几何证明角平分线模型中级

1、几何证实一一角平分线模型(中级)【知识要点】1、角平分线：(1)角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用：证实两条线段相等)；(2)逆定理：在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上.(作用：证实两角相等或一条射线是一个角的角平分线).2、角平分线常见用法(或辅助线作法)：垂两边：如图1,BP平分 ABC,过点P作PA AB, PC BC ,那么PA PC.截两边：如图2,BP平分 MBN,点A BM上,在BN上截取BC BA,那么 ABP CBP.角平分线+平行线一等腰三角形：如图3,BP平分 ABC, PA/AC,那么AB 如图4,BP平分 ABC, EF

2、/PB,那么BE bCLn CN(1)(2)(3)(4)三线合一(利用角平分线 +垂线一等腰三角形)：如图5,AD平分 BAC,且AD BC ,那么ABA ./ BD(5) 3、角平分线比例定理 如图6, AD为 ABC的角平分线,那么 幽 型或幽 AC CD BDAP ;BF o/A(C 了 FAC , BD CD oA* zABDC(6)例1、如图,ABC中,BC AC, AD平分 CAB ,假设C 90,求证：AB AC CD；2、如图,在Rt ABC中,ACB 90 , CD AB 于 D, AF 平分 CAB 交 CD 于 E ,交 CB 于 F ,且EG / AB交CB于G.试求：

3、CF与GB的大小关系如何?3、如图,ABC中,BC AC, AD平分 CAB ,假设 C 108 ,求证：AB AC BD ；B例4、如图：I是 ABC的内心,DI/AB交BC于点D , EI /AC交BC于E.求证： DIE的周长等于BC .例5、如图：在 ABC中, ABC的平分线与 ACB的外角平分线交于点 D, DE / BC,交AB于 点E ,交AC于点F ,求证：EF BE FC .例6、如图,求证：BEAABC中 BAC 90 ,AB AC,CD垂直于 ABC的平分线BD于D , BD交AC于E ,2CD.【提升练习】1、如图, ABC的周长是21,OB,OC分别平分 ABC和

4、ACB , OD BC于D ,且OD 3,求ABC的面积.A2.如图,AABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60.其三条角平分线交于点O,那么Saabo： Sa BCO ：Sa cao=.3.如图,/ AOB=30° , OP 平分/ AOB ,PC/OB, PDXOB ,如果 PC=6,那么 PD 等于4 .如图,AD是AABC的角平分线, DFLAB ,垂足为F, DE=DG , AADG和AAED的面积分别为 50和39,求 EDF的面积.5 .如图在 AABC中,/ ACB=90° , CD LAB于D, / A的平分线交 CD于F, BC于E,过点 E

5、作EH LAB 于 H .求证：EC=CF=EH .6.：如图,平行四边形 ABCD各角的平分线分别相交于点E, F, G, H,求证：四边形 EFGH是矩形.7 .如图,等边 AABC中,AO是/ BAC的角平分线,D为AO上一点,以CD为一边且在 CD下方作等边 ACDE, 连接BE.(1)求证：ACDABCE;(2)延长BE至Q, P为BQ上一点,连接 CP、CQ使CP=CQ=5 ,假设BC=8时,求PQ的长.8 .如图,在 AABC中,/ B=90° ,两直角边 AB=7 , BC=24 ,在三角形内有一点 P到各边的距离都相等,那么这个距离是多少?9 .：如图在 AABC

6、中,/ C=90° , AD 平分/ BAC,交 BC 于 D,假设 BC=32,且 BD : CD=9 : 7,求：D 到AB边的距离.10.如图,AABC中,点D在BC上,记 AABD的面积为 是AABC的角平分线.请说明理由.Si, AACD 的面积为 S2,假设 S1: S2=AB : AC ,那么 AD11、如图,在 ABC中,分别以AC,BC为边向外作正 BCE、正 ACD , BD与AE交于M ,求证:(1) AE BD.(2) MC 平分 DME.12、：如图,APMBN的平分线.CP分别是 ABC外角 MAC和CNCA的平分线,它们交于点 P,求证：BP为13、如图

7、, AB 2AC, BAD DAC, DA DB ,求证：DC AC.14、如图, AC / BD、EA、EB分别平分CAB和 DBA,CD 过点 e,求证：AB AC BD.15、如图,ABC中,AD是 A的平分线,E, F分别为AB, AC上一点,且 EDF BAF 180 ,求证：DE DF oABC16、：AC 平分 BAD, CE AB, B D 180 ,求证：AE AD BE.17、,在 ABC中,BP、CP为角平分线,过 求证：EF BE CF .P点作EF BC交AB于E ,交AC于F.18、如图, AD平分 BAC, AC AB BD ,求证： B 2 C.1 .、19、如

8、图,在四边形 ABCD中,AC平分 BAD,过C作CE AB于E,并且AE -(AB AD),求 2证：ABC ADC 180.DCA20、 ABC中,AB AC , GE过A且GE BC ,B的平分线与 AC和GE分别交于D、E, C的平分线与 AB和GE分别交于F、G.求证DE FG.1 一21、如图,线段 AB / CD , AD与BC相交于点F, BE平分 ABC, AE AD ,猜测线段 AB、 2BC、CD三者之间有怎样的等量关系 ？请写出你的结论并予以证实.22、如图, ABC 中,CE 平分 ACB,且 AE CE , AED CAE 180 ,求证：DEBC.23 .如下图,

9、在四边形 ABCD中,/ A=90°, AD=4 ,连接 BD , BDLCD, / ADB= /C.假设P是BC边上一动 点,那么DP长的最小值为.24 .如下图,过线段 AB的两个端点作射线 AM、BN ,使AM / BN , / MAB和/ NBA的平分线交于点 E,过 点E作一直线垂直于 AM ,垂足为点 D ,交BN于点C.(1)观察DE、EC,你有什么发现？请证实你的结论；(2)请你再研究 AD+BC与AB的关系,并给予证实.25.:如下图,AQ , BM,CN是AABC的三条角平分线.试说明AQ, BM , CN交于一点.326.如图, ABC 中,/ C=90

10、6;,AD是角平分线,AC=8 , AD=,求/ B、BC、AB .27.如图,/ BAC=90° , ADLBC 于点 D, /1 = /2, EF II BC 交 AC 于点 F.试说明 AE=CF .£28.如图,点 B, C分别在射线 AN, AM上,/ MCB与/ NBC的平分线交于点 P.(1)求证：AP平分/ BAC ;(2)假设/ ACB=90 , PC=4&,PB=5 , AB=7 ,求 AP 的长.29 .如图,AABC 中,AC=BC , AD 平分/ BAC ,假设 AC+CD=AB ,求/ C 的度数.30 .如图,在 AABC 中,/ C

11、=90° , M 为 AB 的中点,DM ±AB , CD 平分/ ACB ,求证：MD=AM31 .如图, ABC中,D为BC的中点,DELBC交/ BAC的平分线于 E, EF,AB ,交 AB于F, EG,AC ,交 AC的延长线于 G,试问：BF与CG的大小如何？证实你的结论.32 .：点 P为/ EAF平分线上一点, PBXAE于B, PCXAF于C,点M、N分别是射线 AE、AF上的点,且 PM=PN .(1)当点M在线段AB上,点N在线段AC的延长线上时(如图 1),求证：BM=CN ;(2)在(1)的条件下, AM+AN= AC;(3)当点M在线段AB的延长线上时(如图 2),假设AC: PC=2: 1, PC=4,求四边形 ANPM的面积.C N尸 d图1囱233 .：/ DAB=120° , AC 平分/ DAB , / B+/ D=180° .(1)如图 1,当/ B=/D 时,求证： AB+AD=AC ;(2)如图2,当/ BW/D时,猜测(1)中的结论是