高一数学暑假学习材料

1、暑期专题辅导材料九(旧课) 8 复习与测试(第一章集合与简易逻辑) 本章的重点是：(i)有关集合的基本概念、术语和符号；(2) x va与x >a(a >0)型的不等式的解法，一元二次不等式的解法；(3)逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充分条件和必要条件 .本章的难点是：(1)有关集合的各个概念的涵义、它们之间的区别与联系；(2)对绝对值意义的理解；(3)弄清一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；(4)对一些数学命题真假的判断、关于充要条件的判断和反证法的运用本章内容是高中数学的基础知识，其中集合论是由18世纪德国数学家康托尔创始的，是近、现代数学的一个重要基础；逻辑

2、是研究思想形式及其规律的一门基础学科，它们今 后学习的内容有着密切联系，学好本章内容必将为进一步学习其它知识奠定坚实的基础.【基本概念】1 .集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.表示集合的方法有列举法、描述法和图示法，集合可分为有限集和无限集2 .空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 3 .子集:一般地，又于两个集合 A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元 素，我们就说集合 A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A B(或 B A).这时我们也说集合A是集合B的子集.当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时，则记作 A B (或 B

3、A )我们规定：空集是任何集合的子集.也就是说，对任何一个集合 A,有A4 .等集：一般地，对于两个集合 A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合 B的元 素，同时集合B的任何一个元素都是集合 A的元素，我们就说集合 A等于集合B,记作A= B5 .全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作 一个全集，全集通常用 U表示.6 .补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即A S),由S中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S中子集A的补集(或余集)，记作CSA,即CsA= x | x e S,且 x A.7 . 交集，并集：一般地，由所有属于集合 A 且属

4、于集合B 的元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作AA B（读作“ A交B”），即AA B= x | xC A,且 xC B.而由所有属于集合 A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AUB（读作“ A并B”），即AU B= x | xC A,或 xC B.对于交集“AAB=x | xA,且xCB"，不能简单地认为AA B中的任一元素都是A与B的公共元素，或者简单认为A与B的公共元素都属于 AA B,这是因为并非任何两个集 合总有公共元素.当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是AA B=.对于并集“ AU B=x | x A,或xC B"，

5、不能简单地理解为AU B是由A的所有元素与 B 的所有元素组成的集合，这是因为 A 与 B 可能有公共元素，故上述理解与集合的互异 性不符 .8 . 逻辑联结词： “或” 、 “且” 、 “非”这些词叫做逻辑联结词 . 不含逻辑联结词，是简单命题；由简单命题与逻辑联结词构成，是复合命题 .9 . 四种命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件 （ 或题设 ） 是第二个命题的结论， 且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一 个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题 .一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题

6、 . 把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题 .一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题 . 把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题 .10 . 充要条件：一般地，如果已知那么我们说， p 是 q 的充分条件，p q,q是p的必要条件.一般地，如果既有 p q,又有q p,就记作 p q.这时， p 既是 q 的充分条件，又是q 的必要条件，我们就说简称充要条件.p 是 q 的充分必要条件，【基本性质】1. 基本符号 exe ayA,.,a,b,c,.n I x I p(x),x £ Ax 属于 A；

7、x 是集合 A 的一个元素y 不属于A； y 不是集合 A 的一个元素诸元素a,b,c,.n构成的集合使命题 p（x） 为真的 A 中诸元素之集合空集NN* 或 N+ZQRCB AB，A二B AnAn bUAU BCCB2 .集合部分：A; |gA(A 非空)；A ABCAC; A B'-C A,.C;n B= A; A BAU B= B;3 .| ax+b | & c(c > 0)I ax+b | > c(c > 0)非负整数集；自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集B包含于A; B是A的子集B真包含于 A; B是A的真子集B不包含于A; B不是A的子集

8、A与B的交集A与B的并集A中子集B的补集或余集A; (CuA) n A=; (CuA) U A= U; O(CuA) = AAA B A; B AU B; Q = U; CuUI= ; A B Q(A A B) = (CuA) U (CuB) ; CU(A U B) = (CuA) A (CuB)-c < ax+bw cax+b n c 或 ax+b w c【基本规律】1 .复合命题真假判断表非p形式复合命题的真假可以用下表表示p非p真假假真p且q形式复合命题的真假可以用下表表示pqP且q真真真真假假假真假假假假p或q形式复合命题的真假可以用下表表示pqp或q真真真真假真假真真假假假原命

9、题 揖则。 Jz 否命题 若中则一iq2 .四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系，如图所示我们已经知道，原命题为真，它的逆命题不一定为真.一般地一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系.(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真.(2)原命题为真，它的否命题不一定为真.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.【基本方法与思想】1 .绝对值不等式的解法：I x | v a(a >0)的解集是x | acxc a;I x | > a(a > 0)的解集是x | x< -a ,或 x>a.注：对于I ax+b | > c(或v c,其中c>0)的

10、解法可用换元法解2 . 一元二次不等式的解法：元二次不等式 ax2+bx+c >0(a > 0)的解集如下表判别式= b24ac >0 = 0 v 0二次函数 y = ax2+bx+c(a > 0)的图 像一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a > 0) 的根y = ax2+bx+cr有两相异实根xi,x 2(x 1 Vx2)y= ax2+bx+c有两相等实根 xi = x2b=2ay = ax2+bx+c u没有实根ax2+bx+c > 0(a > 0) 的解集x 1 x< xi 或 x>x2x"Y)Rax2+bx+c &l

11、t; 0(a>0)的解集x 1 xi V x V x2对于绝对值不等式|ax+b | > c(或v c,其中c> 0)可采用平方去绝对值法，即化为(ax+b) 2> c2(或 v c2)3 .充要条件的判定方法:若 p q但qWp,则p只是q的充分不必要条件；若p W>q,但q p,则p只是q的必要不充分条件；若p q,且q p,则p只是q的充要条件；注：必须看两个方向，即 p q, q p结果如何？才能下结论.4 .反证法：反证法是“原命题与其逆否命题同真同假”这一理论的具体体现，用反证 法证明命题的一般步骤如下：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立

12、；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确学习要求和需要注意的问题：5 .学习要求(1)集合理解集合、子集、交集、并集、补集的概念了解空集和全集的意义了解属于、包含、相等关系的意义会用集合的有关术语和符号表示一些简单的集合掌握简单的绝对值不等式与一元二次不等式的解法(2)简易逻辑了解命题的概念和命题的构成.理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.掌握四种命题及其相互关系.初步掌握充要条件.6 .需要注意的问题(1)集合与集合的元素是两个不定义的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面 几何中的点与直线的概念类似，但是，应该清楚集合中的

13、元素具有确定性，互异性.确定性是指给定一个集合，一个对象属于不属于这个集合就是明确的，象很大的数，不能组成 一个集合.互异性是指在一个集合中，任何两个元素是不同的对象，相同的对象只能算作 这个集合的一个元素.此外，集合中的元素还具有无序性，例如，1, 2, 4=4, 2, 1.(2)容易混淆的符号C与 的区别：C符号是表示元素与集合之间关系的，例如，有 1CN, - 1 N等； 符号是表示集合与集合之间关系的，例如，有 N R,R等.a与a的区别：一般地，a表示一个元素，而a表示只有一个元素的集合，例如，有11,3,4,0 0,11,3,4等，不能写成 0= 0,1 1,3,4,11,3,4.

14、单元综合练习（集合与简易逻辑）一、选择题1 .已知集合 P=a, b, c, d, e,集合 QP,且 a (P Q) , b (P Q),则满 足上述条件的集合Q的个数为()A.7B.8C.15D.242 .已知全集I=R,集合M x |Jx 15X,集合N=x|xH >0,那么M N等于()A. (-8, -1) B. (7, +8)C.2, 3D. (-8, 2) U ( 3, +oo)3 .已知集合M有3个真子集，集合N有7个真子集，那么MU N的元素个数为（A.有5个元素B.至多有5个元素C.至少有5个元素D.元素个数不能确定4.集合 A= （x, y） |y二a|x|, B=

15、 （x, 合，则实数a的取值范围为（）y) |y=x+a , C=A n B ,且集合C为单元素集A.|a|< 1B.|a|>15.集合 M= (x, y) |x>0, y>0 , N=A.M=NB.M 二 NNC.a>1D.a>0 或 a<0(x, y) |x+y>0 , xy>0,则()C. M 一： ND.6 .设全集I=1 , 2, 3, 4, 5, A B 1,2,则集合A B的个数为()A.3B.4C.7D.87 .设集合 A=x|x=2k+1 , kC N, B=x|x=2k-1 , k C N,贝U A、B 之间的关系是()

16、B)个。NA.A=BB.A A B=AC.A U B=AD. A8 .已知集合A&1 , 2, 3, 且A中至少有一个奇数，则这样的集合共有(A.11B.12C.15D.169 .已知I为全集，集合 M、 N汨若MnN=NjU()10 .若 |x-2|<a 不等式 | x1 2A. a . 5 2C. a 5 2二、填空题A. M N B. M NC.M ND. M4| 1成立，则函数a的取值范围为（）B.0 a .5 2D.以上答案都不对 丙成立的 条件。2 .设I是全集，非空集合 P、Q满足pSqIo若含P、Q的一个运算表达式，使运 算结果为空集，则这个运算表达式可以是 (只

17、要求写出一个表达式)。3 .设非空集合 A=x|2a+1 WxW3a-5, B=x|3 <x< 22,则能使 A A B 成立的 a 值的集合为。24 .已知集合 A x| x x 2 0 , B=x|2<x+1 <4,设集合 C x|xA B, 5,2 ，求 AClB。 bx c 0,且满足(A B) C , (A B) C R,则 b, c。三、解答题1 .已知p : xv' x 2 x2 ； q : x 2 x2 ,试判断p是q的什么条件。-33_ .一 2 .右p>0, q>0, p q 2,试用反证法证明 p+q< 2.223 .已知

18、 A=x|x>a , B x | x 2ax 3a0,求 APB 及 AUB。2_-2 _x| x3x 2a 0,5,若 U=R, A x | x2 x 20 , B=x|x|=y+1,yCA,求 CuB, APB, AUB, ACuB, A CuB, Cu(AB) , CuA CuB。4 .设 A x|2x ax 2 0 , B6 .已知集合 A x| 2k 6 x k2 3 , B=x|-k<x<k，若 A基 B,求实数 k 的 取值范围。7 .解下列关于x的不等式：(1) |x2 3x| 4；(2) x2 ax 2a2 0。228.已知集合 A x | x px q 0

19、 , B x | qx px 1 0同时满足A B ，A B 2,其中p、q均为不等于零的实数，求 p、q的值。9.已知关于x的不等式x (a 1)22(a 1)222' x3(a 1)x 2(3a 1)解集依次为A、B,且A B 。求实数a的取值范围。得b Q。因为Q殳P则PAQ=Q,所以由aC ( PA Q), 即Q是a与c, d, e的子集的并集。故集合得aC Q。又由b (PQ的个数等于集合c, dQ)，e子集的个数。三个元素的子集个数为8。故选B。2 . D 解 M 得-1 w x w 3 ,解 N 得 x w -2 或 x > 2,则 M n N=2 , 3,所以 M

20、N(,2)(3,)。故选 D。3. B 集合M有3个真子集，那么集合 M有2个元素，由集合N有7个真子集，得 集合N有3个元素，若用|M U N|表示MUN元素个数，则有公式|MUN|=|M|+|N|-|M AN| (容原原理)，于是 |M U N|=5-|A A B|<5即M U N至多有5个元素。故选 B。4. A (1)当 a=0 时，A= (x, y) |y=0,B= (x, y) |y=x,则 C= (0, 0) (2)当aw。时，丫=2凶与y=x+a只有一个交点。即：a x =x+a只有一个解，I x = 1x 1有一个解， a画出方程两边的函数图象，如图所示：11只有当1

21、1或11才有一个交点，aa即0<a<1或-1<a<0,综上a的范围|a|< 1。故选 A。5. A 由 x>0, y>0 可得 x+y>0 , xy>0,所以 M N。由 xy>0 知 x>0 , y>0 或 x<0, y<0 ;若 x<0 , y<0 则 x+y<0 ,所以 N M 。故M=N 。故选Ao6. D A B 3,4,5,又因 A B A BAB且 A B A B 3,4,5,即A B是3个元素3、4、5组成的集合的子集，共有 238个。故选Do7. B 任取 xC A , x=

22、2k+1=2 (k+1) -1,由 kC N 知 k+1 C N,贝U xC B;又 1 C B,但 1 A ,于是A筝B,故A A B=A。故选B。8. A 用列举法。含有一个元素的集合有1 , 3;含有两个元素的集合有0,1,0, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 3;含有三个元素的集合有0,1, 2, 0, 3, 2,1 , 3, 0 , 1 , 3, 2;共计 11 个。故选 A9. C 由 MN M及已知M n N=N知NN 。故选Co10. B |x-2|<a, -a<x-2<a 2-a<x<2+a | x2 4 | 1 ,1 x2 4 1 , 3

23、x233x/5 或 v15 x<3“a 25要满足题设条件必有2 a .3-2 a.3或2 a.5解得：0 a <5 2。故选8。1 .(1)充分非必要条件 (2)既非充分也非必要的条件(1) B是A的必要条件，A B且B A,由互为逆否的两命题等价，得 B A且AB,所以B是A的充分非必要条件。(2)记甲、乙、丙三命题分别对应集合A、B、C,依题意有：A B C ,所以甲(或乙)是丙成立的既非充分也非必要的条件。2. P Q由图知下列运算为空集：P Q; (P Q) Q; (P Q) Qo3. 6<a< 9由A B A ,且A A B ,得A=A n B。其充要条件为

24、 A B ,由2a 1A B 2a 13a 5,3, 得 6< a< 9o3a 5 22,4. -1 -6A=x| (x-1 ) (x+2) < 0=x|-2 <x<1,B=x|1<x <3 , A U B=x|-2 < x< 3 o (A B) C , (AU B) U C=R, " l=R oCABx | x2或x 3 oCx|x2bx c4 , l' x2bxc0 的解为x<-2 或 x>3,即，方程x2 bx c 0的两根分别为x=-2和x=3, 由一元二次方程由根与系数的关系，得b=- (-2+3)

25、=-1 ) c= (-2) x 3=-6 o1 .解：: x( vx 2 x) 0 ,x=0 或 x=2 或 x=-1 (舍)p： 0 , 2,又q： 2, -1, ： p是q的既不充分又不必要条件。2 .证明：设p+q>2因为 p>0, q>0,所以(p q)3 p3 q3 3pq( p q) 8, 33因为 p q 2, 3pq (p+q) >6,即 pq(p+q)>2又因为 p3q3(pq)( p2pqq2)2所以 pq(pq)(pq)(p2pqq2)因此2Pq p q即(p q) 0,这不可能，故必有 p+q02。3 .解：A=x|x>a , B=x

26、| (x+a) (x-3a) < 0 =(1)当 a>0 时,B=x|-a<x<3aA A B=x|a<x<3a , A U B=x|x>-a(2)当 a=0 时，A=x|x>0 , B x|x20A B , AU B=x|x>0(3)当 a<0 时，B=x|3a<x<-aA n B=x|a<x<-a , A U B=x|x>3a4 .解：设 A xi,x2 , B x3,x4,则 xi x21r11且 xix2(A B) -, 5,2 ,所以 A -,2 ;1x3 x43 ,且 x3,x4(A B) -, 5,2 ,2所以 B=-5 , 2,所以 A A B=25 .解：A=x|-1<x<2 yCA,-1<y<2 , . . 0<y+1<3.1 |x|=y+1 ,B=x|-3<x<3 ,且 xw0 . CU B x | x 3或x3或x 0A n B=x|-1<x<2 且 x w 0, AU B=x -3<x<3A CUB x