2002年高考.全国卷.理科数学试题及答案

1、2002年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）及答案本试卷分第I卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页.第II卷3至9页.共150分.考试时间120分钟.（1）圆（x 1）2 y21的圆心到直线yx的距离是 3(A)(B)(C) 1(D) <310(A) i(B) i(C)1(D) 1(3)不等式(1 x)(1 |

2、x|)0的解集是(A) x|0 x 1(B) x|x 0且 x 1(C) x| 1 x 1(D) x| x 1且 x 1(4)在(0,2 )内，使 sinxcosx成立的x的取值范围是5 、（A）0 （ 丁）（B）（7, ）5 、(C) (-,-)(D)(-,)4 44(5)设集合M(A) M Nk1、k1一x | x, kZ, N x | x ,kZ,则2442(B) M N(C) M N (D) M N（6）点P（1,0）到曲线t2 -一公皿3一"曰A 一（其中参数t R）上的点的最短距离为2t.1. 3 Q(2)复数(一±±i)3的值是(A) 0(B) 1(

3、C) 22(D) 2(7) 一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是(A) 3(B) -(C) 3(D)-4555(8)正六棱柱ABCDEF AiBCiDiEiE的底面边长为1,侧棱长为22 ,则这个棱柱侧 面对角线E1D与BC1所成的角是(A) 90(B) 60(C) 45(D) 30(9)函数y x2 bx c ( 0,)是单调函数的充要条件是(A) 8 种 (B) 12 种(C) 16 种(D) 20 种(12)据2002年3月5日九届人大五次会议政府工作报告：“2001年国内生产总值达到 95933亿元，比上年增长 7.3%”，

4、如果“十？五”期间(2001年2005年)每年的国内生产 总值都按此年增长率增长，那么到“十？五”末我国国内年生产总值约为(A) 115000 亿元(B) 120000 亿元(C) 127000 亿元(D)135000 亿元第II卷(非选择题共90分)、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线.(13)函数y ax在0,1上的最大值与最小值这和为3,则a=(14)椭圆5x2 ky2 5的一个焦点是(0,2),那么k 273(15) (x 1)(x 2)展开式中x3的系数是. x2一111(16)已知 f(x) 那么 f(1) f(2) f(一) f (3) f (-)

5、 f (4)f(一) =1 x234三、解答题:本大题共 6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)已知 sin22 sin 2 cos cos2 1,(。,万)，求 sin 、tg 的值.(18)如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直.点EM在AC上移动，点N在BF上移动，若CM BN(0 a 隹)(1)求MN的长；(2) a为何值时，MN的长最小；(3)当MN的长最小时，求面 MNA与面MNB所成二面角 大小*(19)设点P到点(1,0)、(1,0)距离之差为2m,到x、 y轴的距离之比为2,求m的取值范围.(20)某城市2

6、001年末汽车保有量为 30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？(21)设 a 为实数，函数 f(x) X2 | x a | 1 , x R(1)讨论f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值.2(22)仅数列an满足：an 1 annan 1, n 1,2,3,(I)当q 2时，求a2,a3,a4并由此猜测an的一个通项公式；(II)当a13时，证明对所的n 1,有 an n 2,.、11111(11) 1 a11a21a31 an 2参考答案一、选择题题号123

7、456789101112答案ACDCBBCBABBC二、填空题(13) 2(14) 1(15) 1008(16) 72三、解答题(17)解：由 sin 2 2 sin 2 cos cos2 1,得22-224sin cos 2sin cos 2cos 0 2 cos2 (2sin2 sin 1) 02 cos2 (2sin 1)(sin 1) 0(0,-)2sin 1 0, cos2012sin 1 0,即 sin 2(18)解(I )作 MP / AB 交 BC 于点 P ,NQ / AB交BE于点Q ,连结PQ ,依题意可得MP / NQ ,且MP NQ ,即MNQP是平行四边形.MN P

8、Q由已知 CM BN a, CB AB BE 1 AC BF J2, CP BQ -a2MN PQ . (1 CP)2 BQ2(II )由(I)所以，当a 二时，MN2八，2即当M、N分别为AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为 三(III )取MN的中点G ,连结AG、BG , AM AN,BM BN, G 为 MN 的中点AG MN , BG MN ,即 AGB即为二面角的平面角又AG6BG ，所以,4由余弦定理有cos二 J 6 26 2()()14426644故所求二面角为1 arccos-3(19)解：设点P的坐标为(x, y),依题设得3 2,即y 2x, x 0|x|因此，点

9、P(x, y)、M ( 1,0)、N(1,0)三点不共线，得| PM | | PN | | MN | 2 |PM | | PN | 2| m| 00 | m| 1因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为 2 | m|的双曲线上，故2 x2 m2- 11 m2x代入三m2 2 x2 m (1 m2 )，因 1 m201 5m所以1 5m2 0 - 5解得0 |m| 5即m的取值范围为(15,0) (0,5) 55(20)解：设2001年末汽车保有量为 b1万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2万辆，b3万辆，每年新增汽车 x万辆，则b1 30, b2b1 0.94 x对于n 1,有bn 1bn 0.

10、94 x_ 2=bn 1 0.94(1 0.94)x所以bn 1b1 0.94n x(1 0.94 0.9420.94n)b1 0.94n0.06(30 ) 0.94n0.060.06x 一当 300,即 x 1.8时0.06bn 1bnb1 30 ,x 一当30 0,即x 1.8时0.06x数列bn逐项增加，可以任意靠近 x0.060.06lim bn lim (30 -) 0.94n 1n n 0.060.06因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bn 60 ( n 1,2,3,)x 一 一 一则60,即x 3.6万辆0.06综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.(21)解：(I)当

11、a0时，函数 f( x) ( x)2 | x| 1f(x)此时，f(x)为偶函数当 a 0时，f (a) a2 1, f ( a)2_a 2|a| 1,f(a) f( a)，f(a) f( a)此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数01 0(II)当 x a时，f(x) x x a 1 (x -).1 当a -,则函数f (x)在(，a上单调递减，从而函数3 a4f(x)在(,a上的最小值为1 一 13 一 1 一若a a，则函数f(x)在(，a上的最小值为f%) - a,且f%)f (a).1 9(ii)当 x a时，函数 f(x) x x a 1 (x -)41一 .一.， 1右a2 ,则

12、函数f (x)在(，a上的最小值为f ( 2)1若a 万，则函数f (x)在a,)上单调递增，从而函数3a431-a,且 f(万)f(a)f (x)在a,)上的最小值为_2f(a) a2 1.13综上，当a时，函数f(x)的最小值为一a24.11一 一 2当 一a 时，函数f(x)的最小值为a2 122.1一一3当a 2时，函数f(x)的最小值为-a .2.(22)解(I)由 a1 2 ,得 a2a1 a1 1 32由 a23,得a3a22a2142由 a34,得出a33a315由此猜想an的一个通项公式： an n 1 (n 1)(II) (i)用数学归纳法证明:当n 1时，a13 1 2,不等式成立.假设当n k时不等式成立，即akk 2,那么ak 1ak(a