ch9-4-3二阶常系数非齐次方程新ppt课件

1、三、二阶线性常系数微分方程的解法三、二阶线性常系数微分方程的解法0 qyypy二阶线性常系数齐次方程的标准形式二阶线性常系数齐次方程的标准形式)(xfqyypy 二阶线性常系数非齐次方程的标准形式二阶线性常系数非齐次方程的标准形式1.1.二阶常系数齐次线性方程的通解二阶常系数齐次线性方程的通解0 yqypy)1(分析：分析：，不妨设不妨设xey 式式，代代入入)1(，02 xxxqeepe ，由于由于0 xe 则有则有02 qp )2(定定义义的的称称为为方方程程特特征征方方程程00 2 yqypyqp 的的根根称称为为特特征征方方程程特特征征根根02 qp 情形情形1，042 qp的实根：的

2、实根：特征方程有两个不相等特征方程有两个不相等21 于是，于是，有两个特解：有两个特解：方程方程0 yqypy，xxeyey 211并并且且)x(xxeee2121 不不是是常常数数，的的通通解解为为因因此此方方程程0 qypyyxxeCeCy2121 的两个根为的两个根为易知易知02 qp 2422 , 1qpp 情情形形 2，042 qp实根：实根：特征方程有两个相等的特征方程有两个相等的 21于于是是，有一个特解：有一个特解：方程方程0 yqypyxey 1，下下面面寻寻找找另另一一个个特特解解2y不为常数不为常数且要求且要求12yy，设设)(12xuyy ，即即)(2xueyx 则则，

3、)(2uueyx ，)2(22 uuueyx ，得得代代入入方方程程0 qypyy，0)()2( 2 uqeuupeuuuexxx 即即，0)()2(2 uqpupuex 由于由于，02 qp ，02 p 则有则有0 u，不妨取不妨取xu 则则另另一一个个特特解解为为xxey 2的的通通解解为为从从而而方方程程0 qypyyxxxexCCxeCeCy )(2121 情情形形 3，042 qp根根：特特征征方方程程有有一一对对共共轭轭复复)0(2 , 1 i于于是是，有两个特解：有两个特解：方程方程0 yqypy，xiey)(1 xiey)(2 利用欧拉公式：利用欧拉公式： sincosiei

4、于于是是，xixeey 1，)sin(cosxixex xixeey 2，)sin(cosxixex 而而)(2121yy ，xex cos )(2121yyi ，xex sin 且且xxexexx cotsincos 不不是是常常数数的的通通解解为为因因此此0 qypyy)sincos(sincos2121xCxCexeCxeCyxxx 求求解解步步骤骤：二二阶阶常常系系数数齐齐次次方方程程的的；写出方程的特征方程写出方程的特征方程0)1(2 qp 求求出出特特征征方方程程的的根根；)2(同同情情况况写写出出方方程程的的通通解解）根根据据特特征征方方程程根根的的不不（3特特征征方方程程的的根

5、根微分方程的解微分方程的解21 xxeCeCy2121 21 xexCCy )(21 i 2, 1)sincos(21xCxCeyx 解解求下列方程的通解或特求下列方程的通解或特例例1；032)1( yyy；，2402)2(00 xxyyyyy054)3( yyy解解)1(，特征方程特征方程0322 特特征征根根：，3121 所所以以通通解解为为xxeCeCy321 )2(，特征方程特征方程0122 特特征征根根：121 所所以以通通解解为为xexCCy)(21 代入通解中，得代入通解中，得将将40 xy；41 C从从而而xexCy)4(2 即有即有，)4(22CxCeyx 得得代代入入20

6、xy62 C于于是是所所求求特特解解为为xexy)64( ，特征方程特征方程0542 特特征征根根：i 22, 1 所所以以通通解解为为)sincos(212xCxCeyx )3(系系数数齐齐次次可可推推广广到到一一阶阶或或高高阶阶常常注注,法法利利用用特特征征根根求求通通解解的的方方线线性性方方程程的的求求解解中中求解一阶方程求解一阶方程例如例如03 yy，特征方程特征方程03 特征根特征根3 因因此此通通解解为为xCey3 ，的的钉钉子子上上一一链链条条挂挂在在一一个个无无摩摩擦擦一一边边假假定定运运动动开开始始时时链链条条自自米，米，垂下垂下 8米米，另另一一边边垂垂下下 10需多少时间

7、？需多少时间？试问整个链条划过钉子试问整个链条划过钉子解解度度为为链链条条垂垂下下较较长长一一边边的的长长设设在在时时刻刻 t米，米，s，链条的线密度为链条的线密度为 则有则有gsgs )18( 18 22ddts即即)9(9dd22 sgts初始条件：，10)0( s，0)0( s例例2ss 18，令令9 sx，且有且有22tstxdddd22 则则方方程程化化为为xgtx9dd22 二阶常系数齐次微分方程二阶常系数齐次微分方程其其通通解解为为ttggeCeCx3321 即即ttggeCeCs33219 由由初初始始条条件件：，10)0( s，0)0( s可得可得，2121 CC ttgge

8、es33219于于是是从从而而有有01)182(332 tgtgese)1)9(932 ssgtln(时时，当当18 s)549ln(3 gt2. 2. 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程)( xfyqypy )3(求求通通解解的的步步骤骤：；的通解的通解求对应齐次方程求对应齐次方程)(0)1( xyyqypyc ；的的一一个个特特解解求求方方程程)()()2( xyxfyqypyp 写写出出通通解解)()()3(xyxyypc 解解为为几几种种函函数数时时的的方方程程特特数数法法”，求求下下面面介介绍绍利利用用“待待定定系系)(xf)()(1xPexfmx 类类型型)(次次多多

9、项项式式是是为为常常数数，mxPm 分析：分析：的一个特解形式为的一个特解形式为假设方程假设方程)3(，xpexQy )(是待定多项式）是待定多项式）（其中（其中)(xQ有有，)()(xQxQeyxp ，)()(2)( 2xQxQxQeyxp ，得得代代入入方方程程，将将)3( pppyyy)()()()()(2)( 2xQqexQxQpexQxQxQexxx 化化简简，得得)(xPemx 的的根根，不不是是特特征征方方程程若若0) i (2 qp 次多项式次多项式为为则则)()(xQmxQm的的单单根根，是是特特征征方方程程若若0)ii(2 qp 化为化为则方程则方程)4()()()2()(

10、 xPxQpxQm 0111.)(bxbxbxbxQmmmmm 011,.,bbbbmm 代代入入方方程程，确确定定系系数数从从而而求求得得方方程程的的特特解解xmpexQy )( 可可令令次次多多项项式式必必是是mxQ)( )()()()()2()(2 xPxQqpxQpxQm )4()( xPeyqypymx 特特征征方方程程02 qp ，其中其中xmkpexQxy )( 的的一一个个特特解解形形式式为为，则则方方程程若若)3()()(xPexfmx 结结论论)()(2xQxxQm 则则可可令令)()( xPxQm 的重根，的重根，是特征方程是特征方程若若0)iii(2 qp 化为化为则方

11、程则方程)4(则则可可令令)()(xQxxQm xmpexQxy )( xmpexQxy )(2 是是特特征征重重根根是是特特征征单单根根不不是是特特征征根根 2,10k求方程通解求方程通解例例 3；12)1( xyy解解，对对应应齐齐次次方方程程0 yy，特征方程特征方程02 ，特征根特征根10 则齐次方程的通解为则齐次方程的通解为xceCCy21 设设特特解解形形式式为为，则则baxyp 2，ayp2 代入原微分方程，代入原微分方程，将将 pppyyy得得12)2(2 xbaxa比较系数，得比较系数，得22 a12 ba，解解得得1 a，3 b所所得得特特解解为为xxyp32 因因此此所所

12、求求通通解解为为xxeCCyx3221 ，)(baxxyp ，对应齐次方程对应齐次方程032 yyy，特征方程特征方程0322 ，特征根特征根13 则则齐齐次次方方程程的的通通解解为为xxceCeCy231 ，设特解形式为设特解形式为xxpaeexay220 ，则则xpeay22 ，xpeay24 代入原微分方程，得代入原微分方程，得，xxxxeeaeaea2222344 由此可知：由此可知：51 a所以特解为所以特解为xpey251 因而所求通解为因而所求通解为xxxeeCeCy223151 ；xeyyy232)2( ，对应齐次方程对应齐次方程02 yyy，特征方程特征方程0122 两重两重

13、特征根特征根)(1 则齐次方程的通解为则齐次方程的通解为xcexCCy)(21 ，设特解形式为设特解形式为xpebaxxy)(2 23223bxaxbxaxeyxp ，2)46()6(23 bxbaxbaaxeyxp 则则代入原微分方程，得代入原微分方程，得26baxex xxe2 比较系数，得比较系数，得26 a02 b，解得解得31 a0 b求求得得特特解解为为xpexy331 因因此此所所求求通通解解为为xxexexCCy32131)( ，2)3(23bxxbaaxex xexyyy22)3( 的的一一个个特特解解求求方方程程例例xexyyy264 解解 py设设bax ，xexc2 则

14、则，xxpexcecay222 ，xxpexcecy2244 代入方程，得代入方程，得，xxxxxxexcxebaxexcecaexcec222222 6244 即即xxexaxbaec22665 比较系数，得比较系数，得15 c16 a06 ba解得解得，61 a，361 b，51 c所所以以特特解解为为xpexxy25136161 ，特特征征方方程程062 ，特特征征根根32 叠加原理叠加原理满满足足初初始始条条件件求求方方程程例例xxeeyyy 250)0(0)0( yy，的的特特解解解解对应齐次方程对应齐次方程，02 yyy，特征方程特征方程0122 ，两两重重特特征征根根：)(1 齐

15、次方程的通解为齐次方程的通解为xcexCCy )(21 py设设xea，xexb 2则则，xxxpebxebxeay 22，)24(2 bbxbxeeayxxp 代入所给方程，得代入所给方程，得，xxxxeeebea 24，得得比比较较两两端端同同类类项项的的系系数数14 a12 b，解得解得41 a21 b得到一个特解为得到一个特解为xxpexey 22141于是所给方程的通解为于是所给方程的通解为xxxexexCCey 2212141)(，得得由由0)0( y；411 C而而xxxxxxeexeeCxCCey 22212141)(，得得代代入入0)0( y212 C因因此此所所求求特特解解

16、为为xxxexexey 22141)21(21sin)(cos)()(2xxPxxPexfmlx 类类型型次次多多项项式式次次及及分分别别为为、其其中中mlxPxPml)()(其特解形式可设为其特解形式可设为sin)(cos)(xxRxxQexynnxkp 次多项式，次多项式，分别为分别为、其中其中nxRxQnn)()(即即，是特征根的重数而取是特征根的重数而取按按. 10 ik ,10 是单根是单根不是根不是根 iik；,maxmln 求方程通解求方程通解例例6；xxyy2cos)1( xeyyyxsin54)2(2 解解)1(对应齐次方程对应齐次方程，0 yy，特征方程特征方程012 ，特

17、特征征根根：i 齐齐次次方方程程的的通通解解为为xCxCycsincos21 ，设设xdcxxbaxyp2sin)(2cos)( 则则，xdcxxcxbaxxayp2cos)(22sin2sin)(22cos ，xdcxxcxbaxxayp2sin)(42cos42cos)(42sin4 代入所给方程，得代入所给方程，得，xxxadcxxcbax2cos2sin)433(2cos)433( ，得得比比较较两两端端同同类类项项的的系系数数13 a043 cb03 c043 ad解得解得，31 a，0 b，0 c94 d得得到到一一个个特特解解为为xxxyp2sin942cos31 于于是是，所所

18、求求通通解解为为xxxxCxCy2sin942cos31sincos21 对应齐次方程对应齐次方程，特特征征根根：i 2 齐次方程的通解为齐次方程的通解为)sincos(212xCxCeyxc ，054 yyy，特征方程特征方程0542 设特解为设特解为则则，sin)2(cos)2(2xaxbxbxbxaxaeyxp ，sin)4324(cos)4324(2 xaxbxabxbxaxbaeyxp xeyyyxsin54)2(2 ，)sincos(2xbxaexyxp 代入所给方程，化简得代入所给方程，化简得，xexaxbexxsinsin2cos222 ，得得比比较较两两端端同同类类项项的的系

19、系数数02 b12 a，解得解得021 ba得到一个特解为得到一个特解为xexyxpcos212 于于是是，所所求求通通解解为为xxexCxCeyxxcos21)sincos(2212 例例7的的通通解解。求求方方程程xexyyyx4cos)1(8622 解：解：对对应应的的齐齐次次方方程程为为086 yyy特特征征方方程程0862 42，特征根为特征根为 齐齐次次方方程程的的通通解解为为xxceCeCy4221 的的特特解解。先先求求方方程程xexyyy22)1(86 xecxbxaxy211211)( 设设代入方程并整理得代入方程并整理得122)46(62111121 xcbxbaxa比较

20、系数得：比较系数得： 1220461611111cbbaa43,41,61111 cba解解得得：方方程程的的特特解解为为xexxxy221)434161( 的的特特解解。以以下下求求方方程程xyyy4cos86 xbxay4sin4cos222 设其特解为设其特解为代入方程并整理得：代入方程并整理得：比较系数得：比较系数得： 082412482222babaxxabxba4cos4sin)248(4cos)248(2222 )4sin34(cos8012xxy 解解得得：解解为为所所以以，原原方方程程的的一一个个特特 21yyypxexxx22)434161( )4sin34(cos801x

21、x 所所以以方方程程的的通通解解为为xexxxy22)434161( )4sin34(cos801xx xxeCeC4221 注注意意：，或或中中含含有有若若xxxf cossin)()1(xyp sin中一定包含中一定包含则特解则特解和和x cos检验：检验：)2(代代入入所所给给方方程程中中，将将所所设设特特解解形形式式py若不可能成为若不可能成为恒恒等等式式，的的形形式式错错则则py步骤：步骤：的带有初始条件的特解的带有初始条件的特解求方程求方程)( xfyqypy ；求求对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解cy)1(利用特征值方法利用特征值方法；解解求所给非齐次方程的特求所给非齐次方程

22、的特py)2(利用待定系数法利用待定系数法；写出所给方程的通解写出所给方程的通解pcyyy )3(利用解的结构定理利用解的结构定理代入初始条件代入初始条件)4(8例例,)()(sin)(0 xdttftxxxf设设)()(xfxf为为连连续续函函数数，求求解：解：原式可改写为原式可改写为 xxdtttfdttfxxxf00)()(sin)(0)0(0 fx时时，得得初初始始条条件件当当两两端端求求导导数数，)()()(cos)(0 xxfxxfdttfxxfx 1)0(, 0 fx得得另另一一初初始始条条件件，上上式式中中，令令两端求导数，得两端求导数，得)(sin)(xfxxf 即即xxfx

23、fsin)()( xdttfx0)(cos对应的齐次方程对应的齐次方程特征方程为特征方程为012 有一对共轭复根有一对共轭复根i 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xCxCycsincos21 ,是是特特征征方方程程的的根根由由于于ii 可可设设方方程程的的特特解解为为)sincos(xBxAxyp 代入方程，得代入方程，得xxAxBsinsin2cos2 比较同类项系数：比较同类项系数： 1202AB满足初值问题满足初值问题所以，所以，)(xf 1)0(, 0)0(sinyyxyy0 yy解得：解得：0,21 BA于是方程的一个特解为于是方程的一个特解为xxypcos21 其通解为其通

24、解为xCxCxxysincoscos2121 代入初始条件，得代入初始条件，得 121)0(0)0(21CyCy21, 021 CC于是，所求函数为于是，所求函数为xxxxfcos21sin21)( 例例10的的反反函函数数是是且且）上上有有二二阶阶连连续续导导数数，在在（设设函函数数)()(, 0)(xyyyxxyxyy 所满足的微分方程所满足的微分方程试将试将)()1(yxx 0)(sin(322 dydxxydyxd满足的微分方程；满足的微分方程；变换为变换为)(xyy 件件）求求变变换换后后满满足足初初始始条条（2的特解。的特解。23)0(, 0)0( yy解：解：）（ 1ydydx

25、1由于由于)1(22ydyddyxd dydxydxd )1(yyy 1)(23)(yy 代入原方程整理得：代入原方程整理得：xyysin (2)对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为xxceCeCy21 xypsin21 非非齐齐次次方方程程的的特特解解为为通解为通解为xxeCeCxy21sin21 由由初初始始条条件件，有有 2321)0(0)0(2121CCyCCy1, 121 CC所求特解为所求特解为xxeexy sin21内容小结内容小结xmexPyqypy )(. 1 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根重根,xmkpexQxy )( 则设特解为则设特解为sin

26、)(cos)(. 2xxPxxPeyqypymlx 为特征方程的为特征方程的 k (0, 1 )重根重根, i xkpexy 则设特解为则设特解为sin)(cos)(xxRxxQnn mln,max 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习思考与练习时可设特解为时可设特解为 xxxfcos)()1 当当xexxxf22cos)()2 当当 xyp xbxacos)( pyxdxcxbxa2sin)(2cos)( xek2 )(xfyy 时可设特解为时可设特解为 xdcxsin)( 1 . (填空填空) 设设四、高阶线性常系数微分方程n阶线性常系数方程的

27、一般形式是阶线性常系数方程的一般形式是)1()(.01)1(1)(xfyayayaynnn 是是一一连连续续函函数数是是常常数数，自自由由项项其其中中，系系数数)(,.,120 xfaaan 齐齐次次方方程程为为)2(0.01)1(1)( yayayaynnn方程，设方程，设类似于二阶常系数齐次类似于二阶常系数齐次xey 方方程程的的解解为为 那那么么xnnxxeyeyey )(2,.,代入方程得代入方程得0).(0111 xnnneaaa 满满足足代代数数方方程程于于是是，当当且且仅仅当当 )3(0.0111 aaannn 是该齐次方程的解是该齐次方程的解时，时，xey ）的的特特征征方方程

28、程。）为为齐齐次次方方程程（称称方方程程（23的的通通解解情情况况表表：阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性方方程程n阶阶常常系系数数齐齐次次线线性性方方程程n001)1(1)( ypypypynnn特特征征方方程程00111 pppnnn 单实根单实根) i (xe 一一个个解解： i 一对单复根一对单复根ii)(xexexx sincos两两个个无无关关解解： 重重实实根根kiii)(个无关解：个无关解：kxkxxxexexxee 12., ik 重复根重复根)iv(个个无无关关解解：k2xexxxexexkxx cos,cos,cos1 xexxxexexkxx sin,sin,sin1 求

29、求下下列列方方程程通通解解例例1；054)1()3()4()5( yyy0)2()4( yy解解)1(，特特征征方方程程054345 特征根：特征根：0 ，重重)3(i 2 所所求求通通解解为为 y)(23210 xCxCCex )sincos(542xCxCex )sincos(5422321xCxCexCxCCx n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每一个根都而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项对应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数且每一项各一个任意常数.nnyCyCyCy 2211通通解解为为注意注意，特征方程特征方程014 特征根：特征根：22442121 而而2222)1( 0)21)(21(22 ，)1(222 , 1i ，)1(224 , 3i 故故通通解解为为 y)22sin22cos(2122xCxCex )22sin22cos(4322xCxCex 0)2()4( yy特征根为特征根为,1（二重复根）（二重复根）（单根）（单根）irr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(54321xxCCxxCCeCyx 解解, 01222345 rrrrr特征方