钢板切割数模

1、平面钢板切割问题【摘要】对于一块钢板，如何切割最经济，需要有最佳切割的方式。为了找到最优切割方式，首先通过分析及Mathematic 软件得到可能的 17种下料方法；接着模拟切割操作，得到其中 9 种可行方法；最后在Lindo 中编程，编写目标函数，寻找最优解。最终得出在总用量最少目标函数下，即钢板总用量最小为 12 块，最优解为 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0,x6 = 0,x7 = 0,x8 = 0,x9 = 6, x10 = 5 ，其中多余62 块 1*3的钢板；在总废料的面积最少目标函数下，即钢板总用量最小为 13 块，最优解为 x1 =

2、0, x2 = 1, x3 = 12,x4 = 0,x5 = 0,x6 = 0,x7 = 0, x8 = 0, x9 =0, x10 = 0 ，其中多余 91 块 1*3 的钢板和 1 块 5*7 的钢板。【关键词】 最佳切割 Mathematic 软件 Lindo 软件 最优解【正文】一、 问题重述钢厂有10mrK 10m的钢板，需要满足下列订货的切割要求：(1) 60张1mK 3m的小钢板；(2) 49张2mx 4m的小钢板；(3) 12张5mx 7m的小钢板；问题：应该如何切割钢板最经济？二、问题分析(1)算出一块10mix 10m的钢板可以有1mx 3ml 2mriX 4ml 5mri

3、X 7m这样的三种小钢板的多 少种组合形式( 2)根据各种不同的组合，画出下料图(4) 3)根据下料图，利用lindo 软件，找出符合要求又废料很少的方式三、建立模型第一步：寻找可能的下料方法钢板总面积100m, 1*3的小钢板面积3m2,2*4的8m2, 5*7的35m2,分别最多切割maxa、max b、max c块.则max a<=33,max b<=12,max c<=2,又因为下料边长都是整数，于是底料 边长不会超过3ml即底料的面积最多是2*2=4mi设一次切割1*3 a块，2*4 b块，5*7 c块， 则剩余废料满足 0<=100-(3a+8b+35c)&

4、lt;=4.依据这种理由， 底料的面积可能是0， 1， 2， 3， 4， 我们寻找可能下料的方法， 在 mathematic中编程如下：DODODODOif3a+8b+35c=100-k,Print “( “,a, ” , ” ,b, ” , ” ,c, ” ) ” ,a,0,20,b,0,7,c,0,1,k,0， 4, 其中变量 k 的取值代表废料面积。执行后得到：(20,5,0)(19,1,1)(11,4,1)(3,7,1)(17,6,0)(16,2,1)(8,5,1)（14,7,0）（13,3,1）（5,6,1）（19,5,0）（18,1,1）（10,4,1）（2,7,1）（16,6,0

5、）（15,2,1）（7,5,1）第二步：建立假设假设由于施工条件有限，切割只能走直线，并只能一刀切到底;切割不计损耗第三步：讨论切割方法的可能性（约定切割余料统称为废料）方法一：对应于（20，5，0）20块1*3+5块2*4+废料 0*0方法二：对应于（19，1，1）19块1*3+1 块2*4+1 块5*7+废料 0方法三：对应于（11，4，1）11块1*3+4块2*4+1块5*7+废料 0方法四：对应于（3， 7， 1）3块1*3+7块2*4+1块 5*7+废料 0方法五：对应于（17， 6， 0）17块1*3+6块2*4+废料 1*1方法六：对应于（16， 2， 1）16块1*3+2块2*

6、4+1块5*7+废料 1*1方法七：对应于（8， 5， 1）8块1*3+5块2*4+1块 5*7+废料 1*1方法八：对应于（14， 7， 0）14块1*3+7块2*4+废料 1*2方法九：（13， 3， 1）13块1*3+3块2*4+1块5*7+废料 1*2方法十：（5， 6，1）5块1*3+6块2*4+1块 5*7+废料 1*2方法十一：（19,5, 0）因为存在（20，5，0）所以这种方法可省略方法十二：（18， 1，1）因为存在（19，1，1）所以这种方法可省略方法十三：（10，4, 1）因为存在（11，4，1）所以这种方法可省略方法十四：（2, 7, 1）方法十五：（16,6, 0）

7、因为存在（17， 6， 0）所以这种方法可省略方法十六： （ 15， 2 ， 1 ）因为存在（16， 2， 1）所以这种方法可省略方法十七：(7, 5 , 1 )因为存在(8, 5, 1)所以这种方法可省略也就是说：有9种可行方法第四步：在lindo中编程，找最优解由于 60*3+8*49+12*35/100=, 可知最少需要10块这种钢板下料、 设用切割方法i需要切割xi块钢板， 目标函数一：总用量最少Minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10 目标函数二：总废料的面积最少 Minf=0x1+0x2+0x3+0x4+x5+x6+x7+2x8+2x9+2x10 约束

8、条件： 20x1+19x2+11x3+3x4+17x5+16x6+8x7+14x8+13x9+5x10>60 5x1+1x2+4x3+7x4+6x5+2x6+5x7+7x8+3x9+6x10>49 0x1+1x2+1x3+0x4+1x5+1x6+1x7+2x8+2x9+2x10>12 Xi>=0 在lindo软件包中编程求解，对第一个目标函数求解： Minf=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10 St: 20x1+19x2+11x3+3x4+17x5+16x6+8x7+14x8+13x9+5x10>60 5x1+1x2+4x3+7x4+6x

9、5+2x6+5x7+7x8+3x9+6x10>49 0x1+1x2+1x3+0x4+1x5+1x6+1x7+2x8+2x9+2x10>12 end gin10 执行后得至U结果:OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9X10ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2)3)4)即钢板总用量最小为12块，最优解为 x1 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0, x7 = 0, x8 = 0,

10、x9 = 6, x10 = 5,其中多余62块1*3的钢板。对第二个目标函数求解：min 0x1+0x2+0x3+0x4+1x5+1x6+1x7+2x8+2x9+2x10 st20x1+19x2+11x3+3x4+17x5+16x6+8x7+14x8+13x9+5x10>605x1+x2+4x3+7x4+6x5+2x6+5x7+7x8+3x9+6x10>49x2+x3+x4+x6+x7+x9+x10>12endgin 10 执行后得到结果：OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) +00VARIABLE VALUE REDUCED COSTX1X2X3X4X5X6X7X8X9X10ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES2)3)4)即钢板总用量最小为 13 块，最优解为x1 = 0, x2 = 1, x3 = 12, x4 = 0, x5 = 0, x6 = 0, x7 = 0, x