物理竞赛中的数学知识

1、物理竞赛中的数学知识、重要函数y=sinx-52-4 7 -3 _ /-2 -3 -22y37-21 f , 2 A 20<72 5 -1 25y=cosx-5，一 .-3 N .一- 2 ： -4-7.y -2-3.725-15yy=tanx3.反三角函数反正弦Arcsin x ,反余弦Arccos x ,反正切Arctan x ,反余切Arccot x这些函数的统称, 各自表示其正弦、余弦、正切、余切为 x的角。二、数列、极限1 .数列：按一定次序排列的一列数称为数列， 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。 排在第一位的数称为这个数列的第 1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这

2、个数列 的第2项排在第n位的数称为这个数列的第 n项。数列的一般形式可以写成a1, a2, a3,，an, a(n+1), 简记为 an,通项公式：数列的第 N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示，这个公式 就叫做这个数列的通项公式。2 .等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。通项公式 an=a1+(n-1)d ,前 n 项和 Sn a一an n na1 n(n-1)d22等比数列：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一 个常数，这个数列就叫做

3、等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。通项公式an=a1q (n-1),前n项和Snaianqa(q1)所有项和Sn(|q1)3 .求和符号汇符 LJ表疝的是求利(fium.SuinmaUnn* Aalitinn ),读法如gmji或sumrnabnn川27涓打是被求，相的参数(1加而。©卜函数(FiindJnn)、卜杯(Superscript) .下标(Wuhscripl) *彩表加第舞项(*旧晒)；方=1表示求和的第一项:” =N示求和的最后 r项:上标、卜,标，一般只川八人上、入 a 这六个字母表城，具体情况举例如HM(ci) £ft h 5 +

4、6 + 丁 +(1+9+1。+ 11 +12 + 13 + 】4+15+16 *17 + 1芯 + 19+2口+21+22+2力+24(02) 万sin"摩斗玷n。4+ sincr, + sin&r6 +stTiiaj7 +ssina景+%iiii a.,"hxiiiq4 + Mm建”十端口31T jitU3J 乙sul 0r. =stii cr3 4-sin a4 + 3Hl er” + »in <-sm oT + san "胃 + xin 弓 + sin + &ii trH*T，、W 1 I I I I 1 L I 1 I LI

5、 (141 7 :；r 4+ii*4 i e'm(m+2) 6xK 7x9 8x10 9x1 1012 11x13 12x14 13x15 14x16 15x174 .数列的极限：设数列an ,当项数n无限增大时，若通项an无限接近某个常数A,则称数列an收敛于A,或称A为数列an的极限，记作lim anAn否则称数列 an发散或lim an不存在.n三、函数的极限：在自变量 x的某变化过程中，对应的函数值f(x)无限接近于常数 A,则称常数A是函数f(x)当自变量x在该变化过程中的极限。设f(x)在x>a(a>0)有定义，对任意>0,总存在X>0,当x>

6、X时，恒有| f(x) A|< ,则称常数A是函数f(x)当x +时的极限。记为lim f(x)=A,或f(x) A(x + )。运算法则lim f(x) g(x)= lim f(x) lim g(x)X x0X x0X xolim f(x) g(x)= lim f(x) lim g(x)x %x %x xof(x) lim f (x)lim -,其中 lim g(x) o.x 小 g(x) lim g(x) x x°x Xo四、无穷小量与无穷大量1.若lim f(x) 0,则称 “*)是*Xo时的无穷小量。x xo(若lim g(x)，则称“*)是*x0时的无穷大量)。x x

7、0或：若lim (x)=o，则称(x)当x xo时为无穷小。 x xo在自变量某变化过程中，|f(x)|无限增大，则称f(x)在自变量该变化过程中为无穷大。记为lim f (x).2 .无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3 .无穷小量的运算性质(i)有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。(ii)无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。(iii)有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4 .无穷小的比较定义：设 lim (x)=o, lim (x)=o, x 0x O(x)1)若lim工=。，则称当x xo时(x)是比(x)局阶无穷小。x o (x)、，、，(x)2)右

8、lim=,则称当x xo时(x)是比(x)低阶无劣小。x o (x).一(x)3)若hm=C(C o),则称当x xo时(x)与(x)是同阶无穷小，x o (x).一(x)4)右lim=1,则称当x xo时(x)与 (x)是等价无否小。x o (x)5.常用的等价无穷小为：1 12 n当 x o 时： sin x x, tan x x, arcsin x x, arctan x x, 1 cos x xn'1 x 1 x°2n等价无穷小可代换五、二项式定理1 .阶乘： n!=1 X 2X 3XXn2 . 组合数：从 m个不同元素中取出 n (nwm)个元素的所有组合的个数，叫

9、做从 m 个不同元素中取出n个元素的组合数pii _ . _ pm-Nn! O -m!一晒3.二项式定理n0 + " H £ C7i -口川冥中黑一下I(n 一 ”!H六、常用三角函数公式2sin (兀 + a ) = sin asin (兀 /2 + a ) = cos asin( A B) sin AcosBcos(A B) cos AcosBcos (兀 + a ) = cos acos (兀 /2 + a ) = sin acos Asin Bsin( A B)sin Asin Bcos(A B)tan (兀 + a ) = tan atan (兀 /2 + a )

10、 = cot asin AcosB cos Asin Bcos A cos B sin Asin Bsin2A 2sin AcosAcos2A22_2_2cos A sin A 1 2sin A 2cos A 1tan2A.Asin 一 22 tan A1 tan2 A1 cos A2A cos 21 cos A2tan£21 cos A,1 cos Asin A1 cos A和差化积公式sin a sinbcosa cosb八.a b a b2sin cos22c a b a b2cos cos22sinasinb2cossincosa cosba b ._a b2sin sin2

11、2sin a btana tanb cosa cosb积化和差公式sinasinb cos a b cos a b 21 sin acosb - sin a b sin a b2万能公式cosacosbcosasin b1 cos a21.一 sin a2cos a bsin a bc, a2 tan2 sin a J2 a1 tan -2 a tan - a2 tan-2tana 2-2 a.2 atan 1 tan -221cosa 一1典型物理问题数列极限等应用1 .蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心距离Li=im的A点处时，速度是 Vi=2cm

12、/s。试问蚂蚁继续由 A点到距巢中心 L2=2m的B 点需要多长时间？2.a3常见近似处理2 .人在岸上以V0速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少?M推动，凸轮绕O轴以匀 n与OA之间的夹角为 “ )3 .如图所示，顶杆 AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮 角速度3转动.在图示的瞬时，OA=r,凸轮轮缘与 A接触，法线 试求此瞬时顶杆 AB的速度.(第十一届全国中学生物理竞赛预赛试题妙 (.1当I4 .三个芭蕾舞演员同时从边长为L的正三角形顶点 A,B,C出发，速率都是 v,运动方向始终保持着A朝着B,B朝着C,C朝着A经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？5 .如图所示，半径为 R

13、的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R的圆柱上，母线互相垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动， 试问稳定平衡时，R与R应满足什么条件？6 .一只狐狸以不变的速度 i沿着直线 AB逃跑，一只猎犬以不变的速率 2追击，其运动方 向始终对准狐狸.某时刻狐狸在F处，猎犬在 D处，FDXAB ,且FD=L,如图14 1所示, 求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬2做匀速率曲线运动，根据向心加速度a 一,r为猎犬所在处的曲r率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在 D处的加速度大小，由于2大小不变，如果求出D点的曲率

14、半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间 t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R,则加速度其方向与速度方向垂直，如图141 一甲所示.在t时间内，设狐狸与猎犬分别到达而狐狸跑过的距离是：i t= L因而 2 t/R= 1 t/L, R=L 2/ 12所以猎犬的加速度大小为a = 1 2/LR6.如图所示，半径为 R,质量为m的圆形绳圈，以角速率绕中心轴匀速转动时，绳中的张力为多大？解析取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角很小时，有近似关系式 sin .若取绳圈上很短的一小段绳 AB= L为研

15、究对象，设这段绳所对应的圆心角为 ，这段绳两端所受的张力分别为TA和TB （方向见图14O在光滑水平面上3一甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以TA和TB的大小相等，均等于T. TA和TB在半径方向上的合力提供这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为据牛顿第二定律有：2T sin m 2R ；2因为 L段很短，它所对应的圆心角将此近似关系和 m R 2 R很小所以sin 2m2代入上式得绳中的张力为T2 _m 2RF与D ,猎犬的速度方向转过的角度为2 t/R7.在某铅垂面上有一固定的光Vt直角三角形细管轨道ABC ,光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点C处所需

16、时间，恰好等于小球从顶点 A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道 AB与水平轨道BC的交接处B有极小 的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计在此直角三角形范围内可构建一系列如图144中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从 A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值 解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为“卜、图14-4-甲11、12、I3 ,如图14 4一甲所示，小球从 A至IJB

17、的时间 记为Ti ,再从B到C的时间为T2,而从A直接沿斜边到C 所经历的时间记为 T3,由题意知Ti T2 T3 ,可得11 : 12 ： 13=3: 4: 5,由此能得Ti与T2的关系.A因为 li igTi2li gTiT22T2 b因为 li ： 12 =3 ： 4,所以 T2Ti3小球在图i4 4乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为ti Ti,经各水平段所需时间之和记为 t2,则从A到C所经时间总和为t Ti t2 ,最短的t2对应t 的下限tmin ,最长的t2对应t的上限tmax.小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，

18、因此，所有水平段均处在最低位置（即与 BC重合）时t2最短，其值即为T2,故mint2的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量li ,便接一段水平小量12 ,这两个小量之间恒有l2li COt ，角 即为/ ACB ,水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于L、 l2均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量ti与t2（i）之间有如下关联:t2(i)而cot ll于是作为t2(i)之和的t2上限与作为ti(i)之和的Ti之比也为cot .故t2的上限必为，即得：tmaxT1T1

19、8t7ti这样 tmax ： tmin =7：5求导与微分、导数的概念1.导数定义设y=f(x)在xo的某邻域内有定义，在该邻域内给自变量一个改变量x,函数值有一相应改变量 yf (xox) f(xo),若极限.y.f (xolimlim0x oxx oX) f (Xo)存在，则称此极限值为函数y=f(x)在xo点的导数，此时称y=f(x)在xo点可导，用f (xo)或，或xxodydyx x x0或df(x)dx表本.x xo若y f (x)在集合D内处处可导(这时称 f(x)在D内可导)，则对任意xo D ,相应的导数f (x0)将随x°的变化而变化，因此它是x的函数，称其为y=

20、f(x)的导函数，记作f (x)或y，或曳或 , dxdf (x)dx2.导数的几何意义若函数f(x)在点xo处可导，则f(xo)就是曲线y=f(x)在点(xo,yo)处切线的斜率，此时切线方程为 y yo f (xo)(xxo).当f (xoAo,曲线y=f(x)在点(xo,yo)处的切线平行于x轴，切线方程为yy°f(x°).若f(x)在点xo处连续，又当xxo时f (x)，此时曲线y=f(x)在点(xo,yo)处的切线垂直于x轴，切线方程为x=xo.1.几个基本初等函数的导数1 c 0 x x sin x cosx cosx sin x2.导数的四则运算(1) c u

21、(x) c u (x)；(2) u(x) v(x) u (x) v(x)；(3) u(x) v(x) u (x) v(x) u(x) v(x)；(4)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v2(x)二、微分1.微分的概念设y f(x)在xo的某邻域内有定义，若在其中给 量y可以表示为x0 改变量x，相应的函数值的改变y f (xox) f (xo) Ax 0( x) ( x 0).其中A与x无关，则称f (x)在x0点可微，且称Ax为f (x)在x0点的微分 记为dyx x0df A x. xx0A x是函数改变量 y的线性主部y f (x)在xq可微的充要条件是f (x)在x

22、O可导，且dyf (x0 x).当f (x) x时，可得dx x,因此dy f (x0)dx,dyf (x)dx.x x0由此可以看出，微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.(2)微分的几何意义当x由x0变到x0x时，函数纵坐标的改变量为y，此时过x0点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy< y时，切线在曲线下方，曲线为凹弧.当dy> y时，切线在曲线上方，曲线为凸弧.图2T2 .微分运算法则设u(x),v(x)可微，则d(cu(x) cdu(x), d(c) 0. du(x) v(x) du(x) du(x). du(x) v(x) u(x)dv(x) v(x)

23、du(x). ,u(x) v(x)du(x) u(x)dv(x)d2v(x)v (x)三、不定积分1 .不定积分概念【定义】(原函数)若对区间I上的每一点x,都有F (x) f(x)或dF(x) f(x)dx,则称F (x)是函数f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性若函数f(x)有一个原函数F(x)，则它就有无穷多个原函数，且这无穷多个原函数可表示为 F (x) +C的形式，其中C是任意常数.【定义】(不定积分)函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分，记作 f(x)dx.若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)dx F(x) C(C是任意常数)2 .不定积分的性质(1)积

24、分运算与微分运算互为逆运算. f (x)dxf (x)或df (x)dx f (x)dx,dxF (x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C.(2) kf (x)dx k f (x)dx(常数k 0)(3) f (x) g(x)dx f (x)dxg(x)dx3.基本积分公式kdx kx ccosxdx sin x ci, xx dx c1sin xdx cosx c四、定积分【定义】(定积分)函数f (x)在区间a,b上的定积分定义为ba f(x)dxlimnf( i) xi ,x 0 i i【定理】(牛顿-莱布尼茨公式)若函数f(x)在区间a,b上连续，F(x)是f(x)在a,b

25、上的一个原函数，则bbf(x)dx F(x) F(b) F(a).aa上述公式也称为微积分基本定理，是计算定积分的基本公式.常见应用1. 一石砌堤，堤身在基石上，高为 h,宽为b,如图所示。堤前水深等于堤高h,谁和堤身的单位体积重量分别为 q和丫，问欲防止堤身绕 A点翻倒，比值b/h应等于多少？h2. 一个半径为四分之一的光滑球面置于水平桌面上.球面上有一条光滑均匀的匀质铁链，一端固定于球面顶点 A,另一段恰好与桌面不接触，且单位长度铁链的质量为p,求铁链A端所受到拉力以及铁连所受球面的支持力.3. 质量为m的均匀橡皮圈处于自然状态下的半径为ri,弹性系数为ko现将它保持水平套在半彳5为2的竖

26、直圆柱上（r2>ri）,套上后橡皮圈的质量分布仍是均匀的，橡皮圈与柱面 之间的静摩擦因数为 重现在圆柱体绕竖直轴转动起来，如图所示：问要保持橡皮圈不滑下，圆柱转动的角速度 3不能超过多少？常用数学知识汇总、三角函数公式 1.两角和公式sin(A B) sin AcosB cosAsin Bsin(A B) sin A cos B cosAsin Bcos(A B) cosAcosB sin Asin B cos(A B) cos A cos B sin Asin Btan(A B)cot(A B)2.二倍角公式tan(A B)cot(A B)tan A tanB1 tan Atan B

27、cot A cotB 1cot B cot Atan A tanB1 tan AtanBcot A cotB 1cot B cot Asin2A 2sin AcosAcos2A22_2_2cos A sin A 1 2sin A 2cos A 12 tan Atan2A 21 tan2 A3.半角公式.A sin21 cos AA cos 21 cos Atan公21 cos A1 cos A4.和差化积公式sin asinb2sin asin A1 cos Acot a21 cos A1 cos Asin Acos Acosacosb2a b 2cos2b a b一 cos2a b cos2sina sinb 2cosacosa cosbtanatan bsin a bcosa cosb5.积化和差公式sin asin bsinacosb21 . sin2coscosacosb6.万能公式sin a -1c, a2 tan2tan27.平方关系2sin x2cos xsin acosacosasin b2 a tan -22 a tan sec2 x ta n2si*2.a b sintanacos asin a a2 tan 22 a1 tan2 2csc2 x cotcos a bsin a8 .倒数关系tanx cotx 19 .商数关系,