2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及答案(word)

1、2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学I试题 2018.3一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡 相应位置上. 1 .已知集合 A 1,。，B 3,0,1,则集合 AI B .2 .已知复数z满足zi 3 4i （i为虚数单位），则z .223 .双曲线亍1的渐近线方程为4 .某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n人，其中高二年级被抽取的人数为21,则n .5 .将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1, 2, 3, 4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概

2、率为 .6 .如图是一个算法的流程图，则输出 S的值是.28 / 213 cm7 .若正四棱锥的底面边长为2cm,侧面积为8cm2,则它的体积为8 .设Sn是等差数列%的前n项和，若a2 a4 2, S2 S4 1 ,则跟 .9 .已知a 0, b 0,且2 3质，则ab的最小值是 a b10 .设三角形ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知也A 3S_b，则 tan B bcos A ._xa e ,x 111 .已知函数f(x) 4(e是自然对数的底).若函数y f(x)的最小值是4,x ,x 1 x则实数a的取值范围为.一r 口、r uuu 一 uur2 一.12 .

3、在ABC中，点P是边AB的中点，已知CP 褥，CA 4, acb 一,则 3uuu uurCP CA .13 .已知直线l ： x y 2 0与x轴交于点A,点P在直线l上，圆C： (x 2)2 y2 2上有且仅有一个点B满足AB BP,则点P的横坐标的取值集合为.14 .若二次函数f(x) ax2 bx c(a 0)在区间1,2上有两个不同的零点，则 可 的取值 a范围为.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域 内作答，解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤.r _r15 .已知向母 a (72sin ,1), b (1,sin().4(1)若角 的终边过点(3,4),

4、求a b的值；(2)若a/b,求锐角的大小.N分别是棱16 .如图，正三棱柱ABC A1B1C1的高为庭,其底面边长为2.已知点M , AG , AC的中点，点D是棱CCi上靠近C的三等分点.求证：（1） BM/平面 A1BN;(2) AD 平面 AiBN .17 .已知椭圆C： x2 y2 1(a b 0)经过点(1)，(1,四，点A是椭圆的下顶点. a b22(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A且互相垂直的两直线I- 12与直线y x分别相交于E, F两点，已知OE OF ,求直线11的斜率.18 .如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径 AB为6,。是圆心，且OC AB.在OC上有一座观

5、赏亭Q,其中AQC.计划在BC上再建一座观赏亭P,记3POB (0 一).2(1)当时，求opq的大小；(2)当opq越大，游客在观赏亭p处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭p处的观 赏效果最佳时，角的正弦值.19 .已知函数f(x) X3 ax2 bx c, g(x) In x.1 ）若 a 0b 2,且f(x) g(x)恒成立，求实数c的取值范围;(2)若b 3,且函数y f(x)在区间(1,1)上是单调递减函数求实数 a 的值；当c 2时，求函数h(x) f(x),f(x) g(xMq值域.g(x), f(x) g(x)20 .已知Sn是数列an的前n项和，ai 3,且2& a。1 3 (n

6、 N*).1 )求数列an 的通项公式；(2)对于正整数i, j, k(i j k),已知a 6a-ak成等差数列，求正整数，的值；(3)设数列他前n项和是工，且满足：对任意的正整数n,都有等式ah a2bni a3bn2 anbi 3n1 3n 3成立.求满足等式Tn的所有正整数n.an 32017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学n (附加题)21.【选做题】在A, B, C, D四小题中只能选做两题，每小题 10分，共计20分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选彳4-1 :几何证明选讲如图，AB是圆。的直径，D为圆。上一点，过

7、点D作圆。的切线交AB的延长线于 点C ,且满足DA DC .(1 )求证：AB 2BC ；(2)若AB 2,求线段CD的长.B.选彳4-2 :矩阵与变换已知矩阵A 4 0 , B 1 2 ,列向量X0 10 5(1 )求矩阵AB ；(2)若 B 1A1X5 ,求 a , b 的值.1C.选彳4- 4-4 :坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点P（2右/，圆心为直线 sin（ -） 73与极轴的交 点，求圆C的极坐标方程.D.选彳4-5 :不等式选讲已知x , y都是正数，且xy 1 ,求证：（1 x y2）（1 y x2） 9.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请

8、在答题卡指定区域 内作 答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 .如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD ,PD AD 2AB,点Q为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；（2）已知二面角Q BD P的正弦值为2,求fQ的值. 3 PA23 .在含有n个元素的集合An 1,2, ,n中，若这n个元素的一个排列（为，a2, an）满足ai i（i 1,2, ,n）,则称这个排列为集合儿的一个错位排列（例如：对于集合A3 1,2,3,排列（2,3,1）是A的一个错位排列；排列（1,3,2）不是A3

9、的一个错位排列）.记集合An 的所有错位排列的个数为Dn .( 1直接写出D1 ， D2 ， D3 ， D4 的值；(2)当n 3时，试用Dn2, Dni表示Dn,并说明理由;(3)试用数学归纳法证明：D2n(n N*)为奇数.一、填空题2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学I试题参考答案1.12.53.6.257.28.311.ae 412.613.二、解答题15.解:(1)由题意sin4一 ,cos535，所以ab 2sin sin(a一）、.2sinsincos cos sin 4.2 4.23. 23、，2552522-3y 二 x 4.635.321689.2

10、.610.13-,514.0,1)3(2)因为 a/b,所以 72sin sin(a -) 1 即 T2sin4(sincos cos sin) 1 , 所以 44- 2sin sin cos 1 ,贝U sin cos 1 sin2cos2 ,对锐角 有cos 0,所以tan 1,16.证明：（1）连结MN ,正三棱柱ABCABC 中，AA1/CC1 且 AA1 CC1,贝fj四边形 AACiC是平行四边形，因为点M、N分别是棱AG, AC的中点，所以MN/AA1且MN AA1,又正三棱柱 ABC AB1c1中AA1/BB1且 AA, BB1 ,所以 MN/BB1且 MN BB1, 所以四边

11、形MNBBi是平行四边形，所以 B1M /BN ,又B,M 平面 ABN , BN 平面 ABN ,所以B1M /平面ABN ;小(2)正三棱柱 ABC AB1C1中，AA 平面ABC ,BN 平面ABC ,所以BN AA1 ,正 ABC中，N是AB的中点，所以BN AC ,又AA1、AC 平面 AAC1C , AA1 I AC A,所以BN 平面AAC1C ,又AD 平面AAC1c ,所以AD BN ,由题意，AA而，AC 2, AN 1, CD痣，所以91处J3 , 3AC CD 2又 AANACD 所以 A1AN 与 ACD 相似，贝U AA1NCAD ,2所以 ANA1CADANA1

12、AA1N -,则 AD A1N ,又 BN I AN N , BN , AN 平面 A,BN ,所以AD平面ABN .312217.解：(1)由题意得a 4b1322a 4b2所以椭圆C的标准方程为:y2 1;(2)由题意知A(0, 1),直线11,12的斜率存在且不为零,设直线11 : y 1x 1,与直线y x联立方程有y k1x 1得e（L,L）,y xk11k11设直线 12： y-x 1,同理 f（,）,k111k1k1因为OEOF,所以1六11七1, k1I -k k1 ；。无实数解；k1 111k1k1工-,匕12, k122k1 1 0 ,解得匕1 V2 ,k1111k1，k1

13、综上可得，直线11的斜率为1近.18.解：(1)设 OPQ,由题，Rt OAQ 中，OA 3, AQOAQC所以 OQ 73,在 OPQ 中，OP 3, POQ -2236由正弦定理得OQOPsin OPQ sin OQP即二一 sin ./ sin(,所以.3 sin sin(5si喘），贝U .3sin sin - cos65cossin61一 cos2An2因为为锐角，所以所以tan设 OPQ ,在 OPQ 中OP 3,POQ -22 3由正弦定理得OQOPsinOPQ sin OQPsin()所以3sinsin(一)2)cos()coscossin sin ,从而（、3sin)sinc

14、oscos,其中、.3sin0,所以tancoscos,3 sinf( 3sin(.3 sin )2（0，7）；令 f()存在唯一 （0，9使得 sin(0,0)时 f (0,f（）单调增,(0，W()0）单调减,所以当0时,f（）最大，即tanOPQ最大,又OPQ为锐角,从而 OPQ最大,此时sin三答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为 史.319.解：(1)函数 y g(x)的定义域为(0,).当 a 0, b 2, f(x) x3 2x c, f (x) g(x)怛成立， x3 2x c lnx 恒成立，即 c In x x3 2x.32310 2c 1 2x 3x (1 x)(1 3x

15、3x )令 (x) In x x 2x ,贝fj (x) - 3x 2 ,xxx令(x) 0,得x 1,(x)在(0,1上单调递增,令(x) 0,得x 1,(x)在1,)上单调递减，二当 x 1 时，(x)max (1) 1.二 c 1 .(2)当 b 3 时，f (x) x3 ax2 3x c, f (x) 3x2 2ax 3.由题意，f(x) 3x2 2ax 3 0对x ( 1,1)恒成立，f3 2a 3 0 ,a 0,即实数a的值为0.f( 1) 3 2a 3 0函数y h(x)的定义域为(0,).当 a 0, b 3, c 2 时，f (x) x3 3x 2.f(x) 3x2 3 ,令

16、 f (x) 3x2 3 0 ,得 x 1 .x(0,1)1(1,)f(x)-0+f(x)极小值0Z当 x (0,1)时，f(x) 0,当 x 1 时，f(x) 0,当 x (1,)时，f(x) 0.)时，g(x) 0.对于 g(x) lnx,当 x (0,1)时，g(x) 0,当 x 1 时，g(x) 0,当 x (1,)时，h(x) 0.二当 x (0,1)时，h(x) f (x) 0,当 x 1 时，h(x) 0,当 x (1,故函数yh(x)的值域为0,).20.解：(1)由 2Sn an 1 3(n N*)得 23 * 3,两式作差得 2an 1 an 2 an 1 ,即*、an 2

17、 3an 1 (n N ).4 3, a2 2sl 3 9,所以 an 1 3a0(n N*) , an0,则=3(n N*),所以数列是首项为3公比为3的等比数歹U,所以 an 3n (n N );(2)由题意 ajak 2 6a ,即 3j 3k 2 6 3i ,所以3ji 3ki 12,其中j i1 , k i 2 ,所以3ji33 ,3k i 99,123j i 3k i 12,所以 j i 1 , k i 2 ,1 ;(3)由 ah a?bn 1 a3bn 2 anbi 3n 1 3n 3得，ah 1a?bna3bn 1anb2 an 1bl3n 2 3(n 1) 3,ah 13(a

18、hazbn 1an 1b2 anb1)3n 2 3(n 1) 3,a1bn 1 3(3n 1 3n 3)3n 2 3(n 1) 3 ,所以 3bn 1 3n 2 3(n 1) 3 3(3n 1 3n 3),即 3bn 1 6n 3,所以 bn1 2n 1 (n N*),又因为 aA 31 1 3 1 3 3 得61 所以 bn 2n 1 (n N*),*N n /V 2 -n n - 3 Tn一an*N n/V2n n12n21n n Q 5 3 1n T 而1一313a3时3n当 4-9 2 2 T - a 时2n当1 - 3 _h-a1 时1n当下面证明：对任意正整数 n 3都有Z 1,

19、an 3 n 1nn 1n 1Tn-1Tn(n 1)2 1n2 11(n 1)2 3n2)1( 2n22n 1),an 1an3333当 n 3 时，2n2 2n 1 (1 n2) n(2 n) 0 ,即 T11 Tn 0, an 1 an所以当n 3时，上递减，所以对任意正整数n 3都有7T31； anan a3 3综上可得，满足等式 上1的正整数n的值为1和3. an 32017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学n (附加题)参考答案21.【选做题】A.选彳4-1 :几何证明选讲证明：(1)连接OD, BD.因为AB是圆O的直径，所以 ADB 90。，AB 2OB.因为

20、CD是圆O的切线，所以 CDO 90o, 又因为DA DC ,所以 A C , 于是 ADB CDO ,得至U AB CO , 所以AO BC ,从而AB 2BC .B.选彳4-2 :矩阵与变换(2)解：由AB 2及AB 2BC得到CB 1 , CA 3.由切割线定理，CD2 CB CA 1 3 3 , 所以CD 、3.4 0 12解：(1) AB0 10 54 8 0 5；(2)由 B 1A 1X 5 ,解得 X1AB 548 528又因为 x a,所以 a 28, b 5.105 15bC.选彳4-4 :坐标系与参数方程解：在 sin(-)痣中，令 0,得 2,所以圆C的圆心的极坐标为(2

21、,0).因为圆 C 的半径 PC J(2/2)2 22 2 2& 2 cos- 2,于是圆C过极点，所以圆的极坐标方程为4cosD.选彳4-5 :不等式选讲证明：因为x, y都是正数，所以 1 x y2 33/Xy2- 0, 1 y x2 31yx 0,(1 x y2)(1 y x2) 9xy ,又因为 xy 1,所以(1 x y2)(1 y x2) 9.【必做题】22.解：(1)以D为原点，DA, DC, DP为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系;设 AB t ,贝U D(0,0,0) , A(2t,0,0) , B(2t,t,0) , C(0,t,0) , P(0,0,2 t) , Q(t

22、,0, t); uuiruuiruuir所以 CQ (t, t,t), DB (2t,t,0) , DP (0,0, 2t),UULT LT设平面PBD的法向量；(x,y,z),则DBT10,DP n 0即 2tx ty2tz 00,解得2x y 0,所以平面PBD的一个法向量nr (1 2,0), z 0ur uuir cos n1, CQur uuurn1 CQuT uuurn1 CQ则cq与平面曲所成角的正弦值为萼.lt(2)由(1)知平面PBD的一个法向量为n1uuuruuir uuirDQ DP PQ (0,0,2 t) (2t,0, 2t) (2t ,0,21(1(1, 2,0),设置PAuuir),DB (2t,t,0)t UULTuur(01),则 PQPA,设平面QBD的法向量uuur uuuuDQ