第七章二阶电路

1、第七章 二阶电路本章内容：二阶电路的响应分析本章重点：根据电路的结构、参数及特征根；电路过渡过程的形成、激励及初 始条件分析二阶电路本章难点：二阶电路的分析§ 7-1二阶电路的零输入响应用二阶方程描述的动态电路称为二阶电路，RLC串联电路和GLC并联电路是最基本的二阶电路，我们讨论 RLC串联电路的零输入响应。电路如图，t=0时，开关s闭合此电路为零输入响应。一、方程及特征根147心+ &R +双L=°-LCUc匚。可代入上式有:LC 分+ RC 警+=0上式为线性常系数二阶齐次微分方程，其特征方程为:LCp2 + RCp + 1=0解得特征根为:尺+ 正士1LCk

2、噎T图”击LCPlP2LCP2Pi 0响应为：以c = A遥" + A/#式中：Ai, A2为积分常数由电路的初始条件确定，电路的初始条件有三种情 况，分别为： uc(0+)w0 i l(0+)w0 Uc(0+)w0 i l(0 +)=0 Uc(0+)=0 i l(0+)w0我们讨论第二种情况，设Uc(0+)=Uc(0-)=Uo , i l(0+)= i l(0-)=0,其它两种情况 分析方法相同式中：特征根pi、p2有不等实数根、相等实数根、一对共腕复数根三种情况， 下面就这三种情况进行分析二、R 2心(pi、P2有不等实根)时电路的响应：是一个非振荡过程uc = A/十A便/=.

3、C警=_。(斜4的'+nA遇)则有:1(0+) =At +A2-o£。)二小人1十人Az二0i2iPiP21LCC 5M包 P2Pp2 5)Pm - PiPipl - Pl1.电容上的电压和电流及电感上的电压响应表达式 为:2-)(*通州' -力透'')由于P2 pi 0则ep2t比ep2t下降的慢，则uc、i方向不变，且大于0,表明电容在整个过程中一直是释放储存能量，故称非震荡放电，也称过阻尼放电。(1)极值：电流极值：电流由0增大到最大再到0的过程，其最大值tm由di/dt=0确定 可求出1口( pj Pt)t =m m一力 此时电感电压过0,电流

4、取得最大值电感电压极值：t=2tm(2)能量关系0<t<tm,电容释放能量，电阻和电感吸收能量；t>tm电感释放能量、电容释放 能量，被电阻吸收。电容在整个过程中一直是释放储存能量，故称非振荡放电。三、R 2仁(pi、p2有共腕复根)时电路的响应 ：是一个振荡过程*一捷j j插图设： 2 ” 鼠U)则有：p2 4 6 旧222p ip20 1/LC再设： "arctan/则、0构成直角三角形6 = oj（jCos /J* 二 o）（）sin g,pv =-叫8£ B + j w（）sin B= 0d甲Pl 30 cos P j HoSin B =-虫/”1

5、 .电容上的电压和电流及电感上的电压为：% 土 Pl Psin( tut + p)ie sin( 5t)r duc因为°=Ce cos( t )U 2=CU-e t cos( t )0=Ce sin cos( t_U o ot .=Ce sin ( t )sin( t )sin( t ) 0)cos sin( t )tu2 .波形图如下：i=0时uc取得极值；ul=0时，i取得极值；uc超前i 一个 角，sin（ t ） 落后i 一个 角，则ul极值点对应23 .能量关系由表达式和波形图可见，当|04火时，i增大uc减小，释放能量，电感和 电阻吸收能量；当A奴氏-冏时，电流减小，电感

6、和电容释放能量，电阻消耗 能量；当；|时，电感释放能量，电容、电阻吸收能量。如下表，在整个过程中，周期性的改变方向，储能元件周期性的交互能量，波形呈现衰减振 荡的势态。电容电感交替放电称为振荡放电。0< w(目w<< Jt-M碗 < K电啸吸收释放鼻放电容_摩放理放吸收-电阻消耗消耗四、R 2J- （pi、p2有重根）时电路的响应：是一个临界阻尼情况C根据罗比达法则：.孙=（氏/一户产"'）Pi - Pid(p2ep1t piep2t)Uc Uo lim -7dp2-=Uo(ePlt Pi怕叫 p2imd(p2 Pi)dp2所以设方程的解(响应)为：

7、uc (Ai A2t)ept则电流为dUcptI (t) c ce (A2 pA1 pA2t) dt由初始值求积分常数Ai、A2Uc(0) Ai Uc(0 ) UoI(o )c(A2 pA1) = I(0 ) 0A1=4Al 8U.响应为：S = L * 4葭气1-胡)这种波形同第一种，为临界非振荡过程，这种情况的电阻称为临界电阻(临 界阻尼)；大于临界电阻的电路称为过阻尼电路；小于临界电阻的电路称为欠阻 尼电路；*求零输入响应的方法1 .列写微分方程串联列关于电容电压的微分方程并联列关于电感电流的微分方程2 .求特征方程的特征根，根据根的情况写出响应的表达式。相等根：Uc (Ai A2t)e

8、pt不等根：=+i471.由初始值求积分常数§ 7-2二阶电路的零状态响应和阶跃响应与一阶电路一样，储能元件没有储能，在电源作用下产生的响应称为零状态 响应。一、分析方法二阶电路的换路情况可以用阶跃函数来描述。所以直流作激励时响应与阶跃 响应相同。1 .列二阶微分方程：并联列关于电感电流的方程，串联列关于电容电压的方程。ic +电 + iL = is暮，电第+九. G2.求响应这是一个二阶线性、常系数、非齐次微分方程，它的解为:= f L + £ L式中：i 一方程的特解，稳态值。1 一方程对应的齐次方程的解当特征根不等时， <''、/ 当特征根相等时

9、，. i二、举例上图示GCL电路也(0.)=0,1(0-)=0,"0时，打开开关S,已知C=1 F ,L=1H, is=1A, G=2 10 3S,求 iL, ul, ic。解：153方程的解为:“察”庠+L =同+ .(1)求 iLiLiL( ) 1A(2) i是方程对应的齐次方程的解，其特征方程和特征根为：/>( = />2 = /> = 一 0$可见有相同的实根，则：|i； = (A +A/九牌 A所以方程解为：口J 、diL103t3Uc Ul L L LeA2 10 （A1 A2。dt&（O）=A1+1=）=0«c）=_103A i+Ai= «c（® +）=ltc（b J=0解得：A, = - 1A? = - 10）则方程的解为：L = l-<1+ 10“）1色式力 A依=L华=（0VQ dr：c = C坐=（1-1。"）/"'（£）AOf波形图为：§ 7-3二阶电路的冲激响应零状态电路在冲激函数激励下的响应为冲激响应。如图，由于冲激函数为奇 异函数，其响应实际上是零输入响应。ducRC c dt、列写微分方程LCd2Uc出2Uc、求响应1 .由特征方程求特征根，写出响应的表达式。2 .求积分常数、确定初始值1.电容电压的初始值要使上面等于零的方程成