平面向量与向量方法的应用(竞赛辅导材料)

1、平面向量与向量的方法的应用江西省宁都县宁师中学 廖东明一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心、外心）在中，角所对的边分别为三角形“四心”的向量的统一形式：是的心引理：若是内的一点，则证明：这里只证明（均为正数）作，则容易证明点为的重心于是，所以，同理，所以取，则，练习：1是的_心2是的_心3是的_心是的_心4在内部，则 是的_心是的_心是的_心当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法5所在直线一定通过的_心6所在直线一定通过的_心7所在直线一定通过的_心8已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足（），则点的轨迹一定经过的_心（答案：1重心2内心3外心4垂心（提示：为的

2、垂心因为在内部，所以，所以，同理，又，所以）5内心6重心7垂心提示：设,则，所以）。）8重心提示：，所以，设，则，即因为经过的中点，三点共线，所以的轨迹一定经过的重心）二、三角形形状的判定1为所在平面内一点，且满足，则三角形形状为_三角形1解：由条件，得，即，所以，即所以是等腰三角形2已知非零向量和满足条件，且，则是_三角形2解：设，则为的角平分线；又由得到，所以由得到，所以为等边三角形3在中，是边的中点，角的对边分别为，若，则的形状为_3解：因为是边的中点，所以，所以因为与不共线，所以且，所以，即为等边三角形三、向量分解问题1如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若，则_，_1解：不妨设，

3、则，由于，所以过点作的垂线，与的延长线交于点，则，给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点C 在以O为圆心的圆弧上变动若，其中，则的最大值是_解法：设 ，由可得，即的最大值是解法：以点为坐标原点，为轴，建立平面直角坐标系，则，设（），由可得，的最大值是解法：设，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，由及可知，又，在中，由正弦定理得，的最大值是3为内一点，设，则_3解法一：过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交的延长线于点，则，。因为，所以，所以，所以，所以解法二：因为，所以，即，解得，所以。解法三：建立平面直角坐标系，为轴，为轴，因为，所以，所以且，解得，所以。四、

4、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题1已知，都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角1解：依题意，所以，解得且，所以，所以，因为，所以2 在和中，是的中点，若，则与的夹角的余弦值等于_2解：因为，所以，即因为，所以，即设与的夹角，则有，即，所以3已知的面积为，且，若，则向量与的夹角的范围是_3解：设向量与的夹角为，则因为，所以，所以，所以向量与的夹角的范围是4中，的对边分别为，重心为，若，则_4因为为的重心，所以，所以，因为与不共线，所以设的中点为，则，所以，所以平面向量与向量方法的应用（二）（教师版）一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用1如图，在中，已知，过点作直线交、于、两点，则 _

5、1解：构造基底，则，设，因为点、三点共线，所以（），于是又、不共线，所以且，消去，得，即，所以2 中，为的中点，为边上靠近点的一个三等分点，与交于点，求：与的长度之比；与的长度之比2解：设，因为为的中点，所以因为三点共线，所以存在唯一实数（）使得，因为三点共线，所以存在唯一实数（）使得，即，解得，因为与不共线，所以比较得，解得，所以，所以，二、数量积（或模长）的取值范围（或最值）问题1平面内的向量，点是抛物线（）上任意一点，则的取值范围是_1解：由题意，可设点（），则，所以，因为，所以，所以点评：将表示为关于的函数式，针对该函数式及来求函数的值域多数情况下所得到的函数与二次函数有关，如本例令，

6、则（）注意从函数角度来确定，不要得出错误结论2已知、是两个互相垂直的单位向量，且，则对于任意实数、，的最小值是_ 2解：依题意，且，于是，所以，当且仅当、时上式取得等号，故所求的最小值为，选3 在长方形中，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_3解：由题意得因为为的中点，所以，设（），则，故所求最小值为三、求面积比1设为的边上一点，为内一点，且满足,，则_ 1解 ： 连，则，所以，故，故 故选点评：由且与没有公共点推出，再利用同位角相等和面积公式而使问题简捷获解2设点在的内部，且有，求_2解：延长至，使，延长至，使得，则，所以为的重心显然同理，所以3 设点是内的一点，记，若，则_3解：如图，

7、因为，所以，所以点到的距离是点到的距离的，点到的距离是点到的距离的，所以，所以所以四、求参数或参数和的取值范围或最值1 四边形是边长为的正方形，点在的延长线上，点为内（含边界）的动点，（），则的最大值等于_1解：显然点在线段上（不含点）上无法取得最大值，点在线段上才有可能取得最大值因为，所以点三点共线时，所以，由几何图形知，所以的最大值为，当位于点时取得2 已知点是的重心，点是内一点，若（），则的取值范围是_ 2解：因为点是的重心，点是内一点，若，所以，而点到的距离越大，越大，越小过点作的平行线，观察可知，当点与场合时，当点在上时因为点是内一点，所以的取值范围是3 设两个单位向量、满足、，、的

8、夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围3解：由条件，得，所以由解得，数形结合可得不等式的解为设（），因为、不共线，所以且，得到，即当时向量与向量的夹角为故实数的取值范围为五、平面向量与平面几何的交汇问题1已知为的外接圆的外心、垂心，求证：证明：延长交的外接圆于，连结，则，所以，所以，所以2已知内接于，为的中点，为的重心求证：证明：设，因为为的中点，为的重心，所以，所以（因为）因为，所以为的中垂线，所以所以，故3 设向量，满足：，以，的模为边长构成三角形，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为_3解：，的模为边长构成三角形是一个直角三角形，其内切圆半径当半径为的圆所处的位置正好是三角

9、形的内切圆位置时，三角形与圆只有三个交点，当圆的位置偏离后使得三角形有两条边与圆相交时，能实现4个交点的情况，但5个以上的交点不能实现因此公共点个数最多为个平面向量与向量的方法的应用（一）（学生版）一、用向量表示三角形的“心”（重心、内心、垂心、外心）在中，角所对的边分别为三角形“四心”的向量的统一形式：是的心引理：若是内的一点，则证明：这里只证明（均为正数）作，则容易证明点为的重心于是，所以，同理，所以取，则，练习：1是的_心2是的_心3是的_心是的_心4在内部，则 是的_心是的_心是的_心当你学完正弦定理和余弦定理后，会有更多的表示方法5所在直线一定通过的_心6所在直线一定通过的_心7所在

10、直线一定通过的_心8已知是坐标平面内不共线的三点，是坐标原点，动点满足（），则点的轨迹一定经过的_心二、三角形形状的判定1为所在平面内一点，且满足，则三角形形状为_三角形2已知非零向量和满足条件，且，则是_三角形3在中，是边的中点，角的对边分别为，若，则的形状为_三、向量分解问题1如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若，则_，_给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动若，其中，则的最大值是_3为内一点，设，则_四、向量间的夹角（余弦值）或夹角范围问题1已知，都是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角2 在和中，是的中点，若，则与的夹角的余弦值等于_3

11、已知的面积为，且，若，则向量与的夹角的范围是_4中，的对边分别为，重心为，若，则_平面向量与向量方法的应用（二）（学生版）一、平面向量基本定理与向量共线定理的应用1如图，在中，已知，过点作直线交、于、两点，则 _2 中，为的中点，为边上靠近点的一个三等分点，与交于点，求：与的长度之比；与的长度之比二、数量积（或模长）的取值范围（或最值）问题1平面内的向量，点是抛物线（）上任意一点，则的取值范围是_2已知、是两个互相垂直的单位向量，且，则对于任意实数、，的最小值是_ 3 在长方形中，为的中点，若是线段上动点，则的最小值是_三、求面积比1设为的边上一点，为内一点，且满足,，则_ 2设点在的内部，且有，求_3 设点是内的一点，记，若，则_四、求参数或参数和的取值范围或最值1 四边形是边长为的正方形，点为内（含边界）的动点，