第二十四章圆知识点及典型例题(精选上课用)

1、第二十四章圆复习导学案一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合二、点与圆的位置关系1、点在圆内 u 0 Wdr点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 u dr u无交点；直线与圆相交0 V d rU 有两个交点;2、直线与圆相切=d=r u有一个交点;3、五、垂径定理AB垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。推论1: (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，弁且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，弁且平分弦所

2、对的两条弧;（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，弁且平分弦所对的另一条弧此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:AB是直径（或经过圆心）AB_LCD （垂直于弦）CE = DE （平分弦） 弧BC =弧BD （平分弦所对的劣弧）弧ac = Mad（平分16 / 13此定圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等，圆周角相等。即： /AOB=/DOE; AB =DE ； OC =OF ；弧BA =弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。即：: /AOB和/ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角/.

3、 AOB =2 ACB弦所对的优弧） 中任意2个条件推出其他3个结论。六、圆心角定理理也称1推4定理，即上述五个结论中, 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的2、圆周角定理的推论：C推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在O O中，= /C、/D都是所对的圆周角二 C 二 D推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90。的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。即：在O。中AB是直径或.一/C=90。ZC =90s. AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这 个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，= OC=OA=OB. AB

4、C是直角三角形或 /C=90。注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三 角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补, 角等于它的内对角即：在O O中,丁四边形ABCD是内接四边形C BAD =180 BD =180DAE CAN九、切线的性质与判定定理切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：: MN 1 OA且MN过半径OA外端二. MN是O O的切线看到切线，要想到连接圆心和切点得垂直的夹十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线， 它们切线长相等，这点和

5、圆心的连线平分两条切线的角。即：: PA、PB是的两条切线.PA = PB, PO平分/BPA,十一、圆内正多边形的计算(选记) 正多边形计算的解题思路：正多边形连接OAB转化等腰三角形一场望e小直角三角形可将正多边形的中心与一边组成等腰三角形，再用解直角三角形的知识进行求解。(1)正三角形在O。中 ABC是正三角形，有关计算在RHBOD中进C行：OD B:D 而 B 3:2(2)正四边形同理，四边形的有关计算在RtOAE中进行，O E: A E O Al(3)正六边形同理，六边形的有关计算在RtO A也进行，A B O B O A.= 3 : 2十二扇形、圆柱、圆锥和弓形的相关计算公式1、扇

6、形：(1)弧长公式：、*(2 )扇形面积公式：An 二 RB360n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径l :扇形弧长S :扇形面积2、圆柱:(1)圆柱侧面展开图S表=5侧 2s底=2二rh 2二 r2底面圆周长AWD D1母线长C C1(2)圆柱的体积：V=-：r2h3、圆锥(1)侧面展开图S表=5侧0底=二Rr二r2(2)圆锥的体积：V二r2h3(3) 5侧=-=1R =二 Rr36024、弓形(1)弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图 形叫做弓形。(2)弓形的周长=弦长+弧长(3)弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以 看出，只要

7、把扇形的面积和的面积计算出来，就可以得到弓形的面积。当弓形所含的弧是劣弧时，如图当弓形所含的弧是优弧时，如图当弓形所含的弧是半圆时，如图1所示，也用二S庸的函8 - S翻注2所示，,弓虚=$配qamb + Smoe3所示，*彩因圆有关问题辅助线的常见作法半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切

8、线。若是添上连心线，切点肯定在上面。例题1、 基本概念1 .下面四个命题中正确的一个是（）A.平分一条直径的弦必垂直于这条直径这条弧所对的弦C.弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心对弦的直线必过这个圆的圆心2 .下列命题中，正确的是（）.A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B .平分一条弧的直线垂直于D .在一个圆内平分一条弧和它所B.过弦的中点的C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D .弦的垂线平分直线必过圆心弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直径为52的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16,那么油面宽度是.2、在直径为52的圆柱形油槽内装入一些油后，,如果油面宽

9、度是 48,那 么油的最大深度为.3、如图，已知在O。中弦 AB =CD ,且AB_L CD ,垂足为 H , OE_L AB于E ,OF _LCD 于 F .(1)求证：四边形OEHF是正方形.(2)若CH =3 , DH =9 ,求圆心O至U弦AB和CD的距离.4、已知：内接于O O,半径5,圆心O到的距离为3,求的长.5、如图，F是以。为圆心，为直径的半圆上任意一点，A是舒的中点，!O于D,求证：1.匚例题3、度数问题已知：在O O中，弦AB=12cm, O点到AB的距离等于AB的一半，求：/AOB 的度数和圆的半径.例题4、平行问题在直径为50的OO中，弦40,弦48,且/,求：与之间

10、的距离例题5、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦，交小圆于C D两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b .求证： 22AD BD =a -b .例题6、利用切线性质计算线段的长度如图，已知：是O。的直径，P为延长线上的一点，切O 。于C, 于D, 又4, OO的半径为3.求：的长.例题7、利用切线性质计算角的度数如图，已知：是O。的直径，切O。于C, 于E,的延长线与的延长线交 于F,且.求：/ A的度数.例题8、利用切线性质证明角相等 如图，已知：为OO的直径，过A作弦、，弁延长与过B的切线交于M N.求例题9、利用切线性质证线段相等 如图，已知：是O O直径，切O。于D,交于E.求证：

11、.例题10、利用切线性质证两直线垂直 如图，已知：中，以为直径作O Q交于D,切OO于D,交于E.求证:A例题11、有关阴影部分面积计算如图，线段与o O相切于点C,连结，交OO于点D,已知 OA = OB=6 , AB =673 .(1)求O O的半径；(2)求图中阴影部分的面积.1 .下列说法正确的是()A.长度相等的弧是等弧；B.两个半圆是等弧；C.半径相等的弧是等弧；D. 直径是圆中最长的弦；2 .一个点到圆上的最小距离是 4,最大距离是9,则圆的半径是(A.2.5 或 6.5B.2.5C.6.5D.5 或 133 .以下说法正确的是：圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；垂直 于弦的直径平分这条弦;相等圆心角所对的弧相等。()A.B.C.D.4.如图所示，在O。中，P是弦的中点，是过点P的直径，则下列结论正确的是()5 .如图所示，在O。中，弦的为8,那么它的弦心距是 ;6 .如图所示，一圆形管道破损需更换，现量得管内水面宽为60,水面到管道顶部距离为10,问该准备内径是多少的管道进行更换。例1:如图，P是OO外一点，、分别与O O相交于A Bk C D.(1)平分/; (2) ; (3); (4).从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，弁加以证明，与同伴交流例E,2:当BP如图，是OO的弦，OCLOA交于点C,过点B的