傅里叶变换公式

1、_第2章信号分析本章提要信号分类周期信号分析 -傅里叶级数非周期信号分析 -傅里叶变换脉冲函数及其性质信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析： 从信号中提取有用信息的方法和手段21信号的分类两大类： 确定性信号，非确定性信号确定性信号： 给定条件下取值是确定的。进一步分为：周期信号，- 可编辑修改 -_非周期信号。x(t)x(t)质量 Mx0弹簧to刚度 K质量弹簧系k t统的力学模型x(t ) A cos0m非确定性信号（随机信号） ：给定条件下取值是不确定的按取值情况分类：模拟信号，离散信号数字信号 ：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。信号描述方法- 可编辑修改 -_时域描

2、述如简谐信号简谐信号及其三个要素x0 cos( 0t0 )幅值频率相角频域描述以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。- 可编辑修改 -_22周期信号与离散频谱一、周期信号傅里叶级数的三角函数形式周期信号时域表达式x(t )x(tT )x(t2T )x(tnT )(n1，2，)T：周期。注意 n的取值：周期信号 “无始无终 ”#傅里叶级数的三角函数展开式x(t ) a0(an cosn0t bn sin n 0t)n 1（n=1, 2, 3，）- 可编辑修改 -_傅立叶系数：1

3、T2a0TT x(t)dt22Tan20t d tTT x(t) c o sn22Tbn20t d tx(t) si nnTT2式中 -周期； 0-基频 , 0=2 /T。三角函数展开式的另一种形式：N 次谐波的幅值N 次谐波的频率x(t ) a0An cos(n 0t n )N 次谐波n 1信号的均值，直流分量N 次谐波的相角- 可编辑修改 -_Anan2bn2narctgbnann1,2, 3,周期信号可以看作均值与一系列谐波之和-谐波分析法频谱图Ann 0202周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性- 可编辑修改 -_例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解：x(t

4、)At-AT非对称周期方波周期方波解：信号的基频0傅里叶系数2T- 可编辑修改 -_奇函数： a0an 02T2t 的偶函数bx(t) sin n0tdtnTT24T2 Asin n 0tdt2A 1 cosnT0n4An为奇数nn为偶数0n次谐波的幅值和相角Aa2b2b4 Annnnnn，2(n1,3,5,)最后得傅立叶级数x(t )4A cos(n0t)(n 1,3,5, )nn2频谱图- 可编辑修改 -_4AAn4An4 A35 03 0502幅频谱图相频谱图二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式欧拉公式e j tcostj sint或- 可编辑修改 -_c o s t1e2s i n t

5、je2j1jte j tjtej t傅立叶级数的复指数形式x(t )cnejn 0 t(n 0, 1, 2, 3, )n复数傅里叶系数的表达式ca1T2x(t )dt00TT2- 可编辑修改 -_anjbncn2T12T x(t)ejn0t dtT2其中 an， bn的计算公式与三角函数形式相同，只是 n包括全部整数。一般 cn是个复数。因为 an是n的偶函数 ，bn是n的奇函数，因此#ana nb nbn即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。cn的复指数形式cnc ej nn共轭性还可以表示为- 可编辑修改 -_cncnnn，即： cn与c-n模相等，相角相反。傅立叶级数复指数也描述信号

6、频率结构。它与三角函数形式的关系对于 n0an2( bn )2Acnn22 （等于三角函数模的一半）narctgbnan （与三角函数形式中的相角相等）Anc n2- 可编辑修改 -_narctgbnarctg bnanan用cn画频谱：双边频谱第一种：幅频谱图 :|cn|-，相频谱图 :AnA1cnA2020n1n12n-A1c12c20 2022 002012002 01单边频谱双边频谱第二种：实谱频谱图 :Re cn-，虚频谱图：Imcn-；也就是 an-和-bn-.- 可编辑修改 -_#23非周期信号与连续频谱分两类：a.准周期信号定义：由没有公共周期 （频率）的周期信号组成频谱特性：

7、离散性，非谐波性判断方法：周期分量的频率比 （或周期比）不是有理数b.瞬变非周期信号- 可编辑修改 -_x(t)x(t)x(t)ttt几种瞬变非周期信号数学描述：傅里叶变换一、傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号式（ 2.22 ）借助（ 2.16 ）演变成：x(t)的傅里叶变换 X( )x(t )1x(t )e j t dt e j t d2定义 x(t)的傅里叶变换 X()X ()x(t) e j t dt- 可编辑修改 -_X()的傅里叶反变换 x(t):x(t )1X ( )e j t d2傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波1 X ()e

8、j t d2的叠加。称X( )其为函数 x(t)的频谱密度函数。对应关系：1X () de j tcn e jn 0 t2X( )描述了 x(t)的频率结构 X( )的指数形式为- 可编辑修改 -_X ()X () ej ( )以频率 f (Hz) 为自变量，因为 f =w/(2p) ，得X ( f )x ( t ) ej 2f t dtx(t )X ( f )e j 2 f t dfX( f )的指数形式X ( f )X ( f ) e j ( f )频谱图幅值频谱图和相位频谱图：- 可编辑修改 -_幅值频谱图相位频谱图X()()实频谱图 ReX()和虚频谱图 Im( )如果 X( )是实函

9、数，可用一张 X( )图表示。负值理解为幅值为 X( )的绝对值，相角为或。二、傅里叶变换的主要性质（一）叠加性a1 x1 (t) a2 x2 (t)FTa1 X1( f ) a2 X 2 ( f )（二）对称性- 可编辑修改 -_X (t)FTx( f )（注意翻转）（三）时移性质x(t t0 )FTX ( f )ej 2 f t 0（幅值不变，相位随f 改变2 ft0）（四）频移性质x(t)ej 2 ft 0FTX ( f f0 )（注意两边正负号相反）（五）时间尺度改变特性1fx(at)X ()（六）微分性质d n x(t ) FT( j 2 f )n X ( f )dt n- 可编辑修

10、改 -_（七）卷积性质（1）卷积定义x(t )y(t )x( ) y(t)d（2）卷积定理x(t)y(t)x(t) y(t)FTFTX ( f )Y( f )X ( f )Y( f )三、脉冲函数及其频谱（一）脉冲函数：x(t)x(t)1/(t )A (tt0 )- /2/2tt0t- 可编辑修改 -_定义 函数（要通过函数值和面积两方面定义）函数值：t0(t)0t0脉冲强度（面积）( t ) dt1（二）脉冲函数的样质1 脉冲函数的采性（相乘）样质：x(t 0 ) (tt0 )(t )(t t0 )x(0) (t )x(t)x(t)tt0t- 可编辑修改 -_函数值：t0x(t) (tt0

11、)0t0强度：x(t) (tt0 )dtx(t 0 )(tt 0 )dtx(t0 )结论：1.结果是一个脉冲， 脉冲强度是 x(t) 在脉冲发生时刻的函数值2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。2 脉冲函数的卷积性质：(a) 利用结论 2- 可编辑修改 -_x(t )(t)x( )(t)dx(t)(t)dx(t)(b) 利用结论 2x(t)(tt0 )x( )(tt0)dx(tt0 )(t t0)dx(tt0 )结论：平移(tt0 )x(t)x(tt0 )t0t- 可编辑修改 -_（三）脉冲函数的频谱(t)FT( f )(t)e j 2 ftdt 1均匀幅值谱由此导出的其他 3个结果(tt0 )FTej 2 ft 0（利用时移性质）FT1ff（利用对称性质）ej 2 f0tFT( ff 0 )（对上式，再用频移性质）（四）正弦函数和余弦函数的频谱- 可编辑修改 -_cos2ft1 e j 2 fte j 2 ft2s