高考数学复习点拨 集合运算典例解析

1、集合运算典例解析例1设集合AxZ-10x-1，BxZx5，则AB中的元素个数是()A.11B.10C.16D.15分析符号“”是“并集”，即指由A和B中元素合并在一起组成的集合，相同元素只计一次.用列举法知，A-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，B-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，因此，AB-10，-9，5，共含16个元素.选C.例2已知集合A和集合B各含12个元素，AB含有4个元素，试求AB的元素个数.解：设ABU，因为card (A)12，card(B)12，且card(AB)4，所以card(AB)card(A)+card(B)-card(A

2、B)12+12-420。点评：符号card(A)表示集合A中元素的个数，类似card(AB)等含义相同，它们之间有公式：card(AB)card(A)+card(B)-card(AB).例3试证A(AB)A.证明：A(AB)(AA)(AB)A(AB)A.点评：AABA(AB)A.例4在全国高中数学联赛第二试中只有三道题，已知(1)某校25个学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍；(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，问共有多少学生只解出第二题?分析

3、本题的条件较多，利用文氏图，设解出第一、二、三道题的学生的集合为A、B、C，并用三个圆分别表示，如右图，则重叠部分表示同时解出两道题或三道题的集合，这样得到七个部分，其人数分别用a,b,c,d,e,f,g表示，然后，根据已知条件列出方程组求出b.解：根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得a+b+c+d+e+f+g25,b+f2(c+f),ad+e+g+1,ab+c.代入得a+2b-c+d+e+g25,代入得2b-c+2d+2e+2g24,代入得3b+d+e+g25,2-得4b+c26.由于c0，所以b6.利用、消去c，得fb-2(26-4b)9b-52.因为f0，所以b5.则有b6，即

4、只解出第二题的学生有6人.例5已知Axx2+x-60,Bxmx+10，且BAA，求实数m的取值范围.错解：Axx2+x-60-3，2，且BAA，B-3，或B2，即-3m+10，或2m+10.故m,-.分析：问题错在对集合B考虑的不全面，Bxmx+10代表方程mx+10的解集，可以有一解，也可无解.而无解的情况是B，这种情况又恰恰满足BAA的题设条件.错的原因有两个，其一是忽略了mx+10会无解；其二是忽略了ABABA及是任何集合的子集.正确解：Axx2+x-60-3,2,且Bxmx+10，BAA，B-3，B2，或B，即-3m+10，2m+10，或m0.故实数m,-，0.例6填空题(1)已集集合

5、Ayyx2-6x+6,xR,Byy-x2+6x-6,xR，则AB(2)已知集合A(x,y)yx2-6x+6,xR，B(x,y)y-x2+6x-6,xR，则AB。(3)已知集合A的元素满足方程4a2+4a-1，a,bR，集合Bxx(x2-1)(4x2-1)0.则AB。分析要特别注意分清楚每小题里的集合中元素是什么?它们分别有什么特征?(1)中集合A，B的元素都是函数y，它们分别表示两个函数的值域；(2)中集合A，B的元素都是直角坐标系中点的坐标，它们分别表示两条抛物线上的点的集合；(3)中集合A的元素要满足一个二元方程，它应该表示点(a,b)的集合；集合B中元素要满足一个一元方程，它表示这个方程

6、的根的集合.解：(1)由A知，y(x-3)2-3-3；由B知,y-(x-3)2+33.利用数轴不难看出：ABy-3y3.(2)AB应该是这两条抛物线的交点，即解方程组解得方程组有两组解(3+，0)和(3-，0).AB3+,0,(3-,0).(3)将方程4a2+4a-1配方，得(2a-1)2+0.a、bR，a且b-1.A(a,b)(，-1).解方程x(x2-1)(4x2-1)0，得x0，或x1，或x.B-1，-，0，1.AB.点评：解答第(3)小题，很容易出现下面错误解法，即误认为A-1，从而得出AB-1，.应引起我们的重视.例7已知集合A1，3，-x3，B1，x+2.是否存在实数x，使得B(C

7、SB)A?实数x若存在，求出集合A和B；若不存在，请说明理由.分析：解答本例的关键是两点：(1)理解B(CSB)A的含义；(2)学会分情况讨论或验证数学问题.解：B(CSB)A，BA.(1)若x+23，则x1，符合题意；(2)若x+2-x3，则x-1，但不合题意.当x1时，A1，3，-1，B1，3.点评：有些数学问题，很难从整体着手解决，需从分割入手，把整体科学合理地划分为若干个局部独立的问题，通过逐一解决这些问题，达到整体问题的解决.这种重要的数学思想方法就是分类讨论的方法，要学会这种思维方法。练习1、设关于x的方程x2+px-120,x2+qx+r0的解集分别为A、B且AB，AB-3，4，

8、AB-3，求p,q,r的值.2、已知集合Ax2axa2+1,Bxx2-3(a+1)x+2(3a+1)0，求使AB的a 的取值范围.3、设Axx2-3x-20，Bxx2-ax+20，若ABA，求由实数a的值组成的集合.4、某班共有学生50名，其中参加数学课外小组的学生有22名，参加物理课外小组的学生有18名，同时参加数学、物理两个课外小组的有13名，问：（1）数学和物理两个小组至少参加一个的学生有多少名？（2）数学和物理两个课外小组都不参加的学生有多少名？参考答案1、由AB-3，可知方程x2+px-120有根-3，故有(-3)2-3p-120即3p-3, p-1,此时Axx2-x-120，即A-

9、3,4，又AB，AB-3，4，AB-3，可知方程x2+qx+r0只能有重根-3，即这个方程为(x+3)+0 即x2+6x+9 0，故q6,r9 p-1,q6,r9.2、Bx(x-2)x-(3a+1)0，故当3a+12，即a时，Bx2x3a+1;当3a+12即a时，Bx3a+1x2又AB，故 或 解得 1a3，或a-1。3、由ABA可知BA，化简集合A得A1，2，B可为1，2，1，2， 四种情形.当B1，2A时，显然a3当B1或2时，方程x2-ax+20有等根，而由韦达定理知x1x22故等根为-或，故B1，B2.当B时，方程x2-ax+20无实根，故=a2-80，得-2a2.故所求a值的集合为3a-2a2.4、解：设全集 为，集合，集合，则中有50个元素，中有