2014年北京市高考数学试卷理科教师版

1、2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中， 选出符合题目要求的一项）2 - 2x=0, B=0, 1, 2,则 AAB= （） 1. （5 分）（2014?北京）已知集合 A=x xA. 0B. 0, 1C. 0, 2D. 0, 1, 2）【分析】解出集合A,再由交的定义求出两集合的交集.2- 2x=0 = 0, 2, B=0, 1, x【解答】解：,.,A=|x2, AAAB=0, 2 故选：C.2. （5分）（2014?北京）下列函数中，在区间（0, +8）上为增函数的是（） 2） - ly= （x. y= B. Ax D.

2、y=log （x+C. y=21） os【分析】根据基本初等函数的单调性,判断各个选 项中函数的单调性，从而得出结论.【解答】解：由于函数y= 在（+8）上是增函数，故满足条件，2在（0, lxl）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=（x一在（0,由于函数y=2+8）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log （x+l）在（1, +8）上是减函数，故不满足条件，os故选：A.3. （5分）（2014?北京）曲线（。为参数）的对称中心（）A.在直线y=2x Jt B.在直线y=-2x上D.在直线上C.在直线y=x - ly=x+l上【分析】曲线（。为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论.【

3、解答】解：曲线（。为参数）表示圆，圆心为（1，2）,在直 线y=-2x上， 故选：B.S时,执行如图所示的程序框图,输出的n=3, m=7北京）当2014?（分）5（. 4. 的值为（）840. 210D. 7B. 42CA值，kXk的值，根据条件确定跳出循环的S=7X6义【分析】算法的功能是求的值.s计算输出的值，kX解.：由程序框图知：算法的功能是求S=7X6X【解答】,l=53+n+l=7 -当 m=7, n=3 H寸，m -,值为4,跳出循环的k.X5=210,输出 S=7X6.故选：C为递增 “a的等比数列，则是公比为q为1”是2014?5.（5分）（北京）设 ann） ”的（数列.

4、必要而不充分条件BA.充分而不必要条件.既不充分也不必要条件C.充分必要条件D结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得根据等比数列的性质，【分析】 到结论.不是递增,但la, -24,，满足公比q=2解：等比数列-【解答】1,一 数列，充分性不成立.不成立，即必要性不成立，lq=为递增数列， -若a=l n_ - 的既不充分也不必要条件，为递增数列a” 是故“ql”“ n.故选：D,且z=yx, y满足-x的最小值为-4, （6. （5分）2014?北京）若 则k的值为（）D-B. - 2CA. 2【分析】对不等式组中的kxy+220讨论，当kNO时，可行域内没有使目标函 数z=y - x取

5、得最小值的最优解,k0时,若直线kx - y+2=0与x轴的交点在x+y -2=0与x轴的交点的左边，z=y-x的最小值为-2,不合题意，由此结合约束 条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，山图得到最优解，联立方程 组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.【解答】解：对不等式组中的kxy+2N0讨论，可知直线kxy+2=0与x轴的 交点在x+y-2=0与x轴的交点的右边，作出可行域如图，故由约束条件工-2=0 '得 x=kx - y+2=0 当 y=0,由/. B ( - ) .得 y=x+z 由 z=y - x，最小.轴上的截距最小，即B （-z ）时直线在y+由图可知，当直

6、线y=xz过-,解得：k= .此时 -.D故选：，(2), B, Oxyz中，已知A (2, 00北京)在空间直角坐标系57.(分)(2014?ABCD -分别表示三棱锥 S,若，1,)S, S1D), (, 02, ) C020, (_ 321) zOxyOzxOy 在，坐标平面上的正投影图形的面积，则(A. S=S=SB. S=S 且 SWS 3213221D. S=SHSS 且 SWSC. S=S 且 12123333【分析】 分 别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论.【解答】解：设 A(2, 0, 0), B (2, 2, 0), C (0, 2, 0), D (1, 1,),

7、 _则各个面上的射影分别为AT B', C, D',在 xOy 坐标平面上的正投影 A*( 2,0,0 ),B!( 2,2,0 ),C,( 0,2,0 ),D'(1,.=1,0), S _ 1在 yOz 坐标平面上的正投影 A' (0, 0, 0), B' (0, 2, 0), C(0, 2, 0), D' (0, =，,)S2在 zOx 坐标平面上的正投影 A' (2, 0, 0), B' (2, 0, 0), C (0, 0, 0), D' (0,一 »= )» S» 1 3则 S=S 且

8、 SWS, 1323 故选：D.8. (5分)(2014?北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优 秀”“合格” “不合格”.若学生中的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至 少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪 位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位 学生，则这一组学生最多有()A.2人B. 3人C. 4人D.5人【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文 成绩得A, B, C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数.【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的

9、学生 最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然(AC) (BB) (CA)满足条件，故学生最多有3个.故选：B.二、填空题(共6小题，每小题5分，共30分)2= - 1 (2014?北京)复数().9. (5 分) 【分析】由复数代数形式的除法运算化简括内部，然后由虚数单位i的运算性质 得答案.2.()=解答解：.故答案为：-1入(2, 1),且+ =分)10. (5 (2014?北京)已知向量,满足 =1, =. |GR),则入 |= £=1,=(2, 1),且+ =(入，=【分析】设(x, y).由于向量 满足I ,可得R),解出即

10、可. ), (xy【解答】解：设=,R） 1）,且 + =（入 e= ;向量，满足=1,（2,1）+2,入 y+, （=、x, y） + （21） = （ Xx z / =5 t化为人.解得故答案为：.-2=1,且与具有相同渐-X2分）5 （2014?北京）设双曲线C经过点（2,）11 .（_;渐近线方程为y=±2x .的方程为C近线，则【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论.zzWm （=1-【解答】解：与x具有相同渐近线的双曲线方程可设为，=mx- 0）,双曲线C经过点（2, 2）,，m一 _2 一即3即双曲线方程为-x= -对应的渐近线方程为y=

11、7;2x,y=±2x.故答案为：12 . （5 分）（2014?北京）若等差数列a满足 a+a+a>0, a+a<0,则当 n= 1078*98 时，a的前n项和最大.n【分析】可得等差数列a的前8项为正数，从 第9项开始为负数，进而可得结n论.【解答】解：由等差数列的性质可得a+a+a=3a>0, 8879/.a>0,又a+a=a+aVO, a VO, 97988M等差数列a的前8项为正数，从第9项开始为负数，等差 数列的前8项和最大，n故答案为：8.13 .（5分）（2014?北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不

12、同的摆法有36种. 【分析】分3步进行分析：用捆绑法分析A、B,计算其中A、B相邻乂满足 B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，在全部数目 中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案.而A、作为一个元素有种方法,、A与B相邻，把AB解.：【解答】先考虑产品 =48种摆法，B可交换位置，所以有2=12种摆法，相邻，有2、B相邻乂满足A、C 乂当A故满足条件的摆法有48 - 12=36种.故答案为:36.14 . （5 分）（2014?北京）设函数 f （x） =Asin （sx+小）（A, 3,6是常数，A>0,3>。）若f（X）在区间,上具有单调性，且

13、f （） =f （）（）,则f（x）的最小正周期为n .【分析】由f（） =f（）求出函数的一条对称轴，结合f（X）在区间,_ 上具有单调性，且f （） = -f （） _ _可得函数的半周期，则周期可求., x=f （x）的一条对称轴为【解答】解：由f （） =f （）,可知 函数.离最近对称轴距离为则乂= , 0,）f（）,则f（x）有对称中心（又f （）=-上具有单调性，由于f （x）在区间，_ _.T=n ?=则T小？T2,从而 .故答案为：人演算步骤或证明过程）解答应写出文字说明、三、解答题（共6小题，共80分, 上，BC,点，AB=8D 在边中，Z （15. （13 分）2014?

14、北京）如图，在ABCB=. ZcosADC=H CD=2, _；BAD （1）求 sinN的长.（2）求，ACBDB D C根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【分析】 ,ADC=cosZ （1）在aABC中，【解答】解：. - = ,=NsinADC='-cosADC?cosB=sinBADCBAD=sinsin 则 N ( Z - Z ) Z - ZADC?sinB=X = .,=(2BD=ABD中，由正弦定理得)在 22222 - 2X 8X 2AB?BCcosB=8 +5 EAABC 中，由余弦定理得 AC=49=AB, +CB - _ 即 AC=7.

15、16. （13分）（2014?北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设 各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场122121客场1882主场15122客场13123主场1283客场2174主场2384客场1815主场524205客场2512（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的 概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超 过0.6, 一场不超过0.6的概率；（3）记 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为一 李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）

16、.-【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过06的场次，计算即可， （2）根据互斥事件的概率公式，计算即可.（3）求出平均数和EX,比较即可.【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A,由题意知， 李明在该场比赛中超过06的场次有：主场2,主场3,主场5,客场2,客场4, 共计5场,）=A0.6所以李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率P （,同理B的概率为事件0.6, 一场不超过0.6）设李明的投篮命中率一场超过2 （.,客场命中率超过0.6的概率可知，李明主场命中率超过0.6的概率, 一;=P） P） +PX （1 -故 P （B） =PX （11212（3

17、） = （12+8+12+12+8+7+8+15+20+12） =11.4 - _EX=-17. （14分）（2014?北京）如图，正方形AMDE的边长为2, B, C分别为AM, MD的中点，在五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD, PC 分别交于点G, H.（1）求证：AB/7FG；（2）若PA_L底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小，并 求线段PH的长.）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（1【分析】为正方形,建立如图的空间直角坐标系,底面AMDEPA_L底面ABCDE （2）由于 的法向ABF,及向量BC的坐标，设平面，E,

18、P. FBAxyz,分别求出A, C,运 用a ABF所成的角为z）,求出一个值，设直线BC与平面（量为n=x, y, « 入 ，用，V 再设，wvH； Q设（u,）求出角cossina= |,的坐标，再运用空间两点的距离，求出n的坐标，再由 =0 X和HH表示的长. PH 公式求出的中点，）证明：在正方形（【解答】1AMDE是中，:BAM，ABDE, 乂TAB?平面 PDE,，AB平面 PDE, TAB?平面ABF,且平面ABFA平面PDE=FG, ABFG；(2)解：:PA，底面 ABCDE, APA1AB, PA±AE,如图建立空间直角坐标系Axyz,则A (0, 0

19、, 0),B (1, 0, 0), C (2, 1, 0), P (0, 0, 2),一(0, 1, 1), 0E (, 2, 0), F，则)，y, z设平面ABF的法向量为=(x ,B|J令 z=l,则 y= - 1,= (0, - 1, 1),设直线BC与平面ABF所成的角为a ,则,=:sin a = cos< ,> I _J直线BC与平面ABF所成的角为，一«,上，可设，;)H在棱PCH设(u, v, w的是平面 ABF, w=2 - 2 人,: 9，=，-2)(2, 1, - 2) u=2 ' , v= wu 即(， V,法向量，H ( ), =022

20、 A, 1 - 1, ) ? ( , , -2 人)，解得人=工，(.*, =0 即0, x£ 2014?北京)已知函数 f (x) =xcosx - sinx (18. 13 分)(；Of (x) W (1)求证：的最小值.的最大值与bb对x£ (0,)上恒成立，求a (2)若aVV 一), - xsinx,判定出在区间£ (0 -【分析】(1)求出f ' (x) =cosx - xsinxcosx=_)W (上单调递减，从而仅-xsinxVO,得f (x)在区间W0, =Jt f' (x) 一 .=0 (0) f0" < &qu

21、ot; bx “Vb" 等价于"sinxa" 时，” >等价于 "sinx ax>0”, ) (2 当 x>0求出函数的最值，ccx,通过求函数的导数讨论参数x) =sinx-构造函数g (的最 值.，ab进一步求出得-sinx (x) =xcosx【解答】解：(1)由f, -xsinxxsinx - cosx=f' (x) =cosx -,xsinx<Of (x) =-0此在区间£ (,)上一上单调递减，x)在区间£0,所以f (一. (0) =0x 从而 f ()0" Vbx 等价于 “s

22、inx-b” 0”“sinx "时，>a” 等价于-ax>, " VOx)(2 当, 一)(, 则 一)(令 gx=sinxcxg' x=cosxc当cWO时，g (x) >0对x£ (0,)上恒成立，_”'|c21 时，因为对任意 x£ (0,), g' (x) =cosx - c<0» _所以g (x)在区间0,上单调递减，_从而，g (x) <g (0)=0对任意x£ (0,)恒成立，_ 当OVcVl时，存在 唯一的 (0,)使得 g' (x) =COSX - C=0

23、, _ ooo g (x)与 g' (x)在区间(0,)上的情况如下：_X)X (0, oX o)X, ( o&'(X)+)g(Xt1因为g (x)在区间(0, x)上是增函数，0所以g (x) >g (0) =0进一步g (x) >0对任意x£(0,)恒成立，q_即V当且仅当综上所述当且仅当 时，g (x) >0对任意x£ (0,)恒成立，当且仅当cl时，g (x) V0对任意x£ (0,)恒成立，所以若aVVb对x£ (0,)上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为一122=42yx, +14 (分)(2014

24、?北京)已知椭圆 C： 19.(1)求椭圆C的离心率(2)设。为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA_LOB,求直 22=2的位置关系，并证明你的结论.+线AB与圆xy【分析】(1)化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半 焦距，则椭圆的离心率可求；(2)设出点A, B的坐标分别为(x, y), (t, 2),其中xWO,由OAJ_OB得ooo的横B,用含有，用坐标表示后把tA点的坐标表示，然后分A 到22的距AB的圆心到=2y+x的方程，然后由圆AB坐标相等和不相等写出直线22=2相切.+AB与圆xy离和圆的半径相等说明直线22.的标准方程为，得椭圆Cx+2y

25、=4【解答】解：(1)由22222. =2c "=a，a=4, bb=2,从而因此 a=2, c=-；6=故椭圆C的离心率22相切.=2+ (2)直线AB与圆xy证明如下：设点A, B的坐标分别为(x, y), (t, 2),其中xWO. oooVOAlOB,tx ,即 .+2y=0,解得 00 -.，代入椭圆C的方程，得当x=t时，0 _ -.AB的距离d=,圆心O到直线故直线AB的方程为x=22=2相切.+y此时直线AB与圆x.d二AB的距离圆心O到直线, 时，直线AB的方程为 当xWto B|J (y - 2) x - (x - t) y+2x - ty=O. oooot= ，

26、又 _=故22=2相切.+y此时直线AB与圆x20. (13 分)(2014?北京)对于数对序列 P： (a, b), (a, b),，(a, b), nnzui 记 T (P) =a+b, T (P) =b+maxT (P), a+a+a) (2<kWn),其中 klZlkklkll max:T (P), a+a+a表示T (P)和a+a+a两个数中最大的数,kknkiknz- ( I ) 对于数对序列 P：(2, 5), (4, 1),求 T (P), T (P)的值；2i) d, c (, ) b, a 对于由两个数对(四个数中最小的数，d, c, b, a为m (H)记.组成的数对序列P： (a, b), (c, d)和P' ： (c, d)