高考数学复习点拨 幂函数性质的应用

1、幂函数性质的应用幂函数y=x(R)是重要的基本初等函数模型之一，它具有如下性质： （1）幂函数y=x(R)在(0，+)上有定义，并且图象过定点 (1，1)； （2）如果>0，则幂函数的图象过定点(0，0)和(1，1)，并且在区间0，+)上为增函数； （3）如果<0，则幂函数的图象过定点 (1，1)，并且在区间(0，+)上为减函数；在第一象限内，当x趋向于原点时，图象在y轴右方并无限地逼近y轴，当x趋于+时，图象在x轴上方并无限地逼近x轴； （4）设=pq，p、q互质，pZ ，qN*。 当p为奇数，q为偶数时，函数为非奇非偶函数，函数在其它象限无图象，只在第一象限内有图象； 当p为偶

2、数，q为奇数时，函数为偶函数，图象在第一、二象限，且关于y轴对称； 当p、q均为奇数时，函数为奇函数，图象在第一、三象限，且关于原点对称。 利用上述性质，可以解决许多有关幂函数问题。下面举例说明。 一、比较大小例1 比较下列各组中两个值的大小：（1）0.71.5，0.61.5；（2）2.2-23，1.8-23。解析：题中两组值都是幂运算的结果，且指数相同，因此可以利用幂函数的性质来判断它们的大小。（1）因为幂函数y=x1.5在0，+)上为增函数，又0.7>0.6，所以0.71.5>0.61.5；（2）因为幂函数y=x-23在(0，+)上为减函数，又2.2>1.8，所以2.2-

3、23<1.8-23。点评：当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较。例2 比较(-2)23，(-0.7)-23，1.1-43的大小。解析：(-2)23=(22)-23，(-0.7)-23=0.7-23，1.1-43=1.21-23。因为幂函数y=x-23在(0，+)上单调递减，且0.7<22<1.21，所以0.7-23>(22)-23>1.21-23，所以(-0.7)-23>(-2)23>1.1-43。点评：当幂指数不同时可先转化为相同幂指数，再运用单调性比较大小。二、求函数解析式例3 已知幂函数fx=x3m-8(mN*)的图象与x轴，y轴都无交

4、点，且关于y轴对称，试确定函数fx的解析式。解析：因为fx=x3m-8(mN*)的图象与x轴，y轴都无交点，所以3m-80，即m83 。又mN*，所以m=1，2。当m=1时，3m-8=-5，fx=x3m-8=x-5是奇函数，不合题意，舍去；当m=2时，3m-8= -2，fx=x3m-8=x-2是偶函数，图象关于y轴对称，符合题意。故所求幂函数为y=x-2。点评：求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄清幂函数的定义和性质是关键。三、讨论函数性质例4 讨论函数fx=x1m2+m+1（mN*）的定义域、奇偶性和单调性。解析：（1）因为mN*，所以m2+m=m(m+1)（mN*）是正偶数，所以m2+m

5、+1是正奇数，所以函数fx的定义域为R。（2）因为m2+m+1是正奇数，所以f-x=(-x)1m2+m+1=-x1m2+m+1=-fx，所以fx在R上是奇函数。（3）因为m2+m+1>0，所以1m2+m+1>0，又m2+m+1是正奇数，所以函数fx在(-，+)上单调递增。点评：函数的性质是解决函数问题的基础，应掌握五个常用的幂函数：y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1的性质。四、画函数图象例5 已知幂函数y=xm-2（mN）的图象与x、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m的值，并画出函数图象。解析：因为幂函数y=xm-2（mN）的图象与x、y 轴都无交点，所以m-20，即m2。又mN，所以m=0，1，2。因为幂函数图象关于y 轴对称，所以m=0或m=2。当m=0时，函数为y=x-2，图象如图1；当m=2时，函数为y=x0=1（x0），图象如图2。 y o x 图1 y （此点为虚点） 1 o x 图2点评：函数y=x0=1在x=0处没有意义，这点一定不要忽视。五、求参数的取值范围例6 已知a+13<3-2a3，求a的取值范围。解析：a+13和3-2a3