第5章离散傅里叶变换应用1

1、第五章第五章 离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换的应用 用用DFT逼近连续时间信号的频谱逼近连续时间信号的频谱5.1用用FFT计算线卷积和相关运算计算线卷积和相关运算5.2倒频谱分析倒频谱分析5.3系统频谱响应函数分析及确定系统频谱响应函数分析及确定5.4通过离散傅立叶变换的工程应用，加深对通过离散傅立叶变换的工程应用，加深对DFT的理解的理解内容提要内容提要v 离散傅里叶变换（离散傅里叶变换（DFTDFT）及其快速算法（）及其快速算法（FFTFFT）的）的重要性不仅在于理论上的严格性，而且还在于工重要性不仅在于理论上的严格性，而且还在于工程上的实用性，凡是可以利用傅里叶变换进行分程上的实用性

2、，凡是可以利用傅里叶变换进行分析、综合和处理的技术问题，都能利用析、综合和处理的技术问题，都能利用FFTFFT有效地有效地解决。本章将详细介绍和分析利用解决。本章将详细介绍和分析利用DFTDFT逼近傅里叶逼近傅里叶变换时存在的问题和解决的方法，如何利用变换时存在的问题和解决的方法，如何利用DFTDFT实实现快速卷积及相关运算，倒频谱的基本概念及应现快速卷积及相关运算，倒频谱的基本概念及应用等内容。用等内容。 第一节第一节 用用DFT逼近连续时间信号的频谱逼近连续时间信号的频谱 v工程上所遇到的信号，包括传感器的输出信号，工程上所遇到的信号，包括传感器的输出信号，大多是连续非周期信号，这种信号无

3、论是在时域大多是连续非周期信号，这种信号无论是在时域或频域都是连续的，其波形和频谱如图或频域都是连续的，其波形和频谱如图5-15-1所示。所示。0 0ax (t)t图5-1 连续非周期信号时域波形和频谱dtetxXtjaa)()(deXtxtjaa)(21)(（5-1） （5-2） v由式（由式（5-15-1）、式（）、式（5-25-2）和图）和图5-15-1，可以看，可以看出出v1 1）两式中的积分区间均为（两式中的积分区间均为（，）；）；v2 2） 和和 都是连续函数。都是连续函数。)(aX)(v显然，上述两点无法满足计算机进行数字显然，上述两点无法满足计算机进行数字信号处理的要求，要应用

4、信号处理的要求，要应用FFTFFT进行分析和处进行分析和处理，必须在时、频域进行有限化和离散化理，必须在时、频域进行有限化和离散化处理。处理。v有限化和离散化处理是在时、频域对被处有限化和离散化处理是在时、频域对被处理的连续信号近似或逼近，是一种近似处理的连续信号近似或逼近，是一种近似处理。理。v问题是：怎么离散和有限化，有没有误差问题是：怎么离散和有限化，有没有误差。主要内容主要内容时域的有限化和离散化时域的有限化和离散化一频域的有限化和离散化频域的有限化和离散化二误差产生原因及解决办法误差产生原因及解决办法三周期信号的数字谱分析周期信号的数字谱分析四谱分析时谱分析时DFT参数的选择参数的选

5、择五频谱细化技术频谱细化技术六一、时域的有限化和离散化一、时域的有限化和离散化 时域的有限化时域的有限化，就是对信号的延续时间沿时间轴，就是对信号的延续时间沿时间轴进行截断，反映在图进行截断，反映在图5-25-2中，是把时间区间由（中，是把时间区间由（，）限定为（）限定为（0 0， ）。）。1T一、时域的有限化和离散化一、时域的有限化和离散化v 时域的离散化时域的离散化，就是对连续信号进行抽样，采样，就是对连续信号进行抽样，采样后，有后，有 则则 ， ，其结果如图，其结果如图5-25-2所示。所示。 (0,1,2,.,1)tnTnNNTT 1s( )( )ax tx 一、时域的有限化和离散化一

6、、时域的有限化和离散化v那么，原连续信号的频谱，可近似表示为那么，原连续信号的频谱，可近似表示为v经有限化，即经有限化，即n n由（由（，）近似为（）近似为（0 0， ） ，上式可表示为上式可表示为v要进行数字谱分析，还要对上式中的要进行数字谱分析，还要对上式中的 进行有限进行有限化和离散化。化和离散化。 1TnnTjaanTxTXe )()(（5-3） 10e )()(NnnTjaanTxTX（5-4） 二、频域的有限化和离散化二、频域的有限化和离散化 v时域上的变化必然引起频域上的变化，由于在时时域上的变化必然引起频域上的变化，由于在时域上对域上对 进行了抽样，则在频域上将引起频谱进行了抽

7、样，则在频域上将引起频谱的周期化（是原连续信号频谱的周期延拓，延拓的周期化（是原连续信号频谱的周期延拓，延拓周期为周期为 ），如图），如图5-35-3所示。所示。图5-3 时域离散化后的频谱)(二、频域的有限化和离散化二、频域的有限化和离散化1, 0s 1k 1, 2 , 1 , 0Nk1s122/2TNTNTN（5-5） 与时域一样，对频域也要进行有限化和离散化处理。与时域一样，对频域也要进行有限化和离散化处理。频域的有限化频域的有限化，是在频域轴上取一个周期的频率区，是在频域轴上取一个周期的频率区间间 。频域的离散化频域的离散化，就是对一个周期内的，就是对一个周期内的频谱进行抽样，频谱进行

8、抽样， 有（有（ ）, ,则则 上式中，上式中， 代表信号截断的时间长度，不是信号周期概念，因代表信号截断的时间长度，不是信号周期概念，因为原信号是非周期信号；为原信号是非周期信号； 也不是基频的概念，而是频谱离散也不是基频的概念，而是频谱离散化后相邻离散点的频率间隔。化后相邻离散点的频率间隔。1T二、频域的有限化和离散化二、频域的有限化和离散化v为了与周期信号离散谱的符号为了与周期信号离散谱的符号 相区别，用相区别，用 来表示非周期信号频谱离散化后的频谱。来表示非周期信号频谱离散化后的频谱。1()aXn)(1kX二、频域的有限化和离散化二、频域的有限化和离散化v由上式可知，由上式可知， 与与

9、 ，仅相差，仅相差一个系数一个系数 。同。同理可得理可得 102101e )(e )()(1NnnTNTjkaNnnTjkaanTxTnTxTkX)()(DFT e )(102kTXnTxTnTxTaNnnkNja（5-6） )(1kXa)(kXT)(IDFT1)(1kXTnTxaa（5-7） 图图5-4 5-4 连续信号频谱的有限化和离散化连续信号频谱的有限化和离散化二、频域的有限化和离散化二、频域的有限化和离散化v 有了式（有了式（5-65-6）和式（）和式（5-75-7），就可将对连续信号的谱分析），就可将对连续信号的谱分析用用 的谱分析来逼近，从而采用的谱分析来逼近，从而采用FFTFF

10、T算法。算法。v 同时需要说明的是，对某一信号分析时，由于关心的是信同时需要说明的是，对某一信号分析时，由于关心的是信号的结构成分，所以只需确定信号中频率的相对量即可，号的结构成分，所以只需确定信号中频率的相对量即可，因此频谱计算可以直接采用因此频谱计算可以直接采用DFTDFT，式（，式（5-65-6）就是对非周期）就是对非周期连续信号进行数字谱分析的基本原理。连续信号进行数字谱分析的基本原理。)(nTxa102101e )(e )()(1NnnTNTjkaNnnTjkaanTxTnTxTkX)()(DFT e )(102kTXnTxTnTxTaNnnkN三、误差产生原因及解决办法三、误差产生

11、原因及解决办法 v对连续非周期信号进行数字谱分析实质上对连续非周期信号进行数字谱分析实质上是用有限长抽样序列的是用有限长抽样序列的DFTDFT（离散谱）来近（离散谱）来近似无限长连续信号的频谱（连续谱）。似无限长连续信号的频谱（连续谱）。那那么这种近似，会有什么问题呢？么这种近似，会有什么问题呢？v其结果必然会产生误差，主要的误差包括：其结果必然会产生误差，主要的误差包括：栅栏效应栅栏效应、混叠效应混叠效应和和频谱泄漏频谱泄漏三种。三种。三、误差产生原因及解决办法三、误差产生原因及解决办法v（一）栅（一）栅(shan(shan) )栏效应栏效应 非周期信号具有连续谱，用非周期信号具有连续谱，用

12、DFTDFT来计算非周期信来计算非周期信号的频谱时，只能观察到有限个（号的频谱时，只能观察到有限个（N N个）离散频谱个）离散频谱值，而频谱间隔中的值就观察不到了，就好像通值，而频谱间隔中的值就观察不到了，就好像通过栅栏观察景物一样，一部分景物被过栅栏观察景物一样，一部分景物被( (栅栏栅栏) )阻挡阻挡了，这种现象称为栅栏效应了，这种现象称为栅栏效应。（看到的是栅栏）。（看到的是栅栏） 将能够感受到的频谱最小间隔值称为频谱分辨率，将能够感受到的频谱最小间隔值称为频谱分辨率，一般用一般用F F表示。表示。 频谱分辨率反映了谱分析算法能将信号中两个靠频谱分辨率反映了谱分析算法能将信号中两个靠得很

13、近的谱保持分开的能力。若时域抽样周期为得很近的谱保持分开的能力。若时域抽样周期为T T，抽样点数为抽样点数为N N，则有，则有 三、误差产生原因及解决办法三、误差产生原因及解决办法vNTNT实际上就是信号在时域上的截断长度实际上就是信号在时域上的截断长度 ，分辨，分辨率率 与与 成反比。栅栏效应是由于频域的离散化成反比。栅栏效应是由于频域的离散化引起的，使得在频谱抽样间隔之间的频谱无法反引起的，使得在频谱抽样间隔之间的频谱无法反映出来，因此是不可避免的。映出来，因此是不可避免的。v为了改善栅栏效应，提高频率分辨率，应当增加为了改善栅栏效应，提高频率分辨率，应当增加信号的有效数据长度信号的有效数

14、据长度 或或N N，也可以采用频谱细化，也可以采用频谱细化技术，使谱线变密，从而看到原来看不到的技术，使谱线变密，从而看到原来看不到的“频频谱景象谱景象”。 1TF1T1TNTTF11211（5-8） 三、误差产生原因及解决办法三、误差产生原因及解决办法v（二）混叠效应（二）混叠效应v时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频率率 不够高时，采样信号相对原信号就会产不够高时，采样信号相对原信号就会产生频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是生频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是由于时域的离散化引起的。由于时域的离散化引起的。克服的办法克服的办法是提

15、高采是提高采样频率，设法满足采样定理，保证样频率，设法满足采样定理，保证 ，其，其中中 是原信号的最高频率。如果时间记录长度是原信号的最高频率。如果时间记录长度为为 ， 则在则在 时间内的采样次数时间内的采样次数N N必须满足必须满足12TfNm（5-9） Tf1smff2smf1T1T1T三、误差产生原因及解决办法三、误差产生原因及解决办法v（三）频谱泄漏三）频谱泄漏v频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断，频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断，把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外的函数值为零值，相当于用一个矩形（窗）信号的函数值为零

16、值，相当于用一个矩形（窗）信号乘相应的信号。乘相应的信号。图图5-5 5-5 用矩形窗截断信号用矩形窗截断信号 三、误差产生原因及解决办法三、误差产生原因及解决办法v由此得，由此得， ，由频域卷积定理有，信，由频域卷积定理有，信号被截断后的频谱为号被截断后的频谱为)()()(tWtxtya11( )( )*( )( )()22aaYXWXWd而原信号而原信号 的频谱是的频谱是( )ax t( )( ) j taXx t edt)(Y)(X显然，显然， 和和 是不同的。是不同的。 三、误差产生原因及解决办法三、误差产生原因及解决办法v例如，设例如，设 ，有，有v画成频谱图，如图画成频谱图，如图5

17、-65-6所示。所示。 ttxa0cos)(t)()()(00X11()sin c ()2TWT000011( )( )*( )( )* ()()2211()()22aYXWWWW 三、误差产生原因及解决办法三、误差产生原因及解决办法 图图5-6 5-6 频谱泄漏现象频谱泄漏现象三、误差产生原因及解决办法三、误差产生原因及解决办法v余弦信号被矩形窗信号截断后，两根冲激谱线变余弦信号被矩形窗信号截断后，两根冲激谱线变成了以成了以 为中心的为中心的sincsinc形状的连续谱，相当于形状的连续谱，相当于频谱从频谱从 处处“泄漏泄漏”到其他频率处，也就是说，到其他频率处，也就是说，原来一个周期内只有

18、一个频率上有非零值，而现原来一个周期内只有一个频率上有非零值，而现在几乎所有频率上都有非零值，这就是频谱泄漏在几乎所有频率上都有非零值，这就是频谱泄漏现象。现象。v复杂的信号，造成复杂的复杂的信号，造成复杂的“泄漏泄漏”，他们互相叠，他们互相叠加，结果使信号难以分辨。加，结果使信号难以分辨。v频谱泄漏是由时域信号的截断引起的，减小频谱频谱泄漏是由时域信号的截断引起的，减小频谱泄漏的方法一般有两种。泄漏的方法一般有两种。v1 1）增加截断长度）增加截断长度: :增加计算长度增加计算长度v2 2）改变窗口形状：用不同窗口对信号做截断处理。）改变窗口形状：用不同窗口对信号做截断处理。要减少截断误差，

19、应该减少主瓣宽度或旁瓣幅值，使实际谱接要减少截断误差，应该减少主瓣宽度或旁瓣幅值，使实际谱接近原频谱。旁瓣幅度减少，则主瓣宽度增加；旁瓣幅值增加，近原频谱。旁瓣幅度减少，则主瓣宽度增加；旁瓣幅值增加，主瓣宽度就缩小。主瓣宽度就缩小。第二种情况造成旁瓣、主瓣分辨不清，引起两个主瓣的误解。第二种情况造成旁瓣、主瓣分辨不清，引起两个主瓣的误解。宁愿增大主瓣宽度，缩小旁瓣幅值，使能量集中于主瓣。这种宁愿增大主瓣宽度，缩小旁瓣幅值，使能量集中于主瓣。这种方法实质是缩小高频分量，适当增大低频分量。方法实质是缩小高频分量，适当增大低频分量。矩形窗口在时域上变化非常激烈，信号波形直上直下，高频分矩形窗口在时域

20、上变化非常激烈，信号波形直上直下，高频分量丰富且衰减缓慢，造成频谱泄露非常严重。考虑改变窗口的量丰富且衰减缓慢，造成频谱泄露非常严重。考虑改变窗口的形状，如三角窗、幂窗、指数窗等。形状，如三角窗、幂窗、指数窗等。但不管采用那种窗口函数，频谱泄露只能减弱，不能消除，抑但不管采用那种窗口函数，频谱泄露只能减弱，不能消除，抑止旁瓣和减少主瓣宽度也不可能同时得到，应该根据具体情况止旁瓣和减少主瓣宽度也不可能同时得到，应该根据具体情况进行综合考虑。进行综合考虑。四、周期信号的数字谱分析四、周期信号的数字谱分析 v对于周期连续信号对于周期连续信号 ，若其采样序列为，若其采样序列为 ，则由则由DFSDFS与

21、与DFTDFT的关系，周期连续信号的关系，周期连续信号 的频谱的频谱可由下式近似计算可由下式近似计算 v注意注意上式中的上式中的 与推导与推导DFSDFS时的处理方法不同。时的处理方法不同。同理可得同理可得 v上式中的上式中的 是是 的主值序列。的主值序列。)(txp)(nx)(txp1, 2 , 1 , 0 )(DFT1)(NknxNkXp（5-10）N11, 2 , 1 , 0)(IDFT )(NnkXNnxp（5-11） )(kX)(kX四、周期信号的数字谱分析四、周期信号的数字谱分析v连续周期信号是非时限信号，若要用连续周期信号是非时限信号，若要用FFTFFT作数字谱作数字谱分析，同样

22、分析，同样在时域进行有限化（截断）和离散化在时域进行有限化（截断）和离散化（抽样）处理（抽样）处理。对于一个带限（频谱为有限区间）。对于一个带限（频谱为有限区间）的周期信号，若抽样频率满足抽样条件，并且作的周期信号，若抽样频率满足抽样条件，并且作整周期截断，不会产生频谱的混叠。整周期截断，不会产生频谱的混叠。v但实现真正意义上的整周期截断还是比较困难的，但实现真正意义上的整周期截断还是比较困难的，如果是非整周期截断，则会产生频谱的泄露，需如果是非整周期截断，则会产生频谱的泄露，需要用加窗的方法减少频谱泄露。对于非频带有限要用加窗的方法减少频谱泄露。对于非频带有限信号，则必然产生混叠误差和频谱泄

23、露，需要通信号，则必然产生混叠误差和频谱泄露，需要通过一定的措施减少误差到允许的范围内。过一定的措施减少误差到允许的范围内。五、谱分析时五、谱分析时DFT参数的选择参数的选择v应用应用DFT(DFT(或或FFT)FFT)进行信号的频谱分析时，要根据进行信号的频谱分析时，要根据给定的要求，确定给定的要求，确定DFTDFT的参数。一般情况下，的参数。一般情况下，已知已知（或先估计）：信号的最高频率（或先估计）：信号的最高频率 、频谱分辨、频谱分辨率率 、抽样时能够达到的最高抽样频率、抽样时能够达到的最高抽样频率 。v需要确定需要确定的参数通常包括：截取的信号长度（数的参数通常包括：截取的信号长度（

24、数据长度）据长度） 、抽样频率、抽样频率 （或采样间隔（或采样间隔 ）、）、点数点数N N及选择什么样的窗口函数等。及选择什么样的窗口函数等。mfF)(smsmf1TsfT五、谱分析时五、谱分析时DFT参数的选择参数的选择v参数选择总原则：参数选择总原则：v尽可能减少混叠、频谱泄漏和栅栏效应等项误差，尽可能减少混叠、频谱泄漏和栅栏效应等项误差，保证信号处理的精度和可靠性。在实际分析中，保证信号处理的精度和可靠性。在实际分析中，根据这个原则，采用以下的步骤来选定相应的根据这个原则，采用以下的步骤来选定相应的DFTDFT参数。参数。五、谱分析时五、谱分析时DFT参数的选择参数的选择v 1 1）估计

25、待分析信号中频率范围和频率上限）估计待分析信号中频率范围和频率上限 。v 2 2）选定抽样频率）选定抽样频率 。v 3 3）根据分析精度，确定数据有效长度）根据分析精度，确定数据有效长度 。v4 4）确定点数）确定点数N N。v5 5）选窗口。）选窗口。v 1 1）若需要，可以先对信号进行滤波，去掉高频分量；）若需要，可以先对信号进行滤波，去掉高频分量；v 2 2）可以估计最高频率，按抽样定理选取抽样频率；）可以估计最高频率，按抽样定理选取抽样频率；v 3 3）频谱分辨率小，）频谱分辨率小，T1T1要加长，但点数要加长，但点数N N不增加，则不增加，则T T增加，采样频率下降，造增加，采样频率

26、下降，造成频谱混迭。成频谱混迭。v 4 4）高分辨率下增加）高分辨率下增加T1T1，T T不变不变，N增加，加大数据量，增加，加大数据量，N不增加，加大不增加，加大T，引起，引起混迭，因此混迭，因此F N fm之间必须满足之间必须满足5-12v 5）常用窗口特性见第七章第三节。）常用窗口特性见第七章第三节。mfsf1TNfF六、频谱细化技术六、频谱细化技术v数字谱分析时，合理选择相关参数，可以得到需数字谱分析时，合理选择相关参数，可以得到需要的频谱分辨率，增采样数量，可以提高分辨率，要的频谱分辨率，增采样数量，可以提高分辨率，但对于不能加大但对于不能加大N N的场合，只能采用频谱细化技术的场合

27、，只能采用频谱细化技术来改善频谱分辨率，获得比较精细的频谱结构。来改善频谱分辨率，获得比较精细的频谱结构。v怎么样细化频谱呢？v简单的频谱细化技术之一简单的频谱细化技术之一v加零法加零法: :即在原有即在原有N N点有限长序列后面，人为地增点有限长序列后面，人为地增加零点，使总的序列长为加零点，使总的序列长为L(LN)L(LN)，然后进行谱分，然后进行谱分析。析。v注意注意: :补零不能提高频率分辨率。补零不能提高频率分辨率。六、频谱细化技术六、频谱细化技术v补零的补零的好处好处： v1 1）可使数据）可使数据N N为为2 2的整数次幂，以便于使用的整数次幂，以便于使用FFTFFT。v2 2）

28、补零起到对）补零起到对DFTDFT的的 做插值的作用，一方面做插值的作用，一方面克服克服“栅栏栅栏”效应，使谱的外观得到平滑；另一效应，使谱的外观得到平滑；另一方面，由于数据截断的过短，频谱泄漏将严重影方面，由于数据截断的过短，频谱泄漏将严重影响对原频谱的辨认，甚至可能在频谱中出现一些响对原频谱的辨认，甚至可能在频谱中出现一些难以确定的峰值，而插值可以在一定程度上克服难以确定的峰值，而插值可以在一定程度上克服这一现象。这一现象。( )X 六、频谱细化技术六、频谱细化技术vZoomFFTZoomFFT法法: :或称选带傅里叶分析法（或称选带傅里叶分析法（Band Band Select Four

29、ier AnalysisSelect Fourier Analysis），以下简称），以下简称ZFFTZFFT法。法。它是在频率分析范围内它是在频率分析范围内任何感兴趣的频率点附近，任何感兴趣的频率点附近，选择一个窄的频带，以高分辨率集中分析这一窄选择一个窄的频带，以高分辨率集中分析这一窄带带，从而获得这一段频谱的精细结构。，从而获得这一段频谱的精细结构。六、频谱细化技术六、频谱细化技术图5-7 ZFFT法的基本步骤ZFFT法的原理见图：法的原理见图：六、频谱细化技术六、频谱细化技术v步骤：步骤：v1 1）对被分析信号）对被分析信号 ，按，按 进行采样，采样进行采样，采样点数为点数为 ，则可获

30、得分辨率为，则可获得分辨率为 的频的频谱谱 ，如图，如图5-7a5-7a、b b所示。所示。v2 2）选择感兴趣的中心频率）选择感兴趣的中心频率 及带宽及带宽B B。v3 3）对频谱）对频谱 作数字频移处理，得频移作数字频移处理，得频移 后的后的信号频谱信号频谱 ，如图，如图5-7c5-7c所示。所示。v4 4）对）对 作数字低通滤波，得带宽为作数字低通滤波，得带宽为 的的窄带频谱窄带频谱 ，如图，如图5-7d5-7d所示。所示。( )x t2smff2mFfNN( )X f0f( )X f0f0()X ff0()X ff2B)(1fY六、频谱细化技术六、频谱细化技术v5 5）对）对 进行傅里

31、叶反变换（进行傅里叶反变换（IDFTIDFT），得窄带），得窄带信号信号 。v6 6）对）对 进行重新采样，设采样频率进行重新采样，设采样频率 ，采样点数为采样点数为 ，得，得 ，如图，如图5-7e5-7e所示。则该所示。则该信号的傅里叶变换结果如图信号的傅里叶变换结果如图5-7f5-7f所示。所示。v7 7）对重新采样序列）对重新采样序列 作作FFTFFT，可获得细化频，可获得细化频谱谱 ，如图，如图5-7g5-7g所示。细化后的频率分辨率所示。细化后的频率分辨率为为 。当。当 时，时， ，表明分辨率提高，表明分辨率提高K K倍。倍。)(1fY2( )y t2( )y tssffKM2( )

32、y n2( )y n2( )Y mssFfMfKMNF KMMN/FF K第二节第二节 用用FFT计算线卷积和相关运算计算线卷积和相关运算 v圆卷积计算速度快，线卷积有明确的物理意义，圆卷积计算速度快，线卷积有明确的物理意义，建立两者之间关系，可以用圆卷积代替线卷积。建立两者之间关系，可以用圆卷积代替线卷积。v讨论两有限长序列的圆卷积与线卷积的等价条件，讨论两有限长序列的圆卷积与线卷积的等价条件，将圆卷积的快速算法应用于线性卷积和相关的快将圆卷积的快速算法应用于线性卷积和相关的快速算法中。速算法中。 主要内容主要内容圆卷积的计算方法圆卷积的计算方法一圆卷积与线卷积的关系圆卷积与线卷积的关系二用

33、用FFT计算有限长序列的线卷积计算有限长序列的线卷积三分段快速卷积分段快速卷积重叠相加法重叠相加法四离散时间序列的相关运算离散时间序列的相关运算五一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v两个长度均为两个长度均为 （如长度不等，将短序列补零至（如长度不等，将短序列补零至等长）的有限长序列等长）的有限长序列 、 ，其圆卷积，其圆卷积 定义为定义为 N)(nx)(nh)(ny110( )( )()( )( )()( )NNpNpNmm py nx m h nm Rnh m xnm Rn1010)()()()()(NmNNmNmnxmhmnhmxny或或 (5-13)(5-14) 计算圆卷积的方法主

34、要有公式法、图解法、矩阵法、计算圆卷积的方法主要有公式法、图解法、矩阵法、时域卷记定理。时域卷记定理。 一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v1 1公式法（解析法）公式法（解析法） 直接利用圆卷积的上述定义式来求解。直接利用圆卷积的上述定义式来求解。例例5-1 5-1 设设 ， ，计算，计算5 5点点长圆卷积长圆卷积 。解：解： 为为4 4点长序列，在其尾部补零使其成为点长序列，在其尾部补零使其成为5 5点长点长序列序列 ，然后进行圆卷积。，然后进行圆卷积。 根据卷积定义式，根据卷积定义式，5 5点长序列的圆卷积为点长序列的圆卷积为5 , 4 , 3 , 2 , 1)(nx9 , 8 ,

35、7 , 6)(nh)(ny)(nh0 , 9 , 8 , 7 , 6)(nh450( )( ) (),(0,1,2,3,4)my nx m h 一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v则 时0n45055555(0)( ) (0) (0) (0)(1) ( 1)(2) ( 2)(3) ( 3)(4) ( 4) (0) (0)(1) (4)(2) (3)(3) (2)(4) (1) 1 6 2 0 3 9 4 8 5 7 100myx m hmxhxhxhxhxhxhxhxhxhxh v则 时1n45055555(1)( ) (1) (0) (1)(1) (0)(2) ( 1)(3) ( 2)

36、(4) ( 3) (0) (1)(1) (0)(2) (4)(3) (3)(4) (2) 1 72 63 04 95 895myx m hmxhxhxhxhxhxhxhxhxhxh 一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v同理同理 ； ； 。 因此，因此， 。 85)2(y70)3(y100)4(y100,70,85,95,100)(一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v2 2图形法图形法v先变量置换，然后保持其中的一个序列不动，将先变量置换，然后保持其中的一个序列不动，将另外一个序列进行反折、圆移位，最后将两个序另外一个序列进行反折、圆移位，最后将两个序列对应的元素相乘、求和。列对应的

37、元素相乘、求和。一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v 由于圆移位的特点，还可以利用由于圆移位的特点，还可以利用同心圆法同心圆法求圆卷积，如图求圆卷积，如图5-85-8所示。将所示。将 、 分别分别分布在两个同心圆上，分布在两个同心圆上，内圆按顺时针方向内圆按顺时针方向刻度刻度 ，外圈按逆时针方向外圈按逆时针方向刻度刻度 ，并，并 使使 与与 对齐。然后将两个圆上的对对齐。然后将两个圆上的对应值相乘并相加，则得到应值相乘并相加，则得到 。再将。再将外圆外圆按顺时针方向旋转一位按顺时针方向旋转一位，对应值相乘并相，对应值相乘并相加，得到加，得到 ，如此下去，直到求，如此下去，直到求出出 。

38、)(nx)(nh)(nx)(nh)(nx)(nh)0(y) 1 (y) 1(N一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法 图图5-8 5-8 用同心圆作图求圆卷积用同心圆作图求圆卷积 一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v3 3矩阵法矩阵法v利用矩阵相乘来计算圆卷积。根据圆卷积的定义，利用矩阵相乘来计算圆卷积。根据圆卷积的定义，式（式（5-145-14）可用矩阵表示为）可用矩阵表示为 即即HXY ) 1() 2 () 1 () 0 () 0 () 3() 2() 1() 3 () 0 () 1 () 2 () 2 () 1() 0 () 1 () 1 () 2() 1() 0 () 1()

39、2 () 1 () 0 (NxxxxhNhNhNhhhhhhNhhhhNhNhhNyyyy（5-15）一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v注意注意: :式（式（5-155-15）表示序列）表示序列 不动，序列不动，序列 对对 进行了求模运算。进行了求模运算。H H为循环矩阵，其元为循环矩阵，其元素排列是有规律的，第一行表示的是原点（素排列是有规律的，第一行表示的是原点（ ）不动时，序列的反折（倒序）；接下来的各行分不动时，序列的反折（倒序）；接下来的各行分别是上一行序列的循环右移。别是上一行序列的循环右移。 )(nx)(nx)(nh()N一、圆卷积的计算方法一、圆卷积的计算方法v4 4时

40、域圆卷积定理法时域圆卷积定理法v利用利用DFTDFT的一个重要性质的一个重要性质时域圆卷积定理来计时域圆卷积定理来计算圆卷积。若算圆卷积。若 ， 则则)()(nxDFTkX)()(nhDFTkH)()(IDFT()(IDFT)(kHkXkY二、二、 圆卷积与线卷积的关系圆卷积与线卷积的关系 v线卷积具有明确的物理意义，直接计算比较复杂。线卷积具有明确的物理意义，直接计算比较复杂。对于两个有限长序列求线卷积能否用圆卷积来代对于两个有限长序列求线卷积能否用圆卷积来代替，即替，即采用采用FFTFFT计算线卷积而使两者结果又完全相计算线卷积而使两者结果又完全相同呢？同呢？v答案是肯定的，但需要满足一个

41、条件：就是将进答案是肯定的，但需要满足一个条件：就是将进行线卷积的两序列的长度（设两序列的点数分别行线卷积的两序列的长度（设两序列的点数分别为为 ）均通过补零的办法，加长）均通过补零的办法，加长至至 ，然后再进行点的圆卷积，则圆，然后再进行点的圆卷积，则圆卷积的结果与线卷积的结果相同。卷积的结果与线卷积的结果相同。21NN 和121NNN二、二、 圆卷积与线卷积的关系圆卷积与线卷积的关系v设设 分别由点通过补零，加长至分别由点通过补零，加长至N N点，其线点，其线卷积为，可表示为卷积为，可表示为 计算结果的长度要多出一些零值，但非零值长度计算结果的长度要多出一些零值，但非零值长度仍为仍为 点。

42、点。 其圆卷积为其圆卷积为 ，可表示为，可表示为)(),(nhnx101)()()()()(Nmmnhmxnhnxny121 NN)(2ny)()()()()()()()()(10102nRmnxmhnRmnhmxnhnxnyNNmpNN二、二、 圆卷积与线卷积的关系圆卷积与线卷积的关系v而而 可得可得 （5-165-16） 式中，下标式中，下标p p表示序列的周期化；表示序列的周期化； 是指对线是指对线卷积卷积 进行周期为进行周期为N N的延拓后得到的周期序的延拓后得到的周期序 列；列； 两序列的圆卷积的结果，是两序列的圆卷积的结果，是的主值序列。的主值序列。 rprNmNmrNmpnyrN

43、nymrNnhmxmrNnhmxmnhmx)()()()( )()()()(11101010)()()(12nRnynyNp)(1nyp)(1ny)()()(1p2nRnynyN二、二、 圆卷积与线卷积的关系圆卷积与线卷积的关系v上述过程说明上述过程说明: :加长至加长至N N点长的点长的 、 两序列的两序列的圆卷积圆卷积 与与 线卷积作周期延拓所得到的序线卷积作周期延拓所得到的序列列 的主值序列相同。在这个条件下（两序列的主值序列相同。在这个条件下（两序列均加长至均加长至N N点），就可以通过计算序列的圆卷积来点），就可以通过计算序列的圆卷积来求解线卷积。从式（求解线卷积。从式（5-165-

44、16）的推导过程还可以看）的推导过程还可以看出，如果两序列不加长至出，如果两序列不加长至N N，其线卷积的周期延拓，其线卷积的周期延拓序列将发生重叠或混叠现象（因为序列将发生重叠或混叠现象（因为 线卷积长线卷积长度为度为 ），相应计算出的圆卷积也将产生），相应计算出的圆卷积也将产生失真，圆卷积的主值序列和线卷积就不相同。失真，圆卷积的主值序列和线卷积就不相同。( )x n( )h n)(2ny)(1ny)(1nyp121 NN)(三、三、 用用FFT计算有限长序列的线卷积计算有限长序列的线卷积v 根据上述圆卷积与线卷积的关系，可以得出用根据上述圆卷积与线卷积的关系，可以得出用FFTFFT求解两

45、求解两序列线卷积的原理框图，如图序列线卷积的原理框图，如图5-9 5-9 所示。其计算的所示。其计算的具体步具体步骤如下骤如下v 1 1）若两序列）若两序列 、 的长度为的长度为N N，将序列加长至，将序列加长至2N2N1 1，并应修正为，并应修正为2 2的幂次（基的幂次（基2 2算法）；算法）；v 2 2）计算）计算 、 ；v 3 3）计算）计算 ；v 4 4）计算）计算 。)(nx)(nh)(FFT)(nxkX)(FFT)(nhkH)()()(kHkXkY)(IFFT)(kYny图图5-9 5-9 用用FFTFFT求线性卷积求线性卷积三、三、 用用FFT计算有限长序列的线卷积计算有限长序列

46、的线卷积v在在MATLABMATLAB中直接实现线卷积计算的函数有中直接实现线卷积计算的函数有 conv, conv, conv2, convnconv2, convn。其中。其中conv2conv2和和 convnconvn分别用于分别用于2 2维、维、n n维的卷积运算。维的卷积运算。convconv则用于向量卷积与多项式乘则用于向量卷积与多项式乘的计算，调用的格式为的计算，调用的格式为c cconvconv（a a，b b）。式中，）。式中，a a、b b表示两个序列，表示两个序列，c ca a* *b b。在。在MATLABMATLAB中，序列中，序列可用向量来表示，若向量可用向量来表

47、示，若向量a a的长度为的长度为nana，向量，向量b b的的长度为长度为nbnb，则向量，则向量c c的长度为的长度为nananbnb1 1。 四、分段快速卷积四、分段快速卷积重叠相加法重叠相加法vFFTFFT作线卷积，需要两次正变换，一次反变换，因作线卷积，需要两次正变换，一次反变换，因此对于短序列，圆卷积与线卷积优势不明显；此对于短序列，圆卷积与线卷积优势不明显；v对于长序列，才能显示优越性，对于一长一短，对于长序列，才能显示优越性，对于一长一短，短序列补零太多，反而导致计算量增加。短序列补零太多，反而导致计算量增加。v分段快速卷积的方法分段快速卷积的方法: :将长序列分成若干小段，每将

48、长序列分成若干小段，每小段分别与短序列作卷积运算，然后将所有的分小段分别与短序列作卷积运算，然后将所有的分段卷积结果相叠加，就是线卷积的最后结果，这段卷积结果相叠加，就是线卷积的最后结果，这种方法又称为重叠相加法。种方法又称为重叠相加法。 四、分段快速卷积四、分段快速卷积重叠相加法重叠相加法v设设 的长度为的长度为M M， 为一长序列，将为一长序列，将 进行分进行分段，每段的长度为段，每段的长度为 ，将每一段分别与，将每一段分别与 进行进行线卷积，然后将结果重叠相加，如图线卷积，然后将结果重叠相加，如图5-105-10所示。所示。 图5-10 叠加相加法的分段以及的重叠情况 )(nx)(nx1

49、N)(nh)(四、分段快速卷积四、分段快速卷积重叠相加法重叠相加法v设将设将 分为分为 第第 段段 表示为表示为 （5-175-17）v则则 （5-185-18）)(nx,),(),(10nxnxk)(nxk其他01) 1()()(11NknkNnxnxk0)()(kknxnx000)()(*)()(*)()()()(四、分段快速卷积四、分段快速卷积重叠相加法重叠相加法v由于由于 长度为长度为 ， 的长度为的长度为M M，故，故 的长度的长度为为 ，即的范围为，即的范围为 （5-195-19）v将式（将式（5-195-19）与式（）与式（5-175-17） 的范围比较，的范围比较， 显显然然

50、比长点，而比长点，而 的范围是的范围是 （5-20）)(nxk1N)(nh)(nyk11MNN2) 1(11111MNkMNkNnkN)(nxk)(nyk)(nxk)(1nyk2)2(2) 1() 1(1111MNkMNNknN四、分段快速卷积四、分段快速卷积重叠重叠相加法相加法v将式（将式（5-195-19）与式（）与式（5-205-20）比较，可知）比较，可知 的后的后部分与的部分与的 前部分，有前部分，有 个点发生重叠。个点发生重叠。这样，对于在此范围的每一个这样，对于在此范围的每一个 值，原序列值，原序列 和和 的卷积的卷积 之值应为之值应为 （5-215-21）v这就是说，式（这就是

51、说，式（5-185-18）中的求和并不是将各段线）中的求和并不是将各段线卷积的结果简单地拼接在一起，在某些点上是需卷积的结果简单地拼接在一起，在某些点上是需要前后两段的结果重叠相加的。要前后两段的结果重叠相加的。)(nyk)(1nyk1M)(nh)(nx)(ny)()()(五、离散时间序列的相关运算五、离散时间序列的相关运算v设序列设序列 ， ，（，（ ），称下述运算），称下述运算 为序列为序列 和和 的线性相关。的线性相关。 v对对 和和 均为实序列的情形，由式（均为实序列的情形，由式（5-225-22）可以得到可以得到 ( )x ny( )nn )(*)()(mymnxnRmxy(5-22

52、) ( )x ny( )n( )x ny( )n)()()()()(nynxmymnxnRmxy（5-23） 自相关函数与卷积的关系。自相关函数与卷积的关系。五、离散时间序列的相关运算五、离散时间序列的相关运算v若序列若序列 和和 是不同的两个序列，则称相关为是不同的两个序列，则称相关为互相关，若互相关，若 ，则称相关为，则称相关为自相关自相关。v注意：注意：相关和卷积是两个不同的概念，它相关和卷积是两个不同的概念，它们的区别是明显的。除了形式上的差异，们的区别是明显的。除了形式上的差异，它们还有一些其他的不同。例如，对相关它们还有一些其他的不同。例如，对相关运算来说，既不具有交换性，也不具有

53、结运算来说，既不具有交换性，也不具有结合性。一般来说，合性。一般来说，( )x ny( )ny( )n( )x n)()(nRnRyxxy)()()(nRnRyzxxyz， v第一章 绪论v基本概念：测试技术 测试过程 信号分析与处理。以信号获取、处理和利用为目的的技术称为测试技术。针对被测对象特点，利用相应传感器，将被测物理量转变成电信号，然后按一定目的对起分析和处理，以探明被测对象内在规律的过程称为测试过程。而信号分析与处理是测试技术的重要研究内容。v信号分析与处理技术分为模拟信号分析和处理以及数字信号分析与处理v信号、信号的表示和描述、信号的分类；信号分析与信号处理、基本信号或者典型的连

54、续时间信号、离散时间信号的描述v系统及系统的分类和系统的特性。v周期性的判别及周期的确定；v系统特性的判别：线性、时变、因果、稳定、记忆等。v连续时间信号与分析v周期信号的分析、非周期信号的频域分析、周期信号的傅立叶变换、采样信号分析。v谱的概念与特点，卷积积分的计算、采样定理与采样频率离散时间系统与特性、离散时间信号与序列、Z正变换和反Z变换、离散信号Z变换 利用Z变换分析信号与系统。卷积和的概念和计算、Z变换的定义域、反Z变换的计算方法等。v离散傅立叶变换及其快速算法：序列的傅立叶变换、离散傅立叶级数、离散傅立叶变换、离散傅立叶变换与快速傅立叶变换、频域采样理论。v离散傅立叶变换计算公式及

55、其性质。v滤波及滤波器的概念、滤波器的分类和设计要求、常用模拟滤波器及其设计方法、数字滤波器的网络结构；vIIR滤波器的设计方法，双线性和冲激响应不变法。第三节第三节 倒频谱分析倒频谱分析倒频谱的定义倒频谱的定义一倒频谱的应用倒频谱的应用对语言信号的分析对语言信号的分析二一、倒频谱的定义一、倒频谱的定义v设时域连续信号设时域连续信号x(tx(t) )的傅里叶变换为的傅里叶变换为 其功率谱为其功率谱为( )( )j tXx t edt2( )( )( )( )PXXX一、倒频谱的定义一、倒频谱的定义v定义定义 （5-255-25） 为连续信号为连续信号x x(t(t) )的的倒频谱倒频谱，它实质

56、是，它实质是“信号对数信号对数功率谱的功率谱功率谱的功率谱”。1( )F log( )aCP2( )Flog( )xCPv实际工程中常用幅值倒频谱，其表达式为实际工程中常用幅值倒频谱，其表达式为 （5-265-26）一、倒频谱的定义一、倒频谱的定义v在实际数字信号处理时，对有限长序列的倒谱计在实际数字信号处理时，对有限长序列的倒谱计算算步骤为步骤为v(1)(1)对时域信号对时域信号 作作DFTDFT： ；v(2)(2)对频域信号对频域信号 取对数：取对数： ；v(3)(3)求倒谱：求倒谱： 。( )x n10( )( )NnkNnX kx n W( )X k( )ln( )X kX k101(

57、 )( )NnklNkx nX k WN对功率谱密度函数取对数的目的是再变换之后，对功率谱密度函数取对数的目的是再变换之后，信号的能量更加集中。信号的能量更加集中。二、倒频谱的应用二、倒频谱的应用对语言信号的分析对语言信号的分析v元音元音“a”a”的对数谱和倒频谱表示在图的对数谱和倒频谱表示在图5-115-11上。从上。从图中可以看到有两个特点：一是有大量的谐波分图中可以看到有两个特点：一是有大量的谐波分量，谐波间距等于语音音调；二是有许多共振峰，量，谐波间距等于语音音调；二是有许多共振峰，即所谓的构形成分，它由声道的形状决定，并确即所谓的构形成分，它由声道的形状决定，并确定了特定的元音声。定

58、了特定的元音声。 二、倒频谱的应用二、倒频谱的应用对语言信号的分析对语言信号的分析图图5-11 5-11 元音元音“a”a”的对数谱和倒频谱分析的对数谱和倒频谱分析二、倒频谱的应用二、倒频谱的应用对语言信号的分析对语言信号的分析v为分析方便，用为分析方便，用 代替代替 ，则可用，则可用 表示原来声道内发出的语音信号的功率谱，用表示原来声道内发出的语音信号的功率谱，用 表示共振嗓音成分的功率谱，两者合成的元音声表示共振嗓音成分的功率谱，两者合成的元音声的功率谱为的功率谱为/(2 )f)( fPv)( fPf)()()(fPfPfPfvxv若以对数形式表达，上式可改写成若以对数形式表达，上式可改写

59、成lg( )lg( )lg( )xfvPfPfP 二、倒频谱的应用二、倒频谱的应用对语言信号的分析对语言信号的分析v因为傅里叶变换的线性特性，所以在倒频谱中仍因为傅里叶变换的线性特性，所以在倒频谱中仍保持相加的关系。保持相加的关系。 v并简写成并简写成Flg( )Flg( )Flg( )xfvPfPfP f)()()(vfxCCC二、倒频谱的应用二、倒频谱的应用对语言信号的分析对语言信号的分析v从图从图5-115-11中还可以看出，有声道产生的构形成分中还可以看出，有声道产生的构形成分与嗓音产生的语音特征，在倒频谱中处于完全不与嗓音产生的语音特征，在倒频谱中处于完全不同的地方，可以明显地加以区

60、别。同的地方，可以明显地加以区别。第四节第四节 系统频率响应函数分析及确定系统频率响应函数分析及确定v系统频率响应函数直接对应被测对象的数学模型，系统频率响应函数直接对应被测对象的数学模型，从而设计出符合性能要求的控制系统；通过频率从而设计出符合性能要求的控制系统；通过频率响应可以得到系统的频率特性，进行系统识别和响应可以得到系统的频率特性，进行系统识别和性能分析，理解系统功能，改善系统特性，满足性能分析，理解系统功能，改善系统特性，满足实际设计要求。实际设计要求。v本节主要介绍系统频率响应函数的基本特性、基本节主要介绍系统频率响应函数的基本特性、基本测定方法，并以传感器的频率特性分析为例，本