高等数学：第3章 中值定理习题

1、洛必达法则洛必达法则Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用的泰勒、常用的泰勒、麦克劳林公式麦克劳林公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 nfggfgf/11 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 一、主要内容一、主要内容用一阶导数的符号判断函数的单调性用一阶导数的符号判断函数的单调性用二阶导数的符号判断函数的凹凸性用二阶导数的符号判断函数的凹凸性3罗尔定理罗尔定理:)(满足满足若若xf;,上连续上连续在在ba(1)(2);),(

2、内可导内可导在在ba(3),()(bfaf 使得使得则至少存在一点则至少存在一点),(ba . 0)( f微分中值定理微分中值定理abafbff )()()( 拉格朗日定理拉格朗日定理柯西定理柯西定理:)()(满足满足，若若xFxf(1)(2);,上连续上连续在在ba0)( xF且且内可导，内可导，在在),(ba)()()()()()(aFbFafbfFf 4拉格朗日定理拉格朗日定理单调性的判别单调性的判别求单调区间求单调区间(分界点分界点)Step1:给出定义域；给出定义域； Step2:给出给出驻点驻点和和不可导点不可导点Step3:列表判断列表判断凹凸性的判别凹凸性的判别求凹凸区间求凹凸

3、区间(拐点拐点)Step1:给出定义域；给出定义域； Step2:给出二阶导数给出二阶导数 为零的点为零的点和和不可导点不可导点Step3:列表判断列表判断5求极值求极值求极值点求极值点(单调区间单调区间分界点分界点)判断判断求求 所有所有可能的极值点可能的极值点即，即，驻点驻点和和不可导点不可导点第一充分条件第一充分条件(驻点驻点和和不可导点不可导点)是是极极值值附附近近变变号号在在若若)()(00 xfxxf 第二充分条件第二充分条件是是极极值值且且，)()0( 0)(0)(000 xfxfxf (驻点驻点)6求最值求最值求所有可能的最值点求所有可能的最值点Step1:给出给出驻点驻点和和

4、不可导点不可导点，Step2:比较其与比较其与端点处端点处的函数值的函数值.是否有唯一最值是否有唯一最值是否有唯一可能的极值点是否有唯一可能的极值点,)(baCxf .,),()()(.,)(2121baxfxfftsbabaCxf ，（极值点极值点和和端点端点）并并判判断断其其符符号号求求)(xf ),()(baCxf Y最值在此点达到最值在此点达到Y无无有有最值在两端点达到最值在两端点达到建立目标函数建立目标函数7渐近线渐近线铅直渐进线铅直渐进线斜渐近线斜渐近线水平渐近线水平渐近线是是铅铅直直0)(0 xxxflimxx 是是水水平平bybxflimx )(是是斜斜baxybaxxflim

5、x 0)()(baxxflimx )(axxflimx )(8简单简单函数函数复杂复杂函数函数近近 似似)(xPn)(xfnnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 0a)(0 xPn 1a)(0 xPn 2! 2 a)(0 xPn nan!)(0)(xPnn)(|0 xf)(|0 xf )(|0 xf )(|0)(xfn )(xf)(xPn)(xRn nkkkxxkxf000)()(!)(|)()()!1()(010)1(之间之间和和介于介于xxxxnfnn 泰勒泰勒(Talor)(Talor)公式公式) 1 ()()(!)()( )()(00000 xRxxnxfxxxf

6、xfxfnnn 余项余项）（余项余项）（LagrangexxnfxRpeanoxxxRnnnnn3)()!1()()(2)()(1010 其中其中.)1(00阶阶泰泰勒勒公公式式处处的的或或叫叫在在阶阶泰泰勒勒公公式式的的幂幂展展开开的的叫叫做做按按nxxnxx ）（）（5)10()!1()()(4)(!)0(!2)0( )0( )0()(112 nnnnnnxnxfxRxRxnfxfxffxf00 x麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式最值最值极值极值,. 2单调递增单调递增单调递减单调递减增减性增减性)(0)( )(0)( )(. 1xfxfxfxfxf .

7、:处处的的函函数数值值比比较较端端点点及及可可能能极极值值点点连连续续函函数数闭闭区区间间上上最最值值).)( 0)( (.:两两个个判判定定法法则则的的点点不不增增减减区区间间的的分分界界点点极极值值点点驻驻点点 xfxf二、主要应用二、主要应用的可能极值点的可能极值点存在唯一的最值和唯一存在唯一的最值和唯一连续函数开区间上最值连续函数开区间上最值 : 可可能能拐拐点点的的横横坐坐标标的的点点不不或或凹凹凸凸及及拐拐点点 )( 0)( . 3xfxf),(. 4渐渐近近线线拐拐点点极极值值凹凹凸凸性性周周期期性性，单单调调性性对对称称性性定定义义域域函函数数作作图图.)(.5法法则则洛洛必必

8、达达的的极极限限求求法法未未定定式式HospitalL 公公式式）余余项项的的利利用用带带求求极极限限TalorPeano(. 6凹凹凸凸等等方方法法极极值值或或单单调调性性用用中中值值定定理理不不等等式式证证明明,. 9的的综综合合应应用用及及极极值值、介介值值定定理理、单单调调性性.,thRolle :)(0)(、讨论有几个根、讨论有几个根唯一性唯一性只有一个根只有一个根证明证明 xf)(0)( . 8ThRxf 由由的的根根求求例例1 1.)1(51lim)1(520 xxxx 求极限求极限解解. 2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51!

9、21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 三、典型例题;)arctan2(lim)1(ln1xxx xxxeln)arctan2ln(lim 原式原式解解xxxxe/111)arctan2(1lim2 )arctan2(1lim2xxxxe 22221111limxxxxe ）（.12211limeexxx ）（例例)0(0型)(型xxxxxnn10)21(lim)2( )1ln(1lim0nnxxxxe 原式原式解解 )ln()1ln()(1lim0 nnxxxxexxxxxxnnne 1ln2ln21ln111lim0

10、nnnne!ln )1 (型例例 讨论函数在点讨论函数在点x=0 x=0处的连续性。处的连续性。 .0,0,)1()(2/1/1/1xexexxfxx2)1ln(1)1ln(11)(ln,0:xxxxxxxfx 时时解解21)1(2lim21)1/(1lim)1ln(lim0020 xxxxxxxxxxx)(lim)(lim02/10 xfexfxx 函数在点函数在点x=0 x=0连续。连续。例例3 3.0),0(0,/ )()(, 0)0()()1有一阶连续导数有一阶连续导数求证求证具有二阶连续导数且具有二阶连续导数且设设 xfxxxfxfxfxxx)0()(lim)0(0 证：证：200)

11、0()(lim)0()(limxfxxfxfxxfxx xfxfx2)0()(lim0 )00(2)(lim0 xfx .2)0(f 0,2)0(0,)()()(2xfxxxfxfxx 200)()(lim)(limxxfxfxxxx xxfxfxfxx2)()()(lim0 ).0(2)0(2)(lim0 fxfx有一阶连续导数。)(x 0,2)0(0,)()()(2xfxxxfxfxx 例例3 3. 0)(0)(),(),(, 0)()(, 0)()(,)()2 ffbababfafbfafbaxf及及使使和和求证求证且且上具有二阶导数上具有二阶导数在在设设证明 用反证法0)(),( fb

12、a使使假设不存在假设不存在0)(0)(),( xfxfba或或上上则则在在0)(lim)( axxfafax0)(lim)( bxxfbfbx矛矛盾盾）(0)()( bfaf0)(),( fba使使0)(),( fba使使0)()()( bffaf 则则0)(),(11 fa使使因此因此0)()(22 fb 使使，0)()(21 ff又又),(21ba ），（ 0)( f使使 .)()()()(,)2(; 0)(),1, 0)()()()(, 0)(,)(),( gfgfbaxgbabgagbfafxgbaxgxf 使使存在存在内内）在（）在（证明（证明（上存在二阶导数，且上存在二阶导数，且在

13、在设设例例0)(),()1( cgbac使使若若证：证：)()()(bgcgag 则则0)()(),(),(2121 ggbcca使使定理，定理，上满足上满足，在在又又Rxg)(21 )(0)(),(矛盾矛盾使使 gba. 0)( xg)()()()()(2xgxfxgxfxF 设设）（0)()( bFaF 定理，定理，上满足上满足在在RbaxF,0)(),( Fba使使0)()()()()( xxgxfxgxfF例例6 6)1 , 0(21)(:, 1)(),1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数证证,1 , 00 x设设有有展成一阶泰

14、勒公式展成一阶泰勒公式处把处把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则有则有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff (1)(2)2022010)1)(21)(21)(xfxfxf (2)(1),1()0(ff 注意到注意到则有则有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20 x,1 , 00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命题成立可知命题成立的任意性的任意性由由 x ?)(?:.0)( 0)( ,0)(

15、 .)(0000000是是否否为为拐拐点点？为为什什么么，为为什什么么是是否否为为极极值值点点试试问问，但但而而连连续续导导数数的的某某个个邻邻域域内内具具有有三三阶阶在在设设xfxxxxfxfxfxxxfy 例例7公公式式处处展展成成三三阶阶在在将将Talorxxxf0)( 解解002300000( )()()()( )()()()()2!3!f xf xxxfxffxxxxxxx 0)( )( lim)( 0)( , 0)( 0000 xfxfxfxfxfxx连续连续又又不妨设不妨设0)( , 00 xfxx 当当 00000)()(xxxxxfxf当当当当故故.)(0不不是是极极值值xf

16、.)()()(0)(! 2)( )( )( )( (0020000不不是是极极值值或或xfxfxxxxfxxxfxfxf .)(0)()(0)()(0)()()(00!3)( )()()(lim(00000300003000不不是是极极值值或或xfxxxfxfxxxfxfxxxfxfxxxfxxxfxfxx .)(,00)( )( )()( )( )( 00000000为为拐拐点点凸凸凹凹即即xfxxxxxxxfxfxxxxfxfxf )(,)(,.0)(1.2 , 10)(:0000)(0)(为为拐拐点点为为奇奇数数时时当当为为极极值值；为为偶偶数数时时当当且且若若一一般般结结论论xfxnx

17、fnxfnixfni 例例)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 证证明明不不等等式式证证),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf则则, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是凹的是凹的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即1(1)0,(0)0, lim( )0 xFaeFaF xa 当即时又方程有两个实根.)0(有有几几个个实实根根讨讨论论 aaxex0)( xaxexFx令令0)1()( 令令 xxxexxeexFaeFF

18、xFxFxxFxFxx 1)1(.,)1()(0)( 1)(0)( 11即为最大值即为最大值为极大值为极大值单调递增单调递增单调递减单调递减方程无实根方程无实根时时即即当当方程只有一个实根方程只有一个实根时时即即当当110)1(0)1( eaFeaF例例解解.)(,0)(,0)( ,0)(),)(有有且且仅仅有有一一个个实实根根上上在在求求证证时时当当上上连连续续且且在在设设kafaaxfkxfaxafaxf )()()( )()( )()(,)(,)(kafaakaffakafafafkafafLkafaaxf中值定理得上用在将0)(, 0)()(, 0)( , 0)(, kafafxfxf

19、xfaf以以下下只只须须证证必必有有唯唯一一的的根根若若有有根根故故方方程程由由题题设设知知例例证明证明( )( )( )( )()( )( )()( )( )(1)0f af af af afkkff ak.)(,0)(上有且仅有一个实根上有且仅有一个实根在在kafaaxf 1)1(21, 1101 xxx证明不等式证明不等式设设上上的的最最大大值值与与最最小小值值在在求求令令1 ,0)()1()(xfxxxf ,)(2111MxfmmM )1(1)0(21)21(21)1()( 111fffxxxxf 1)1(21.,.1 xxei例例证明证明)3(1ln)(. 12 nnxxxxf泰泰勒

20、勒展展开开式式阶阶处处的的在在点点写写出出函函数数xxxfxxxxfln2312ln2)( ,ln2)( )!3()1(2)1(3)1( 1)1( 0)1()1()( nffffnn(1)( )(3)21( 1)(3)!( )2( )2(3)nnnnnfxnxx2( )fxx解解)(!)!3()1(2)1(!32)1(23)1(ln)1(322xRnnxxxxxnn xxnnxRnnnn 1)1()!1()!2()1(2)(11)( 22242444cos1() 1()24!22! 4xx exxxxo xo x的几阶无穷小？的几阶无穷小？是是时，时，当当xexxx22cos0. 2 1211

21、2)(limcoslim44404022 xxxxexxxx.cos22的四阶无穷小的四阶无穷小是是xexx 解解)11ln(lnxxy 内内单单调调递递增增证证明明：),0()11(3 xxy单单调调递递增增yxxyy 011)11ln(0)1(1)1(1)1(111122 xxxxxxg0lim11)11ln( gxxgx令令 xxyy11)11ln(0lim gggx单调递减单调递减证明证明4 .1(1)11xxex证 明 不 等 式当1)1(,11011)1( xexexxxx即即故故要要证证证法一：证法一：0)0(1)1()( FxexFx令令0)1()( 令令 xxxxexeexF

22、 )(0)( 0)(0)( 0, 0 xFxFxxFxFxx0)(1)0()( xFxFxF故故xex 11即即xexeeThLxxexeexexxxxxx 1.0,0101)1(:上上用用上上或或在在将将即即要要证证证法二：证法二：) !11)(不好不好本题若令本题若令xexFx baabaabbeabafbfxfxfexexxxxfxxxf lnln)()()(, 0)( ,)( 0ln1)( ln)(2即即则则令令baabaabbbaabaabbthLbaxfexxxxfxxxf 即即（得得：上上在在将将则则令令lnln)0)(ln1lnln.,)()(0ln1)( ln)(22 )()

23、2(eabbaab 证法一：证法一：证法二：证法二：.0)0(0)(,210为为极极值值点点由由极极值值定定义义故故显显然然fexfxx .000)(0. 521的的极极值值点点是是函函数数试试证证 xxexFxx证法一：证法一：.000002)( 0, 02lim)2(1lim1lim0lim0)0()(lim)0( 31)1(031201010022222为为驻驻点点是是极极小小点点。 xxxxexfxexxexexxexfxffxxxxxxxxxx证法二：证法二：.,1. 62222求求此此切切线线方方程程角角三三角角形形面面积积为为最最小小轴轴所所围围的的直直问问哪哪一一条条切切线线与与两两座座标标作作切切线线的的第第一一象象限限部部分分上上的的点点过过椭椭圆圆 byax)(, 0221), 0(2222222222xXyaxbyYyaxbybyyaxxbyaxax 切切线线方方程程为为：求求导导得得两两边边对对对对解解xaxbyaxYYybyaxbyYX22222222,