高二数学教学设计与反思的要求

1、高二数学教学设计与反思的要求高二数学教学设计与反思的要求课题：选修1-1第二章 第一节 椭圆的定义及方程（第一课时）教学设计.设计者：王艳坤思想方法：运用类比方法研究椭圆图形和方程， 用实验的方法进行教学，用 数形结合方法研究椭圆的性质.教学目标：1 .通过本节课课前及课堂上复习圆的定义和研究方法的类比研究过程，使 学生探索、理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程求法 .2 .能够完成由实验到数学的抽象过程，复习和巩固求曲线轨迹方程的基本 方法.3 .能够理解数形结合的基本思想，理解椭圆轨迹和方程之间的关系，进一 步提高学生解析能力.教学重点：1 .椭圆的定义和椭圆的标准方程的求法.2 .数形结合

2、的基本思想，理解解析法，椭圆曲线和方程之间的相互关系.教学难点：1 .数形结合的基本思想2 .建立适当的坐标系，求椭圆标准方程.教学关键：创设直观情境，运用好类比思想以及数学结合思想教学方式：体验式探索.教学手段：实验，多媒体演示.学生特点：本节课的教学对象为普通高中文科学生，数学基础很弱教学过程1 .创设情境实验：把一个小重物系在绳子的一端，然后握住绳子的另一端，把 重物旋转起来，观察重物运行到轨迹.学生完成：讨论结果、进行总结.在平面内，动点所形成到轨迹是一个圆在空间内，动点所形成的轨迹是一个球2 .复习数学思想圆是平面几何图形，在欧式几何中已有系统的研究， 人们在已知定点（即圆 心），定

3、长（即半径）条件下，研究了周长和半径的关系由此得到了圆周率，还 有面积、体积和其它的许多性质。想一想，在圆的轨迹形成的过程中，满足什么 样的条件才能形成圆？学生回答：到圆心距离等于半径.复习总结圆的定义：到定点的距离等于定长的点的轨迹 .老师在黑板上按照条件做出圆的轨迹来， 接下来，让同学把刚才的实验转移 到练习本上，在练习本地画出由条件“到定点的距离等与定长的点” 限制下的图 形一一圆，让学生慢慢地体会概念的由来，对概念有更深刻印象 .怎样更加精确研究这个动点呢？因为需要精确的原因，就需要数据的支持， 怎么样用数来表示图形呢？这个转化可是数学史上一个非常重要的思想一一数 学结合思想.在直角坐

4、标系下，把动点P引入二元数x, y来限定表述P （x, y）,显然我们可以用x, y二元数来分析这个图形上的每一个点.这样我们就需要建立直角坐标系，建立直角坐标系后，任意的动点P就有了坐标（x, y）,动 点不论在任何位置都可以用点的坐标表示出来.从上面一系列的分 析来看，在直角坐标系下，图形要经过点的坐标转化变成用两个变 数x, y表示的式子（即方程）；反过来方程的数量关系，完全可以 反映图形的一切性质上，这就是数与形的结合，又称为数形结合的 数学思想.把圆的定义满足的几何条件OP转换成代数方程，得Jx2 y2 r ,化简得圆心在原点的圆的标准方程：22 r2o:22代数转化.xyr122代

5、数转化.xyr圆心在原点的圆 形数转化|OP圆心在原点的圆 数形转化 OP当把圆图形不变圆心平移至 C （a, b）时，我们可以用两种方法来求圆的方 程，一种是：把几何条件|PC直译成代数方程式x a）2 （y b）2 r ,化简方程 得（）2+（）2=2；另一种方法是：由方程22 r2按向量（a, b）进行平移，2 2 r 2数形转化2 2 r 2平移转化同样可以得到圆的方程（）2+ （） 2= r2.（一题多解是转化的载体）()2+ () 2 = r2()2+ () 2 = r2卜面我们要就利用数形结合的数学思想来研究其它曲线的性质，这一节课我们类比圆的研究方法来研究椭圆的方程和性质.（数

6、学思想的教学，由实验抽象出数学形式，定性研究）3 .新课类比学习椭圆定义在学习圆锥曲线的时候，我们首先学习的是椭圆的方程和几何性质， 那么我 们类比圆的定义和性质来研究，首先来做一个实验 .实验过程由老师与学生的共同参与活动： 在上面实验研究的基础上，启发学 生开放思想，大胆把条件进行变换，如果把一个定点分离成两个定点， 会变成怎 样一种情形？问题就变成“到这两个定点的距离和等与定长的点的轨迹”是什 么？让学生自己也动手来做一做实验， 找一找动点的位置，说一说动点的轨迹是 什么图形.经过探索这个点运动的轨迹，得到初步的印象，有了一定的实验结果， 再由老师和学生共同梳理不同的实验结果下的结论，

7、然后老师再把实验转移到黑 板上，和同学们共同完成对动点轨迹的探寻。 根据条件由两个定点和定长的线段 共同限制下画出椭圆的图形，再由这些实验带来的信息，共同协 商确定椭圆的定义.板演画图过程：首先出示一条确定长度的短绳，充分展示是短 纯的长度是确定的，也称之为定长.在黑板上取两个定点，注意到定点的取法有三种，我们分三种情况进行讨论，第一种情况，纯长大于两个定点 之间的距离；第二种情况，纯长等于两个定点之间的距离；第三种情况，纯长小 于两个定点之间的距离.第一种情况，两个定点的距离小于绳子的长度，把绳的 两个端点分别放在两个定点上，拉直在绳子改变形状，绳子的长度不会该变，使 点在移动的过程中始终保

8、持到两个定点的距离和不变，下p面我们在黑板所在的平面内找动点的位置以及运动形成的Fi轨迹.哪个同学对这个问题很感兴趣？愿意帮助老师找到 满足条件的点呢？好！让学生们进行探讨，然后请愿意表 现的同学到黑板前面来，找出这些动点，用这些动点连接成一条曲线，观察这个 图形，我们创造的这个图形为椭圆.接下来第二种情况，再取纯长等于两个定点 之间的距离，找几个学生到黑板上画这样的动点，使动点到两个定点的距离和等 于纯长，经过试验、寻点、思考后学生认为这些动点构成了一条以两个定点为端 点的一条线段，即动点的轨迹是以定点为线段端点的一条线段 .第三种情况，纯 长小于两个定点之间的距离时，找不到满足条件的点，画

9、不出图形 .在这三种情 形中，有两种情形动点的轨迹是图形，其中一个是椭圆，另一个是线段，第三种 情况不表示任何图形.在这些感性的认识基础上，我们进行归纳、总结，得出准 确可靠的结论，给出椭圆的严密定义：平面内与两定点Fi, F2的距离的和等于常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹（或 集合）叫做椭圆。Fi, F2叫做椭圆的焦点；|FiF叫做椭圆的焦距.接下来我们在焦点不变的情况下，把定长变大或变小，再由 同学亲自动手画一些其他的椭圆，以加深对椭圆的感性认识。学 生实际操作的过程热情很高，气氛非常好，听讲时，精力非常集中，紧紧盯着黑板，这说明教学效果很好.有了画图形的实际操作经验，再让学 生认真回味

10、刚才画图的过程，从感性上体会椭圆、从理性上领悟椭圆的定义以及 定长的变化对图形形状的影响，学生会从我们实验的条件变更当中得出新结论， 总结出：当定点距离不变时，定长越长时，图形越接近于圆形，椭圆越鼓；定长 越短时，图形越接近于一条直线，椭圆越扁平。条件再度变更：在定长不变，改 变两个焦点的位置的情况下再来画一组椭圆，体会条件变化对图 形的影响.黑板上这样一个几何图形，是一条曲线围成的封闭图形，是 我们不太熟悉的椭圆，在我们生活当中是比较常见的，当我们拿手电筒去照射垂直于光线的一个平面的时候，我们发现光斑所形成的是一个圆， 当我们把平面变动或者是把手电筒移动使光线与平面呈一定角度时，所形成到光斑

11、就是一个椭圆；在自然界一些天体的运行轨迹也是椭圆。 由此可见，对椭圆的 研究是源于人们对自然界的探索.4 .运用数形结合求椭圆的方程接下来我们要精确地研究椭圆的性质，再引导学生来思考怎样来研究这样一 个新的图形的性质：我们如果要精确地得到它的各种性质，当然是离不开数的精 确描述.联想大体的运动轨迹是椭圆，再联想到科学家的对天体研究以及轨道预 测和精确定位，这些都离不开一种精确的计算方法，这就是对“数”的计算，而 我们得到的椭圆图形，图形和数是否有联系呢？当然有， 类比圆的研究方法，建 立直角坐标系，用数与形结合思想的最好范例一一解析法来研究几何图形，也就是把动点用数来表示，满足的几何条件转化为

12、方程表示 .好，这样我们就把数和 形又一次地联系起来.通过上面到方法我们知道，首先要建立直角坐标系，在建 立直角坐标系时，我们按照使数据尽量小，使方程尽量简单的原则，把两个坐标 轴分别建立在椭圆到对称轴上.设两个焦点之间距离是 2c,定长为2a,然后， 设椭圆上任意一点P的坐标(x, y),把P (x, v)到两个定点F1(, 0), F2 (c, 0)的距离和等于定长2a的几何条件转化成代数方程，使图形与方程之间建立联 系，我们就可以从方程的形式上，来研究得到椭圆的一些相应的性质.推导椭圆标准方程推导方程：(以下方程推导过程由学生完成)建系：以F1和F2所在直线为x轴，线段F1 F2的中点为

13、原点建立直角坐 标系；设点：设M (x, v)是椭圆上任意一点，设 F1F2 =2c,则F1 (, 0), F2 (c, 0)；列式：由 PF1 PF2 2a得x c2 y2 < x c 2 y2 2a；化简：移项平方后得x c2y2x c2y24a24aVx c2y2,整理得，a2 cx a/ x c2 y2 ,两边平方后整理得，a2 c2 x2 a2y2 a2 a2 c2由椭圆的定义知，2a>2c,即a>c, a2> c2令a2 c2 b2,其中b>0,代入上式，2 22 22. 2彳rb x a y a b ,22两边同时除以a2b2 ,得：与 与1 (a&

14、gt;b>0)a2 b222从上述推导过程可知，这个椭圆是所有以方程 与 当1 (a>b>0)的解a2 b2为坐标的点组成的.这就是说，如果 M (x0, y0)是椭圆上的点，那么(x0,22y0) 一定是这个方程的解；反过来，如果(x0, y0)是方程 与-yy 1 (a>b a b>0)的解，那么以它为坐标的点一定在这个椭圆上，这样，我们就说方程22。、1 (a> b>0)是这个椭圆的方程.a b这个方程叫做椭圆的标准方程，它的坐标轴为对称轴，它表示的椭圆的焦点在 x 轴上，焦点是 F1 (-c, 0)、F2 (c, 0),其中 b2= a2 -c

15、2.根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两 点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简 .即把这种关系 翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程了 .5.练习：动点P ()到两定点A ( 3, 0)和B (3, 0)的距离的比等于2即四 2 ,求动点P的轨迹方程？|PB|解：PA 、：(x 3)2 y2,|PB| v'(x 3)2 y2,2|PA|/曰(x 3)2 y22222代入七 2 得= 2 (x 3) y 4(x 3) 4y ,|PB|,(x 3)2 y2化简彳# (x 5) 2 2 16,轨迹是以(5, 0)为圆心，4为半径的圆.6.小结:这节课我们利用了重要的数学思想方法一一数学结合，研究了椭圆的定义及 其标准方程，主要学习了这几个方面的问题：（ 1）椭圆的定义；（ 2）椭圆的标准方程推导；（ 3）通过这一节