.答案 D解析 对于复数a+ bi( a, b R) ,当a=0且bO时为纯虚数.在中，若a=-1,则(a+ 1)i不是纯虚数，故错误；在中，两个虚数不能比较大

6、小，故错误；在中，若x=1, x2+3x+2wo不成立，故错误；正确.探究2复数的分类m2+ m- 62例2 当实数m为何值时，复数 z =m-+ (m-2rmi为：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？m2- 2m= 0,解(1)当即门H2时，复数z是实数；m 0,(2)当nm 2m0,即且nr52时，复数z是虚数；一2 ,m+ m- 6=0,(3)当$ m即m= - 3时，复数z是纯虚数.2 c -JD 21Tp5 0,条件探究 是否存在实数 m,使z= ( m2- 2m) +-i是纯虚数？解由z = ( m 2m + m+mm- 6i是纯虚数，m2 2m= 0,得m2+ m- 6解得m

7、?.m才，即不存在实数 m使z=(m 2m+m-m-6i是纯虚数.m拓展提升利用复数的分类求参数的值或取值范围的一般步骤(1)判定复数是否为a+bi( a, be R)的形式，实部与虚部分别为哪些；(2)依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； 解相应的方程(组)或不等式(组)；(4)求出参数的值或取值范围.mm【跟踪训练2】 已知m R,复数z=一m1 +(m2+ 2tt 3)i ,当m为何值时,(1) z为实数？(2) z为虚数?(3) z为纯虚数?解 (1)要使z为实数，需满足 m2+2m-3=0,且有意义，即mn 1*0,解得m =3.(2)要使z为虚数，需满足 m2+2m-3*0

8、,且m ；1有意义，即 m-1*0,解得mrM 且 mp5 - 3.m 2(3)要使z为纯虚数，需满足 =0,且m2+2m-30,解得 m= 0或m= - 2.m-1探究3复数相等例 3 已知M= 1 , (m2-2m) +(m2+m- 2)i,P= 1,1,4i，若MUP= P,求实数 m 的值.解/MU P= P,M? P,即(m22n)i +(m+ m- 2)i = 1 或(m22m + (m2+im- 2)i = 4i.由(m22n)i +(m+ rm-2)i =1,m2 2m= 1,得2 2解得mT= 1.m+ m- 2= 0,由(m2- 2m + ( m+ m- 2)i = 4i

9、,m2- 2m= 0,得2 2解得mT= 2.m+ m- 2= 4,，实数m的值为1或2.拓展提升复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等.复数问题实数化多用来求参数，其步骤是:分别确定两个复数的实部和虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组.【跟踪训练 3】 已知 A= 1,2 , a2-3a-1 + (a2-5a-6)i , B= -1,3 , An B= 3, 求实数a的值.解 由题意知，a 3a 1 + ( a 5a6)i = 3( a R),a 3a 1 = 3,“ 一a 5a 6=0.解得a= 4 或 a= - 1,a= 6 或 a= 1 a= 1 1.故实数a的值为一1.

10、r1 (弟律加1 .在复数a+bi中，a, b必须是实数，否则不是复数的代数形式.2 .复数的虚部是实数而不是虚数，即为“b”，不是“ bi ”，更不是“ i ” .3 .当且仅当bwo且a= 0时，复数a+bi才是纯虚数，解题时不能只注意a= 0而忽视了 bwo的限制.4 .复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这 一重要数学思想的体现.随堂达标自测1. “a=0”是“复数a+bi( a, bCR)是纯虚数”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析因为复数a+bi( a, be R)是纯虚数？ a=0且bw0

11、,所以“ a=0”是“复数 a+bi( a, be R)是纯虚数”的必要不充分条件.2.以3i"的虚部为实部，以 3i2 + 2i的实部为虚部的复数是()A. 3 3iB. 3+iC.-小+ /d+ +福答案 A解析 3i «2的虚部为3,3i 2+72i的实部为一3,所以所求复数为3-3i.3 .已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是 2和3,则实数a,b的值分别是 .答案士，2, 5解析由题意得：a2=2, (2 b)=3,所以a=±/, b=5.4 .设复数z=+(m2+ 2m- 15)i为实数，则实数 m的值是.5答案 3m+2m- 15= 0,解析依题意有解得m