勾股定理的证明和应用

1、第3章勾股定理知识结构:(D直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方(2)勾股定理的验证 用拼图法,借助面积不变的关系来证实1.勾股定理1 .在直角三角形中两边求第三边(3)应用2 .在直角三角形中两边求第三边上的高(1)如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三 角形勾股定理2.勾股定理的逆定理(2)勾股数1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为勾 股数(1) 3,4,52.常见的勾股数(2) 5,12,13(3) 8,15,17求几何体外表上两点间的最短距离(1)勾股定理的简单应用解决实际应用问题3.应用(2)勾股定理逆定理的应用3.1 勾股定理一

2、、求网格中图形的面积求网格中图形的面积,通常用两种方法：割或补.二、勾股定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.拓展延伸：(1)勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系, 这一前提.判定某个三角形是否为直角三角形所以必须注意在直角三角形中(2)勾股定理主要用于求线段的长度,因此,遇到求线段的长度问题时,首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边,然后利用勾股定理求解.三、勾股定理的验证运用拼图的方式,利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理.3.2勾股定理的逆定理一、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.注意：(1

3、)还没确定一个三角形是否为直角三角形时,不能说 斜边“直角边(2)不是所有的c都是斜边,要根据题意具体分析.当满足a2+b2=c2时,c是斜边,它所对的角是直角.勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别,又有联系,如下表所示：勾股定理勾股定理的逆定理条件在 RtAABC 中,/ C=90 , a, b, c分别为/ A, / B, / C的对边在4ABC 中,a2+b2=c2, a, b, c 分别为/ A, / B, / C的对边结论a2+b2=c2ZC=90勾股定理是以个三角形是直角勾股定理的逆定理是以、个三角形的区别三角形为条件,进而得到 这个三三边满足a2+b2=c2为条件,进而得到角形

4、的三边满足a2+b2=c2,即由形“到数这个三角形是直角三角形,即由 数到形联系都与个三角形的三边关系 a2+b2=c2及 直角三角形有关二、勾股数满足关系a2+b2=c2的3个正整数a, b, c称为勾股数.详解：(1)如：32+42=52,所以3,4,5是一组勾股数,常见的勾股数有3,4,5; 5,12,13; 6,8,10等.(2)勾股数必须是正整数.(3) 一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数.(4)记住常用的勾股数可以提升做题速度.3.3勾股定理的简单应用一、勾股定理的应用运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题.在应用勾股定理解决实际问题时,应先构造出直角三角形,然后

5、把直角三角形的某两条边表示出来.注意：应用勾股定理解决实际问题时,先弄清直角三角形中哪边是斜边,哪两条边是直角边,以便进行计算或推理.对于实际问题,应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直 角三角形,以便正确运用勾股定理.二、勾股定理的逆定理的应用在日常生活中,经常遇到要求一些不规那么图形的面积问题.解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题.有时图形中并没有明显地给出直角三角形,但是其中一些的边长满足直角三角形的条件,所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决.【勾股定理的证实】 例1 如图,是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形,两个小直角三角 形直角边长分别为

6、a和b,斜边为c,大直角三角形直角边都为 c,请你动动脑筋,将它们拼成一个能证实勾股定理的图形.(1)画出所拼图形的示意图,说出图形的名称.(2)用这个图形证实勾股定理.例2 数学实验室: 实验材料：硬纸板、剪刀、三角板实验方法：剪裁、拼图、探索实验目的：验证勾股定理,拼图填空.操作：剪裁出假设干个全等的直角三角形,三边长分别记为a、b、c,如图.(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片,拼成如图、图的形状,观察图、图可发现,图中两个小正方形的面积之和 图中小正方形的面积(填 大 于“小于“等于“)用关系式可表示为 ;(2)拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图的形状,观察图形可以发现,图中共有

7、3个正方形,它们的面积按大小顺序分别记为S大、S中、S小,其关系是 用a、b、c可表示为;(3)拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图的形状,图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为 S大、S中、S小,其关系是 ,用 a、b、c可表示为.(思考题)如图,在4ABC中AB 2=AC 2=3, D是BC上一点,且AD=1 ,贝U BD?DC=【勾股定理的应用】例1(根底题)利用勾股定理求三角形的边长 ABC中,/ C=90 , AB=c , AC=b (c为斜边、a、b为直角边)(1)如果 a=7, b=24,求 c；(2)如果 a=15, c=17,求 b.例2 直角三角形的一边和另外两边的关系,求

8、另外两边的长填空：(1)直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:5,这条直角边的长是12,那么斜边长(2)在 RtA ABC 中,/C=90 , Z B=60 , b=6 (c 为斜边,a、b 为直角边)贝U c=利用勾股定理说明边的关系如图,AD是4ABC的中线,试说明:AB2 + AC2=2(AD 2+ CD2)利用勾股定理求面积：如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC = 6cm,直线折叠,使它落在斜边 AB上,且点C落到E点,例5求等腰三角形底边上的高如图,在 4ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD 是BC边上的中线,求 AD的长.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形

9、a、b、c为4ABC的三边,且满足a2+b2+ c2+ 338=10a + 24b + 26c试说明:这个三角形是直角三角形.勾股定理及其逆定理的综合应用:(1)如图,.四边形ABCD中,AB=3 ,BC=4 , CD=12, AD=13 ,ZB=90 ,求四边形 ABCD的面积.(2)、以下几组数中是勾股数的是1 32、42、52 5、12、13 一、3 (填序号)11 小、一 0.9、1.2、1.545BC=8cm,现将直角边.AC沿E求AACD的面积是多少？B(3)如图,在 RtAABC中,/ ACB = 90, AD、BE、CF分别是三边上的中线.假设 AC=1, BC=V2.求证：A

10、D2+CF2=BE2;是否存在这样的ABC ,使得它三边上的中线 AD、BE、CF的长恰好8是一组勾股数请说明理由.(提示：满足关系 a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数.)例8 构造直角三角形求角的度数如图,在 4ABC 中,/ ACB=90 , AC=BC , P是4ABC 内的一点,且 PB=1 ,PC=2, PA=3.把 ACP绕C点逆时针旋转90使点A和点B重合,得到四边形 ABDC,求/ BPC的度数.例9勾股定理在实际生活中的应.用A市接到台风警报时,台风中央位于A市正南方向125 km的B处,正以15km/h的速度沿BC方向移动.(1)A市到BC的距离AD=35 k

11、m ,那么台风中央从 B点移到D点经过多长时间？(2)如果在距台风中央 40 km的圆形区域内都将受到台风影响,那么A市受到台风影响的时间是多长(结算结果精确到1分钟)?例10最短路径问题1、有一圆柱体如图,高 4cm,底面半径5cm, A处有一蚂蚁,假设蚂蚁欲爬行到蚁爬行的最短距离2、如图1,长方体的长为 20,宽为10,高为25,点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少3、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为2cm. A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点 B处去吃可口的食物,那么蚂蚁沿着台阶面爬行到点B

12、的最短路程4、如下图：有一个长、宽都是 2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从 A点爬到B点,那么这只蚂蚁爬行的最短路径为米.C处,求蚂520cm、 3cm、圈1总结1:利用勾股定理求最短路径问题都转化为两个方面:1两点之间线段最短；2垂线段最短.总结2:利用勾股定理求最短路径问题一般步骤:4用勾股定理求1画出展开图；2确定点的位置；3连接线段；解.简化步骤 是：画图 定点 连线 求解 注意：如果不是两个相对顶点 的最短路径,不能用之前给的公 式去求解.例11 探究题1、探索与研究：方法1:如图a,对任意的符合条件的直角三角形绕其锐角顶点旋转90.所得,所以/BAE=90,且四边形ACFD是一个正方形,它的面积和四边形ABFE面积相等,而四边形ABFE面积等于RtABAE和RtABFE的面积之和,根据图示写出证实勾股定理的过程;方法2:如图b,是任意的符合条件的两个全等的RtABEA和RtAACD拼成的,你能根据图示再写一种证实勾股定理的方法吗2、：在RtAABC中, /C=90 / A、/ B、/ C 所对的边分别记作a、b、c.如图1,分别以4ABC 的三条边为边长向外作正方形,其正方形的面积由小到大分别记作&、S2、S3,那么有S1 + S