二次函数在闭区间上的最值教师版

1、高频考点函数最值二次函数在闭区间上的最值问题一、 知识要点：一班函数求最值，二次函数求最值一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.、 题型：求最值，含参求最值，已知最值求参数 （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动。1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最 值”。第1页（共8页）X高频考

2、点函数最值二次函数在闭区间上的最值问题且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间第5页（共8页）2、轴动区间定的左侧或左端点上。二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的， 我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。例2.(1)求f (x) =x2+2ax+1在区间-1,2上的最大值。练(2)求函数y = x(xa)在x w -1 ,1上的最大值。解：(1)二次函数的对称轴方程为x =-a ,11当a 2即 a A2 时，f(x)max = f(2)=4a+5；,1 r1 ,当-a 22 即 aE2 时，f (x)max = f ( T) =2a+2。1-2a 2

3、,a ,一2综上所述：f(x)max=4。.一14a5,a-2aaaax=，应分1W 1 ,1 即2EaE2,22222a 2 a(2)函数y = -(x -) + 图象的对称轴方程为 24a -2和a a 2这三种情形讨论，下列三图分别为(1) a2 时；由图可知 f(x)max = f(1)7(-1), a -2y最大=f(a), -2a2;即 y最大f(1),a 2一(a +1) , a -22,-2 a 1综上讨论，f (x)min =1, 0 t 12t +1 t t w 1若 22即2时，f(x)max=f(t 1)=t2 2(3)当 t +1 1 即 t 0 时,f(x)max

4、= f(t)=t2-2t 32t2 2,t综上，f(x)maxt2 -2t3,t n(如图 3) 2af (n)，1上e_ (m + n)(如图2) 2f(x)min=f(2a2a三n(如图4)一 bf (m),- m(如图5) 2a2a阳3图3闺5时例4.解:(3)f(n)，2a. n(如图6)- b 1 一f(m), 之一(m + n)(如图9)2a 2b=f(2a(m + n)(如图 10)ra 6ra 8f(x)max(二)、逆向型： 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。f (m), - b : m(如图8)b 1f(n) 一孤力b),mW - W n(如图 7

5、) f (x) min2ara 7已知函数f (x) =ax2+2ax+1在区间3,2上的最大值为4,求实数a的值。f (x) =a(x 1)2 1 -a,x -3,2若a = 0, f (x) =1,不符合题意。若 a A0,则 f(x)max = f(2)=8a+1一 .一3由 8a+1 =4,得 a =- 8若 a0 时，则 f (x)max = f (T) =1a由 1a=4,得 a = -3.3综上知a = 一或a = -3例5.已知函数f(x) =8+ x在区间m,n上的最小值是3m最大值是3n,求m, n的值。高频考点函数最值二次函数在闭区间上的最值问题解法1:讨论对称轴 器=1中1与m,mln,n的位置关系。2f(x)max = f(n)=3nf (x)min = f (m) =3m什m n d右1 n ,2m n右m 1 ,21f“咐二3无解f (x)min = f (m) = 3m厂一=3n,无解f (x)min = f (n) =3mf (x)max = f (m) =3nf (x)min = f (n) =3m综上，m = -4, n = 012 111斛析 2：由 f (x) = (x -1)十一，知 3n E-, n E ,则m,n (-0,