D84多元复合函数的求导法则ppt课件

1、 第八章第四节第四节 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数的求导法一、多元复合函数的求导法则则二、多元复合函数的全微二、多元复合函数的全微分分 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 复习回顾复习回顾v 一元复合函数一元复合函数)(),(xuufy求导法则求导法则xuuyxyddddddd( )dyf uu微分法则微分法则( )( )df uxxv 二元复合函数二元复合函数( ),( , )zf uux y求导法则求导法则zxd( )dzf uu微分法则微分法则( )f ud,dzzuyuy若多元复合函数的中间变量不止一个若多元复合函数的中间变量不止一个,ddz

2、u,ux(dd )uuxyxy结果如何结果如何? 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 )(),(ttfz一、多元复合函数的求导法一、多元复合函数的求导法则则定理定理 ,)(, )(可导在点ttvtu),(vufz 处偏导数连续处偏导数连续, ),(vu在点在点 t 可导, tvvztuuztzddddddz则复合函数证明证明:vvzuuzz)()(22vu)(o则相应中间变量且vutt有增量u ,v ,（全导数）（全导数）若函数设 t 取得增量t ,由题设知),(vufz 可微那那么么 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 ,0t令,0,0vu则有to)( 全导数公式全导数公

3、式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o(t0 时,根式前加“”号)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd12ff t )()(22tvtu0 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 推广推广:(1) 中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形. , ),(wvufz 设下面所涉及的函数都可微tzdd321fff(2) 中间变量是多元函数的情形中间变量是多元函数的情形.),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)

4、(, )(, )(twtvtu如如如如yx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 (3) 中间变量既有一元函数又有多元函数的情形中间变量既有一元函数又有多元函数的情形.( , ),( , ),( )zf u vux yvyxz11f 122ff yzzvuyxxuuzyuuzddzvvy如如y 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 又如又如),(, ),(yxvvxfz当它们都具有可微条件时当它们都具有可微条件时, 有有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 这里这里xzxfxz表示表示 f ( x, ( x, y ) )固定固定 y 对对 x 求导求导xf表示表示f

5、 ( x, v )固定固定 v 对对 x 求导求导xfxvvfyvvf与与不同不同vx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 设设,sineyxvyxuvzu.,yzxz求解解:xzvusine)cos()sin(eyxyxyyxyz)cos()sin(eyxyxxyxvusinexuuzxvvzvucoseyuuzyvvzvucosey1 x1 zvuyxyx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2 2 ,sin,e),(2222yxzzyxfuzyxyuxu,求解解:xu222e2zyxxyxyxyxx2422sin22e)sin21(2zyxyxuyu222

6、e2zyxyyxyxyyxy2422sin4e)cossin(2xfxzzf222e2zyxzyfyzzf222e2zyxzyxsin2yx cos2yx 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例3 设设 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtvettttcos)sin(cosetuuzddtvvzddtz求全导数,etu ,costv 解解:tusintcos(4) 多元抽象复合函数求导多元抽象复合函数求导下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导下列几个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号技巧与常用导数符号.推广推广:t 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等

7、数学 212,ffu v 为简便起见为简便起见 , 引入记号引入记号1,ffu1f例例4 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, ),(zyxzyxfw求求.,2zxwxw解解:,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 22yz f 那那么么zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff(,)xyz xyz(,)xyz xyz令令 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 1f xzye1f 2f yxz2ye()eyx13f yxe 21f23f 例例5 5 设设x( , ,

8、),eyzf u x yux，yxuyxz12,ff 全微分全微分其中其中f f偏导数，求偏导数，求2.zx y 解解: 具有二阶连续的具有二阶连续的ey2111132123eeeeyyyyfxffxff11f y 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、多元复合函数的全微分二、多元复合函数的全微分设函数设函数),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分为的全微分为yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv则复合函数则复合函

9、数) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微都可微, , 其全微分表达其全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性. 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例1 ,sineyxvyxuvzu.,yzxz求)cos()sin(e yxyxyx例例 6 利用全微分形式不变性再解例利用全微分形式不变性再解例1解解: :) (dd zuvudsine)cos()sin(eyxyxyyx)cos()sin(eyxyxyxzyx)cos()sin(eyxyxxyzyx所以所以vusinevvudcose)cos()sin(e yxyxyx

10、)(dyx)(dyx )cos()sin(eyxyxxyx)d(dyxxdyd)dd(yxxy 练习练习例1 dddzzzxyxy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1 复合函数的求导法则复合函数的求导法则如如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22 全微分形式不变性全微分形式不变性, ),(vufz 对不论不论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(dxy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 思考与练习思考与练习解答提示解答提示:P31 题题7vz211(

11、)xy1 xvxzyzyv)(2yx) 1(y1211( )xy22yxxy22vuuP31 题题7; 8(2)vuyvuxyxz,arctanzyxvuvu 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 P31 题题8(2)xuy11f 11fyyu1f )(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,fyx zy 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 ,1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy1 知知求.),(22xyyxf解解:1),(2xxf两边对 x 求导, 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf由 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 2 ) )1 , 1(, 1() 1 (ff3d( )dxx 1)1 , 1 ( f2