2020年河南省开封市高考数学三模试卷(理科)

1、2020年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. （5分）已知集合A = x|x=3n+2, n 6N, B = x|2< x< 14,则集合AAB中元素的个 数为（）A. 5B. 4C. 3D. 22. （5分）设复数z满足息-,则z的共钝复数为（）A. iB. - iC. 2iD. - 2i3. （5分）空气质量指数 AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状 况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI,根

2、据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是( )A.该地区在该月2日空气质量最好B.该地区在该月24日空气质量最差C.该地区从该月7日到12日AQI持续增大D.该地区的空气质量指数 AQI与这段日期成负相关4. （5 分）“a>b>0”是 “a+a2>b+b2"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. （5分）已知1, ai, a2, 3成等差数列，1, bi, b2, E, 4成等比数列，则三*的值 b2 |为（）A. 2B. - 2C. ±2D.生6. （5分）九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱

3、与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（第5页（共22页）A.加兀 B. 2兀C. 6兀D. 24兀7. （5分）如图程序框图是为了求出满足1+L+1+.+_!< 1000的最大正整数n的值，那2 3 n么在 <和 匚?两个空白框中，可以分别填（）否A. “S<1000”和“输出i-1"B."S< 1000”和“输出 i-2”C. “SA 1000”和“输出i1"D.“SA 1000”和“输出 i2”8. （5分）设函数D （x）=0,，为有理

4、毅X为无理数则下列结论正确的是（A. D (x)的值域为0, 1B. D （x）是偶函数C. D （x）不是周期函数D. D （x）是单调函数9. （5分）如图，在矩形ABCD中的曲线是y=sinx, y=cosx的一部分，点D （0, 1）,在矩形ABD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（B.(亚-1)C. 4 M- 1)兀D.10. (5 分)已知 a=2ln3b=3ln2贝！J a, b, ec的大小关系为（A. a>c>b B. b>c>aC. c>a>bD. c>b>a11. （5分）已知等比数列an满足:a1=4, Sn= pa

5、n+1+m (p>0),则取最小值时，数列an的通项公式为（A. an = 4?3n 1 B. an = 3?4n 1C. an = 2n+112. （5分）已知函数f （x）=sin ( gjx+ d) ( 3> 0,D. an=4nT)，x7Ta为f （x）的零点,x=T为y=f （x）图象的对称轴，且?x (11兀3617K38),|f (x) |<1,则3的最大值A. 5B. 4C.D. 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. （5分）设向量=(m, 1), b=(1, 2),且喇|=R的,则 m =14. （5分）设x, y满足约束条件 Cl ,

6、则z= x+y的取值范围是.15. （5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有种.2216. （5分）已知双曲线C:三当二1 （a> 0, b>0）的右顶点为A,以A为圆心，半焦 a2 b2距c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M , N两点.若|MN|=Vc,则C的离心率为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （12分）在4ABC中，角A, B, C所对的边分别

7、为a, b, c,且bcosA哼a = c, D 是BC边上的点.（I ）求角B;（H）若 AC = 7, AD =5, DC = 3,求 AB 的长.18. （12分）如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，平面ABEF，平面EFDC , ADF是边长为6的正三角形，直线 AD与平面ABEF所成角为子.（I ）求证：EFXAD;（II）若EF=2CD=2,四边形ABEF为平行四边形，求平面 ADF与平面BCE所成 锐二面角的余弦值.19. (12分)为评估设备M生产某种零件的性能，从设备 M生产零件的流水线上随机抽 取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直

8、58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合径计/mm件 1135 6 19 33 18 44 2121 100数经计算，样本的平均值 呼65,标准差=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表不相应事件的频率)：P (区-(T < X<k(T ) > 0.6826.P (- 2(r<X< +2(r) > 0.9544 P(u 3 <XW+3(r) A 0.9974.评 判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等

9、级为甲；仅满足其中两个，则等级 为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于 -2(t或直径大于 k2(T的零件认为是次品(i)从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E(丫)；(ii)从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数 Z的数学期望E (Z).22120. (12分)已知椭圆 C:(a>b>0),四点P1(0,g)，P2吟,1),P3(1,江 P4 (1,1)中恰有三点在椭圆C上.(I )求椭圆C的标准方程;(H )过C的右焦点F作斜率为k的直线11与C交于A, B两点，直线l: x

10、=4与x轴交于点E, M为线段EF的中点，过点B作直线BN，l于点N.证明：A, M, N三点共线.21. (12 分)已知函数 f (x) = ex - a, g (x) = a (x - 1),(常数 a田).(I )当g (x)与f (x)的图象相切时，求a的值；(H)设0 (x) =f (x) - g (x2),讨论0 (x)在(0, +s)上零点的个数.选修4-4:坐标系与参数方程22. (10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(X(t为参数)坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为P：,在以二 asin 0第7页(共22页)(a6R 且 a

11、?0).(I )求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；p1 6R,(H)已知A (s，0)是直线l上的一点，B (化，0+*)是曲线C上的一点, 必6R，若察的最大值为2,求a的值.选修4-5:不等式选讲23.已知函数 f (x) = |x- 1|.(I)求函数y=f (x) - f (x+1)的最大值；(H)若 f (|a-2|+3) >f (a-2) 2+1),求实数 a 的取值范围.2020年河南省开封市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. （5分）已知集合A =

12、 x|x=3n+2, n 6N, B = x|2< x< 14,则集合AAB中元素的个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【解答】 解：A = x|x = 3n+2, n6N, B = x|2<x< 14;.AnB = 5, 8, 11;.AAB中元素个数为3.故选：C.2. （5分）设复数z满足廿二i,则z的共钝复数为（）A. iB. - iC. 2iD. - 2i【解答】解：由廿二i,142得二-i-（L-2L-:仔乙l+i 2 一 i则z的共钝复数为i.故选：A.3. （5分）空气质量指数 AQI是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气

13、质量越差.某地环保部门统计了该地区某月1日至24日连续24天的空气质量指数AQI,根据得到的数据绘制出如图所示的折线图，则下列说法错误的是AQ1 95 8065A.该地区在该月2日空气质量最好B.该地区在该月24日空气质量最差C.该地区从该月7日到12日AQI持续增大D.该地区的空气质量指数 AQI与这段日期成负相关【解答】解：由折线图可知：该月2日指数AQI值最小，因此空气质量最好；该月24日指数AQI值最大，因此空气质量最差；该地区从该月7日到12日AQI值是持续增大；该地区的空气质量指数 AQI与这段日期成正相关；故选：D.4. （5 分）“a>b>0”是 “a+a2>

14、b+b2"的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解答解：a>b>0?a2>b2,可得 a+a2>b+b2.反之不一定成立，例如取 a= - 3, b= - 1时. “a>b>0”是“a+a2>b+b2”的充分不必要条件.故选：A.5. （5分）已知1, ai, a2, 3成等差数列，1, bi, b2,4成等比数列，则汇理的值第9页（共22页）A. 2B. - 2C. ±2D.旦【解答】解：1, ai, a2, 3成等差数列，可得ai+a2 = 4, 1, bi, b2, b3, 4成等比数

15、列， 可得 b22=4, 1, b2, 4 同号，所以 b2=2,.W = 2,故选：A.6. （5分）九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳 马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形. 若该阳马的顶点都在 同一个球面上，则该球的表面积为（）正也图例邀A.后兀 B. 2兀C. 6兀D. 24兀【解答】解：如图所示，该几何体为四棱锥 P-ABCD.底面ABCD为矩形,其中PD，底面ABCD.AB=1, AD = 2, PD=1.则该阳马的外接球的直径为 PB =近百!二回.该阳马的外接球的表面积为：4元乂除 乙元.7. （5分）如图程序框图是为了求出

16、满足 1+!+4+.+!< 1000的最大正整数n的值，那 2 3 n么在<> 和匚二两个空白框中，可以分别填（）第9页（共22页）仁 L5二Q否A. “S<1000” 和“输出 i-1" B. "S< 1000” 和“输出 i-2”C. “SA 1000” 和“输出 i1" D. “SA 1000” 和“输出 i2”【解答】解：由于程序框图是为了求出满足 1+±+'+-+工<1000的最大正整数n的值, 2 3 n故退出循环的条件应为S> 1000,由于满足1+=+LA1000后，(此时i值比程序要求的

17、i值多一)，又执行了一次2 3 ni=i+1,故输出的应为i-2的值.故选：D.8.(5分)设函数D (x)=0,为无理数则下列结论正确的是(A. D (x)的值域为0, 1B. D (x)是偶函数C. D (x)不是周期函数D. D (x)是单调函数【解答】解：.函数D (x)=L3为有理数0,工为无理教第#页(共22页)函数值域为0, 1,故A不正确;当x为有理数时，-x必为有理数，此时f (-x) =f (x) =1;当x为无理数时，-x必为无理数，止匕时f (-x) =f (x) =0.故f (x)是偶函数，即B正确；对于任意的有理数T,当x为有理数时，x+T必为有理数，止匕时f(x+

18、T) =f (x) =1； 当x为无理数时，x+T必为无理数，此时f (x+T) =f (x) =0;即函数是周期为任意非0有理数的周期函数，故 C不正确；D (2) =1, D (3) =1, D (,扬=0, D (百)=0.显然函数D (x)不是单调函数， 故D不正确；故选：B.9. (5分)如图，在矩形 ABCD中的曲线是y=sinx, y=cosx的一部分，点B (1，«), D (0, 1),在矩形ABD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()第17页(共22页)A. + (V3- 1)B.会(血1)C. 4 /1)兀D. 4 (丘 T)兀ITR【解答】解：S阴影二:

19、(easx-sinx)dx= SEsins-GQsx |( =2G/T). 兀 兀由测度比是面积比可得，此点取自阴影部分的概率是p=*L/t)*(/t).iASCB _ 八2故选：B.10. (5分)已知a=2ln3, b=3ln2,则a, b, c的大小关系为()A. a>c>b B. b>c>aD. c>b>a【解答】 解：a = 2ln3=ln9,b=3ln2=ln8<ln9=a,C=旦>' 1门9二&, ec> a>b,故选：C.11. （5分）已知等比数列an满足：ai=4, Sn=pan+i+m （p>

20、;0）,则p取最小值时，数 Th歹Uan的通项公式为（）A. an = 4?3n 1 B. an = 3?4n 1 C. an = 2n+1D. an=4n【解答】解：:等比数列an满足：a1 = 4, Sn = pan+1 +m = 4p?qn+m （p>0）,由等比数列的求和公式 与=寻口，口可得，4p+m = 01-q则Y=P+2%尾T1,当且仅当p4r即p*时取等号，此时 Sn = %+L 2, sn-1=Tan-2|（廿2）两式相减可得，an=二1M.1"&石，即 an+1 = 3an （n42） El II- 127 一住- S1 = -j：j-a2 - 2

21、,.a2=12=3a1等比数列an满足：a1=4,公比q = 3此时，an = 4?3n 1故选：A.12. （5 分）已知函数 f（x） =sin（3X+0） （口>0, |0乒9），x=-。为 f （x）的零点, x=全为y=f （x）图象的对称轴，且？x£ （崂，号），|f （x） |<1,则3的最大值 为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【解答】解：.函数 f (x) =sin(3X+0)(3>0, 点，x=巴为y = f (x)图象的对称轴.4 . -w+(|)= m 兀，3 +(|)= n 什今.(m, nZ)上下，x714为f (x)的零.3=2 (

22、n m) +1,即 3 为奇数.F面验证3 = 5不符合题意,当3= 5日寸，可得(|)=7T,函数 f (x) = sin (5x+)411兀36)时,5x+-64 五94 TT36363636),不符合x6 (11K36L7兀36),|f (x) |<1,则。的最大值为3,故选：C.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. (5 分)设向量 a= (m, 1), l>= (1, 2),且g?b|=|b|,则 m=.【解答】解：向量口 = (m, 1),即 (1, 2),且向加=口画,则，E共线，.二 m?2- (- 1)?1 = 0,解得m=- 2故答案为：-1

23、.14. (5分)设x, y满足约束条件-式0)1 ,则z= x+y的取值范围是 2. +00)L v>0【解答】解：由x, y满足约束条件作出可行域如图,化目标函数 z= x+y y= - x+z,由图可知，当直线y= - x+z过点A时直线在y轴上的截距最小,由为：，解得a爆z有最小值为2.故答案为：2,+ OO-515. （5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾 客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以， 这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有，0种.【解答】解：这四名顾客购物后，恰

24、好用了其中三种结账方式，当结账方式为现金、支付宝、微信，则他们结账方式有 c； （1+c；c；） =10 （种）， 当结账方式为现金、支付宝、银联卡，则他们结账方式有1+C卜C； = 5 （种），当结账方式为现金、支付宝、银联卡，则他们结账方式有1+C卜或=5 （种），综合得：这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有10+5+5 =20 种，故答案为：20. 2216. （5分）已知双曲线C:弓三二1 （a>0, b>0）的右顶点为A,以A为圆心，半焦 a b距c为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M , N两点.若|MN|=唐c, 则C的离心

25、率为在一【解答】解：设点A (a, 0)到渐近线bx-ay=0的距离为d,则d=产 ，寸b，占2又根据勾股定理可得d2 = c2-(胆)2,即U=c2-空，2 / 2 入 2日)=j .e4-4%4 = 0, ，.e2 = 2,又 e> 1,所以 e=V2.故答案为：陋.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (12分)在4ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,且bcosA哼a = c, D 是BC边上的点.(I )求角B;(H)若 AC = 7, AD =5, DC = 3,求 AB 的长.【解答】解：(I) ; bcosA+亨a=c,

26、 A+B+C=兀，由正弦定理得：sin Bcos A+sinA = sinC,2即：sin Bcos A+遮sinA= sin (A+B),sin Bcos A+sin A= sin Acos B+cos Asin B,2即：_ sin A= sin Acos B, 2. sin A#0,cos B =等，七二十；(H)在 ADC 中，若 AC = 7, AD = 5, DC=3,由余弦定理，得cos/ ADC=Ad=Ji=制所以/ ADC=ZJ,J在 ABD 中，AD = 5, BB=千，Z ADB=,由正弦定理得，品佚葡，所以 AB = MTh/ADB =5X二=色色sinB. 7T 2s

27、i唁18. （12分）如图，在以A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，平面ABEF，平面EFDC , ADF是边长为后的正三角形，直线AD与平面ABEF所成角为二.（I ）求证：EFXAD;（II）若EF=2CD=2,四边形ABEF为平行四边形，求平面 ADF与平面BCE所成 锐二面角的余弦值.【解答】证明：（I ）过D作DOXEF,交EF于点O,连结OA, 由平面 ABEF，平面 EFDC ,得 OD，平面 ABEF ,. ODXOA, 又 DF = DA, OD = OD,. ODF二"DA, /. OF = OA,由直线AD与平面ABEF所成角为子，得/0AD二手，

28、由 DF = DA=«,彳导 OD = OA=OF = 1,又 AF=&,彳导 OFXOA,由 OFLOD, OFXOA, ODAOA = O,得 EF，平面 OAD, AD?平面 OAD, /. EFXAD.解：（H）由（I）得，OF, OA, OD两两垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意 EF = 2, OF=1, .OE = CD=1,四边形ABEF为平行四边形，. AB/EF, AB?平面EFDC,四边形ABEF为平行四边形，AB/EF,. AB?平面 EFDC, EF?平面 EFDC ,AB /平面 EFDC ,平面 ABCDA 平面 EFDC

29、 = CD, .AB/CD, CD/OE,F (1, 0, 0), A (0, 1, 0), D (0, 0, 1), E (T, 0,2, 1, 0),ra= (- 1, 0,1),屈=(-1,1, 0),屁=(0, 0,1)设平面ADF的法向量口= (x, y, z),则伫至FWQ,取 x=1,得£= (1, 1, 0),= r+y=U19. （12分）为评估设备M生产某种零件的性能，从设备 M取100件零件最为样本，测量其直径后，整理得到下表：直 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71径/mm0), C (-1, 0, 1), B (-应=

30、(-1,1, 0),生产零件的流水线上随机抽73合计1 100件 1135 6 19 33 18 44 212第19页（共22页）经计算，样本的平均值 呼65,标准差=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表不相应事件的频率)：P (区-(T < X<k(T ) > 0.6826.P (- 2(r<X< +2(r) > 0.9544 P(u 3 ) <XW+3(r) A 0.9974.评 判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个

31、，则等级 为乙，若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁.试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于 -2(t或直径大于 k2(T的零件认为是次品(i)从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件，计算其中次品个数Y的数学期望E (丫)；(ii)从样本中随意抽取2件零件，计算其中次品个数 Z的数学期望E (Z).【解答】 解：(I) P (厂(T <XW+(t) = P (62.8< X< 67.2) =0.8>0.6826, P(p -2(r<X< +2(T)= P( 60.6c X< 69.4) = 0.94 A 0.9544, P (3

32、(r<X< k3 )=P (58.4< XW71.6) = 0.98> 0.9974, 因为设备M的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙；(4分)(H)易知样本中次品共6件，可估计设备M生产零件的次品率为0.06.(i)由题意可知YB (2,备)，于是E (Y) =2><焉=条；(8分) 1UUI|1UU(ii)由题意可知Z的分布列为clZ01广工1P一纲9%c?C2v 100100第23页(共22页)故 E (Z) =0X+1X*口+2X325220. (12分)已知椭圆C: a-=1 (a>b>0),四点 P1 (0立)，P2 ©

33、1), P3 (1,f), P4 (1,)中恰有三点在椭圆C上.(I )求椭圆C的标准方程;(H )过C的右焦点F作斜率为k的直线11与C交于A,B两点，直线l: x=4 与 x轴交于点E, M为线段EF的中点,过点B作直线BNL于点N.证明:A, M, N 三点共线.【解答】(I)解：由椭圆的对称性,可知椭圆必过P3 (1,称)，P4 (1,),又_2不在椭圆C上,设 A (xi, yi), B(X2y2),则叼+工2=4k2-123+4k?*r/3,即 a2=4, b2= 3.g今号二1I a b由题意，M (一, 0), N (4, y2),_ im= 5由 2y(x-H 3y 1=2k

34、 ( k?T) G Hr) - 3k (x1 1)=0,22k2工i 工厂i+8=k(-y+8)i ±3+4k2椭圆C的标准方程为+白1；(H)证明：F (1, 0),设直线li的方程为y=k (x-1),代入椭圆方程可得:(3+4k2) x2 8k2x+4k2- 12=0. 3+4必得 kAM = kMN ,A, M, N 二点共线.21. (12 分)已知函数 f (x) = ex - a, g (x) = a (x - 1),(常数 a田).(I )当g (x)与f (x)的图象相切时，求a的值;(H)设0 (x) =f (x) - g (xh (2) =0时，即a=, h (

35、x)在(0, +s)上由一个零点；2h (2) <0时，即全时，. h (0) =1, .h (x)在(0, 2)上有一个零点,下面证明 x>0 时，ex>x2,设 m (x) =ex-x2,m' (x) =ex-2x, m (x) =ex-2,易得 m' (x)在(0, ln2)递减，在(ln2, +°°)递增，m' (x) Am' (ln2)=2-2ln2>0.),讨论0 (x)在(0, +s)上零点的个数.【解答】解(I )当g (x)与f (x)的图象相切时，设切点 A (x0, J-);f' (x) =W, .在A处的切线斜率为 小.A处的切线方程为：y- Jo+a=(X x0). EP y = e ° K- X Q U。+匕"F .J,解得a=e.(H) d (x) =) = f (x) g (x2) =ex ax2,令 h (x) = 1 ax2e x,0 (x)在(0, +s)的零点个数与h (x)在(0, +s)上零点的个数相同.(1)当 aw0 时，h (x) >0, h (x)在(0, +s)上无零点；(2)当 a>0 时，h' (x) =ax (x-2) e x,可