必修五基本不等式讲义

1、3.4基本不等式一、基本不等式:1、重要不等式：a2+b2>2ab（a、bC R）当且仅当“ a = b”时"=”成立。注意：（1）不等式成立的条件是“ a = b”，如果a、b不相等，则“=”不成立；（2）不等2. 2.2. 2.a bab、2a b ,ab、2、式的变形：ab< ab< （）> （）> ab22222（ a2+ b2）> （a + b）2一 八 , 一 ”a b+2、基本不等式： > vab （a、bCR） 当且仅当“ a = b”时"=”成立。2a b注意：（1）内容：a >0, b>0,当且仅当“

2、 a=b”时"=”成立；（2）其中£一叫做正2数a、b的算术平均数， Tab叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小 于它们的几何平均数。例1 ：求证对于任意实数 a , b, c,有a 2+b2+c2> a b + bc+ca ,当且仅当a=b=c时等 号成立。【证明】：:a2 + b2>2ab c2+ b2>2bc a2+c2>2ac2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ac ，.= a2+ b2 + c2> ab+ bc+ ca当且仅当a=b=c时等号成立。变式练习 1:若 0v a v 1, 0v bv 1,且

3、a w b,则 a + b, 2 Jab , 2 a b, a 2+b2 中最大的一个是()A： a2 + b2b： 2vab C： 2abD： a + b变式练习 2:下列不等式：(1) x+ - >2; (2) | x+ - | > 2; (3)若 0V a<1<b,则 xxa2b22平方平均数logab+ logba< 2; (4)若 0vav 1vb, logab+ logba>2。其中正确的是 c均值不等式推广：w Jab w ab <112a b调和平均数 几何平均数 算术平均数 当仅且当“ a=b”时"=”成立。二、最值定理已知

4、x、y都是正数。(1)如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+ y有最小值2 JP ,即x+ y>2v'xy ;c2(2)如果和x+y就定值S,那么x = y时，积xy有最大值,即xy< (上一y)2。 42利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。应用一：求最值例 2:已知函数 f(x) = 3x+ 12 (x w 0)x(1)当x>0时，求函数的最值；(2)当x<0时，求函数的最值;【解析】：(1)当 x>0 时，f(x)=3x+ 12>2j3x 12 =12,12, “ ，当且仅当3x=,即x=2时，“=”成立。x 一一

5、12(2)当 xv 0 时，一x>0, f(x) =3x+ =x,c 12(-3x+ )<-2, 3x x V12工 - 12)x,12 , r一,当且仅当3x=- 12时，即x= 2时，"x变式练习：求下列函数的最值21(1) y=3x2+ T 2x2成立。1(2) y = x+ 一x应用二：凑项例3:已知x< ,求函数f(x)4= 4x2+4x 5的最大值。【解析】：解：因4x 5 0 ,所以首先要“调整”符号，又 (4x 2)嚎匕 不是常数，所以 对4x 2要进行拆、凑项，_5_ _11Qx-, 5 4x0， y 4x 2 5 4x 32 3 1，1-，-一,

6、 一，,当且仅当5 4x ，即x 1时，上式等号成立，故当 x 1时,y max 1 °44x 55 4x5 4x变式练习1 : f(x) = - + x (x > 3)的最小值为x 3例4:当0V x<4时，求f(x) =x(8 2x)的最大值。【解析】：y三X8-打)三与2工(8 - 2乃”；产售-21三S匕自,吕当|2戈=,即x = 2时取等号 当x = 2时，y x(8 2x)的最大值为8。3一一变式练习1:设0 x 求函数y 4x(3 2x)的最大值。23【解析】：0 x -3 2x 02 y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)22x 3 2x23 3当且仅当

7、2x 3 2x,即x 0,-时等号成立。4 22 变式练习2:0x求函数f(x) =Jx(2 3x)的最大值。3 ,应用三：分离x 一一例5:右x>0,求函数f(x)= 的取值。x 3x 1，一 2x变式练习1：当x>0时，则f(x) =2 的最大值为 。x 12变式练习2:已知x> 1,求函数f(x)= -一7x 10的最小值。x 1【解析】：X y"-十7二十：0 .(了+炉+总十)/4当X >,即工+ 10时，y2"x 1)4.x 15 9 (当且仅当x=1时取“=”号)。变式练习3:若对任意x>0xW a恒成立，则a的取值范围为 3x

8、1应用四:整体代换1例6:已知1 ,则x y的最小值是11变式练习1:已知x>0, y>0,且2x+y=1,则 的最小值为 x y21变式练习2:已知x 0,y 0,且2 ,，“ 2,则x y的最小值是 x y变式练习3:若函数f(x) = ax 2 2 (a>0, aw 1)的图象恒过点 A,若点A在直线mx+ny12+ 1 = 0,其中m、n均大于0,则一 一的最小值为 。m n变式练习4:设x>0, y>0且x+2y2xy = 0,若x+2ym> 0恒成立，则实数 m的取 值范围是。【解析】：x+ 2y- 2xy = 0, + = 1, 则(x+ 2y

9、)( + 1 )>4,故 m< 42y x2y x变式练习5:已知正项等比数列an满足a2017 = 2a2016 + 3a2015,若存在不同的两项 ap、14 .am使得 vap am = 33x23 的取小值是 m p11【解析】：1 ,当且仅当x=y = 4时成立。6应用四：条件最值例7：若实数满足a b 2,则3a 3b的最小值是 【解析】：3a和3b都是a b 2正数，3a 3b > 23a 3b 2JF石 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6。11 x y _ x yxy 16变式练习1：右log

10、4x log 4 y 2,求一 一的最小值，并求x, y的值。 x y112、xy16 log4x+log4y = log4(x X y) = 2,，xXy=16，一 一 x y变式练习 2:已知函数f(x) = 4x+ (x>0, a >0)在x=3时取得最小值，则 a = x变式练习 3:设 x>0, y>0, z>0,且 x + y+z=1,若1 十 xy - m>0 恒成立,x y z则实数m的取值范围是。【解析】：土_y m>0恒成立，则Jx_y>m恒成立，则令f(x) = x y zx y zx y+=x y z += i+口 R3,

11、故 mw3。z x y z x y z应用五：换元. ，一一 x2 5 例8:求函数f(x)=的取值。x2 4x2 4 121【解析】：f (x) = x 4 1 = xx4 +'i x2 4. x2 421，一 . ，2 一 1 一不能用均值不等式： Jx2 4+ ,>2,当且仅当Jx2 4=，即:,x2 4, x2 4x2 + 4=1, x2=1,此时x没有实数解。x24 12.12f (x) =vx 4+_ 令 Jx 4=t( t>2)v x 4, x 41- f (t ) = t+； ( t > 2 )函数 f(t )在2,上单调递增。，一，一 5当t=2时，

12、f(t)有最小值 5225vx 4=2, x= 0, f(x) min = 2变式练习1:求函数f(x) = 4= x变式练习2 :求函数f(x)=sinx 二sin x,x (0,)的最小值。“函 ftf (x)=a»+ (a>0, b>0)其极值点是士一 it俗称也对勾画sr , 因为它的图象象两个“对号r ，一又称为“对号面sr ,的值域。课后综合练习2ab1、设 a、b是正实数，以下不等式： (1) Jab > (2) a > I a b b； (3) a 2a b+ b2>4ab 3b2； (4) ab+工 >2。恒成立的序号为()abA

13、： (1) (3);B: (1) (4);C: (2) (3); D: (2) (4)【解析】：D (1) >(2) a +b> I a -b I (3) a2+3b2+ b24ab= a2+4b24ab>4ab-4ab=0；2、若a、b均大于1的正整数，且ab= 100,则lga x igb的最大值是()5A: 0 B: 1 C: 2 D:-2【解析】：B3、若x>0,则x+ 4的最小值是()xA: 2B: 3C: 2 <2 D: 4【解析】：D4、已知0V x<1,则x(3 3x)取得最大值时x的值为()1132A:一B:C:D:3243【解析】：C11

14、5、设a >0, b>0若43是3与3的等比中项，则-的取小值（）a b1A: 8 B: 4 C: 1 D:-4【解析】：Bx 2x 2乙一6、函数f（x） = （x>1）图象的最低点坐标是 。x 1【解析】：（0, 2）7、若a>0, b>0,且x=1是函数f（x） = 12x2-2ax-2b的零点，则a b的最大值为 【解析】：98、若正数a、b满足ab= a + b+3,求a b的取值范围。【解析】：ab>929、已知x>0, y>0,且x2+ 匕=1,求xy2的最大值。210、已知不等式 x2ax+a 2>0的解集为（一8, x1）

15、u（x2,十）,其中x10vx2,则x1+x2+ 2 + 2的最大值为（）x1x2A: 3 B: 0 C:2 D: 322【解析】：:X1V0VX2,x1Xx2=a2V 0+ =5+ 2(Xi X2X2X1=a += a - 2 + 4 w 0a 2a 211、如图，在 ABC中，D为BC的中点，E为AD上任一点，且BE=BA+ BC,则工+1的最小值为。【解析】：3 2J212、若两个正实数 X, y满足1+4=1,且不等式x+y v m23m有解，则实数 m的取 X y4值范围是()A: (-1, 4) B: (8, 1)u(4, +8) C： (-4, 1) D: (£ 0)U

16、(3, + 8)【解析】：选 B :不等式 X + y<n23m有解，X + 4minnm 33x>0, y>0,且：+； =1,X + y ： + 4 =3着+2*、仁 + 2=4,当且仅当,即 x=2, y44 x y y 4xy 4xy 4x=8 时取等号， x+4 min= 4,m3m>4,即(m+1)( m-4) >0,解得 m< 1 或 m>4,故实数m的取值范围是（8, 1） u（4 ,+8）.13、某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为400平方米的三级污水处理池，如图所示，池外圈造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为每平方