微分方程例题选解

1、微分方程例题选解1 .求解微分方程 xlnxdy (y ln x)dx解：原方程化为 dy y -, dx xln x xii通解为dx 1dxy e xlnx -e xlnx dx Cxln xln x dxxC11221nx CA lmxo ln x 23 一 e, y 2,得C 1 ,所求特解为y2 .求解微分方程x2 y xy y2 0。解：令y ux, y u xu ,原方程化为 u xu u u2 ,分离变量得当 4224、-d(x 2x y y ),4得d(x4 2x2y2 y4) 0,原方程的通解为x4 2x2y2 y4 C。注：此题也为齐次方程。4.求解微分方程y 1 (y)

2、2o dx ,u x 1-积分得一In x C , u原方程的通解为y 一x一。In x C3.求解微分方程(x3 xy2)dx (x2yy3)dy。解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。3 .2 .2.3 .原方程化为x dx xy dx x ydy y dy 0 ,由x3dx xy2dx x2ydy y3dy1 . 41 / 222214dx (y dx x dy ) dy424解：设pdp,原方程化为 dxdp idx分离变量得dpi p2dx ,积分得 arctan pCi,p tan(xCJ,积分得通解为In cos(xCi)C2。5.求解微分方程y2y 2y 0。解：

3、特征方程为 r22r 2 0,特征根为i i,通解为y ex(C1 cosx C2sinx)。6.求解微分方程y y (2x i)e2x。解：对应齐次方程的特征方程为特征根为ri02齐次通解为 YC1C2ex。可设待定特解y*(ax2xb)e，代入原方程得3a 2(ax b)2x比较系数得 a i, bi,从而 y* (x i)e2x,原方程的通解为y Cix2xC2e(x i)e 。7.求解微分方程y y4xex。解：对应齐次方程的特征方程为r2 i0，特征根为ri1i,齐次通解为YC1exC2e x。可设待定特解y*xx(ax b)e ,代入原方程得2a 2(2axb) 4x,比较系数得

4、a i, b1,从而y*(x2 x)ex,原方程的通解为y Ciex C2e(x2 x)ex。8 .求解微分方程 y 6y 9y e3x(6x 2)。解：对应齐次方程的特征方程为r2 6r 9 0,特征根为r1r2 3,齐次通解为 Y (C1 C2x)e3x。 23x可设行te/寸斛y* x (ax b)e ，代入原万程得6ax 2b 6x 2,比较系数得 a 1, b 1,从而y* (x3 x2)e3x,原方程的通解为y (Ci C2x)e3x (x3 x2)e3x。9 .利用“凑微分”的方法求解微分方程(xy y sin y)dx (x cosy)dy 0。解： 由 (xy y sin y

5、)dx (x cosy)dyxydx ydx sin ydx xdy cos ydy xydx sin ydx (ydx xdy) d sin y(xy sin y)dx d(xy sin y),d (xy sin y).原万程化为 dx ,xy sin y积分得 ln( xy sin y) x In C ,从而通解为 xy sin y Ce x。10 .选择适当的变量代换求解微分方程x yy Qx2 y2 1)tanx。解：设 u Jx y2 ,则 ux一yy ,原方程化为uu (u 1) tan x ,u1分离变重得 (1 )du tan xdx,u 1积分得 u ln(u 1) In c

6、osx C ,原方程的通解为 x x2 y2 ln“x2 y2 1) In cosx C。11 .利用代换y u 将方程y cosx 2y sin x 3y cosx ex化简，并求出原方程的通 cosx解。解：由u ycosx,得y cosx ysin x ,u y cosx 2y sin x ycosx。原方程化为u 4u ex,xe其通解为 u C1cos2x C2sin2x , 5原方程的通解为 y Cicos型 2c2 sin x -eo cosx5cosx12 .设二阶常系数线性微分方程y ay by cex的一个特解为y e2x (1 x)ex。试确定常数a,b, c ,并求该方

7、程的通解。解：由题设特解知原方程的特征根为1和2,所以特征方程为一一 12 一一一(r 1)(r 2)0,即r 3r20,于是a 3, b 2。将y1 xex代入方程，得(x2)ex3( x1)ex 2xex cex, c1。原方程的通解为y C1ex C2e2x xex。13 .已知y1xexe2x,y2 xex e x, y3xexe2xe x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。解：由题设特解知原方程的通解为y C1e x C2e2x xex,特征根为1和2,所以特征方程为 _2_(r 1)(r 2) 0,即 r r 2 0,故可设此微分方程为y y 2y f(x),将

8、y xex代入方程，得f (x) (1 2x)ex,故所求方程为y y 2y (1 2x)ex。14.设 Uf(r)满足方程22uu22xy4,其中rx22.-y ，求 f(r)o解:x-f (r) r2 u-2 x22 f2 1 r(r)(r)2 u2 y2 y2 r(r)2x3 f (r), r15.解:2u-2 x2u2 y(r)(r)f (r)f(r)设函数f (t)在0,4f(t) e求 f (t)。由于所以f(t)求导得由 f (0)2dre r ，2r2 rt24edrr drC1)drCi)上连续，且满足方程1 一f(2.x x2 y2 4t2(2r2 rC1),Ci In r

9、 C2。)dxdyf (2 , x24t22、y )dxdy2te42t1rf ( r)dr ,)2f (t)f(t)te4t2tf(t),tdt8te4t2e8 tdtdtC1 ,因此 f (t) (4t21)e416.设f (x)连续可微，f(0)1 ,确定,1f (-r)rdr4 t22e (4 tt2of(x),使曲线积分Lx f (x) ydx f(x)dy(1,1)与路径无关，并计算I (oo)x f (x) ydx f(x)dy。解：由曲线积分与路径无关，得f (x) x f(x),dxdxxf (x) e ( xe dx C) (x 1) Ce ,C)2t1rf ( r )dr

10、02由 f (0) 1 ,得 C 2,从而 f (x) x 1 2e x ,(1,1)12是 I (1 2e)ydx (x 1 2e x)dy 2e dy -。 e若室温17 .假定物体在空气中的冷却速度是正比于该物体的温度和它周围的空气温度之差,为200c时，一物体由1000c冷却到600c须经过20分钟，问共经过多少时间方可使此物体的温度从开始时的1000c降低到300解：设在时刻t物体的温度为T（t）,则有dTk(T 20),且 T(0) 100T(20) 60分离变量得工 kdt,T 20积分得ln(T 20)kt In C ,T 20 Cekt由 T(0)100得 C 80,kt20

11、 80e再由 T(20) 60 得 60 20kt80eIn 22060。共经过60分钟方可使此物体的温度从开始时的1000c 降低到 300 c。故 T 20 80e 20 ,ln 2t令 T(t) 30 ,得 30 20 80e 2018 .设物体A从点（0,1）出发，以速度大小为常数 v沿y轴正向运动。物体B从点（1,0）与A同时出发，其速度大小为 2v,方向始终指向 Ao试建立物体B的运动轨迹所满足的微分方程，并写出初始条件。(1 vt) yx(1)解：设在时刻t , B位于点（x, y）处，则dy dx两边对x求导，得 xd4v生，由于dx八ds,dydxdt2vV1,一dt:dx出

12、dxdx代入(1)式得所求微分方程为d2yX dx0,其初始条件为y |x 1 0, y |x 1 1。19.在xOy面的第一象限内有一曲线过点(1,1),曲线上任一点P处的切线与x轴及线段OP所围三角形的面积为常数 k ,求此曲线的方程。解：设P(x, y)处的切线方程为Y y dy(X dx由题设知(xdx)y2k ,化为dx -xdydy y1 “1 ”dy- dy其通解为x e y ( 22)e y dy Cy由x 1,y 1,得C 1 k,所求曲线方程为x),在x轴上的截距为 a x -ydx , dy2k-2， yk , 一2x 一 (1 k)y ,即 xy (k 1)y k。 y20.某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h。经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例 系数为k 6.0 106)。问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设，飞机的质量 m 9000kg,着陆时的水平速度 v0 700km/h o从飞机触地时开始计时，