共形映射的基本问题

1、6.2 共形映射的基本问题共形映射的基本问题 一、问题一一、问题一 二、问题二二、问题二( (基本问题基本问题) ) 一、问题一一、问题一 的函数的函数 求象集合求象集合 对于给定的区域对于给定的区域 D 和定义在区域和定义在区域 D 上上 , )(zfw . )(DfG 1. 保域性定理保域性定理 定理定理 设函数设函数 在区域在区域 D 内解析，且不恒为常数，内解析，且不恒为常数， )(zfw 则其象集合则其象集合 仍然为区域。仍然为区域。 )(DfG 证明证明 ( (略略) ) 意义意义 保域性定理保域性定理将解析函数的将解析函数的象集合的求解问题象集合的求解问题变成了变成了 求象区域的

2、问题求象区域的问题。 P141定理定理 6.2 GCD一、问题一一、问题一 2. 边界对应原理边界对应原理 定理定理 设区域设区域 D 的边界为简单闭曲线的边界为简单闭曲线 C，函数，函数 在闭域在闭域 )(zfw 上上解析解析，且将曲线，且将曲线 C 双方单值双方单值地映射为简单地映射为简单 CDD 闭曲线闭曲线 .当当 沿沿 C 的正向绕行时，相应的的正向绕行时，相应的 的绕行的绕行 zw方向定为方向定为 的正向，的正向， 并令并令 G 是以是以 为边界的区域，则为边界的区域，则 将将 D 共形映射为共形映射为 G。 )(zfw G1z2z3z1w2w3w1w2w3w证明证明 ( (略略)

3、 ) P141定理定理 6.3 意义意义 边界对应原理边界对应原理进一步将解析函数的进一步将解析函数的象区域的求解问题象区域的求解问题 变成了变成了求象曲线求象曲线的问题的问题。一、问题一一、问题一 2. 边界对应原理边界对应原理 定理定理 设区域设区域 D 的边界为简单闭曲线的边界为简单闭曲线 C，函数，函数 在闭域在闭域 )(zfw 上上解析解析，且将曲线，且将曲线 C 双方单值双方单值地映射为简单地映射为简单 CDD 闭曲线闭曲线 .当当 沿沿 C 的正向绕行时，相应的的正向绕行时，相应的 的绕行的绕行 zw方向定为方向定为 的正向，的正向， 并令并令 G 是以是以 为边界的区域，则为边

4、界的区域，则 将将 D 共形映射为共形映射为 G。 )(zfw 一、问题一一、问题一 3. 求象区域的一般方法求象区域的一般方法 则有则有 设函数设函数 在闭域在闭域 上上解析解析，且为，且为一一映射一一映射。 )(zfw CDD ,)(, )()(tytxuu ,)(, )()(tytxvv (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(yxuu ; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy ( B ) (2) 求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 . , )(tuu . )(tvv 即得象曲线即得象曲线 的方程的方程 ( (参数式参数式) ) , )(txx

5、, )(tyy 若若 C 的方程为的方程为 ( (参数式参数式) ) 由由(A) 式式 补补 由由(B) 式式 ,0),(, ),()( vuvuF 即得象曲线即得象曲线 的方程的方程 ( (方程式方程式) ) .0),( vuF 若若 C 的方程为的方程为 ,0),( yxF( (方程式方程式) ) 一、问题一一、问题一 3. 求象区域的一般方法求象区域的一般方法 则有则有 设函数设函数 在闭域在闭域 上上解析解析，且为，且为一一映射一一映射。 )(zfw CDD (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(yxuu ; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy (

6、 B ) (2) 求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 .(3) 求象区域求象区域 . 方法一方法一 沿边界沿边界 C 的正向找三点，考察象点的走向。的正向找三点，考察象点的走向。 方法二方法二 在区域在区域 D 的内部找一点，考察象点的位置。的内部找一点，考察象点的位置。 注意注意 对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。 一、问题一一、问题一 3. 求象区域的一般方法求象区域的一般方法 则有则有 设函数设函数 在闭域在闭域 上上解析解析，且为，且为一一映射一一映射。 )(zfw CDD (1) 令令 ,viuw ,yixz , ),(yxuu

7、; ),(yxvv ( A ) , ),(vux . ),(vuy ( B ) (2) 求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 .(1) 由由 有有 ,1izw 解解 ,1iwz 则有则有 iviuyix 1,2222iivuvvuu ,viuw ,yixz 令令 .2222vuvvuy ,22vuux )(zCDxy (1) 解解 .2222vuvvuy ,22vuux )(zCDxy (2) 求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 .由由(1) 式式 即得象曲线即得象曲线 的方程为的方程为 曲线曲线 C 的方程为的方程为 ,0 yx,022 vuvu.222121222)()()(

8、 vu)(w1 G(1) 解解 .2222vuvvuy )(zC,22vuux (2) 求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 )(w0z(3) 求象区域求象区域 . 代入函数代入函数 ,1izw 在在 D 的内部取一点的内部取一点 方法一方法一 ,0iz ,210iw 得到象点得到象点 故象区域故象区域 G 在曲线在曲线 的的“内部内部”。 0wDxy 1 G(1) 解解 .2222vuvvuy )(zC 1z2z3z,22vuux (2) 求边界曲线求边界曲线 C 的象曲线的象曲线 )(w(3) 求象区域求象区域 . 在在 D 的边界上取三点：的边界上取三点： 方法二方法二 故象区域故

9、象区域 G 在曲线在曲线 的的“内部内部”。 ,1 z,12iz ,03 z3w1w,01 w,12 w,3iw 后续讨论后续讨论 将会看到将会看到 仅此一步仅此一步 就足够了就足够了 Dxy 1 2w解解 设区域设区域 D 的边界为的边界为 C ， ,e iz 其中其中 .20: (1) 在在 的映射下，的映射下， z iw 曲线曲线 C 对应的对应的 iiwe 其中其中 .222: )2(ei ,e i 象曲线象曲线 的方程为的方程为 即得象区域即得象区域 G 如图所示。如图所示。 G)(w1则则 C 的方程为的方程为 CD)(z1曲线曲线 C 对应的对应的 iwe/1 其中其中 .20:

10、 )(e i,e i 象曲线象曲线 的方程为的方程为 即得象区域即得象区域 G 如图所示。如图所示。 G(2) 在在 的映射下，的映射下， wz1)(w1解解 设区域设区域 D 的边界为的边界为 C ， 则则 C 的方程为的方程为 ,e iz 其中其中 .20: CD)(z1二、问题二二、问题二( (基本问题基本问题) ) 对给定的区域对给定的区域 D 和和 G ，求共形映射，求共形映射 , )(zfw . )(DfG 使使 1. 黎曼存在唯一性定理黎曼存在唯一性定理 设设 D 和和 G 是任意给的的两个单连域，在它们各自的边界是任意给的的两个单连域，在它们各自的边界 定理定理 上至少含有两个

11、点，上至少含有两个点， 则则一定存在解析函数一定存在解析函数 , )(zfw 将区将区 任意指定一点任意指定一点 和和 0z,0w并任给一个实数并任给一个实数 , )(00 要求函数要求函数 )(zfw 满足满足 且且 00)(wzf ,)(arg00 zf映射映射 的函数是唯一的。的函数是唯一的。 )(zfw 则则 域域 D 双方单值双方单值地映射为地映射为 G。 如果在区域如果在区域 D 和和 G 内再分别内再分别 证明证明 ( (略略) ) P143定理定理 6.4 对给定的单连域对给定的单连域 D , 求共形映射，求共形映射， 使得使得 D 映射为单位圆域。映射为单位圆域。 )(w二、

12、问题二二、问题二( (基本问题基本问题) ) 对给定的区域对给定的区域 D 和和 G ，求共形映射，求共形映射 , )(zfw . )(DfG 使使 2. 基本问题的简化基本问题的简化 事实上，由此即可求得任意两个单连域之间的共形映射。事实上，由此即可求得任意两个单连域之间的共形映射。 )(z)( )(zf记为记为 )()(1zghw 附：附：关于存在性与唯一性的补充说明。关于存在性与唯一性的补充说明。 ( (实习实习) ) P140 ( (存在性与唯一性的补充说明存在性与唯一性的补充说明) )附：附：关于存在性与唯一性的补充说明关于存在性与唯一性的补充说明 1. 关于存在性关于存在性 则不存

13、在解析函数则不存在解析函数 , 若区域若区域 D 为下列情形之一：为下列情形之一： (1) 扩充复平面扩充复平面 ; (2) 复平面复平面 ; (3) 扩充复平面上除去一个有限点扩充复平面上除去一个有限点 ,0z使使 D 共形映射为单位圆域。共形映射为单位圆域。 , )(zfw 证明证明 若存在函数若存在函数 将将 D 共形映射为单位圆域共形映射为单位圆域 ,1| w则则 在整个复平面上解析在整个复平面上解析且且 1| )(| zf)(zfw ( (即即有界有界) ), 根据刘维尔根据刘维尔(liouville)定理定理( ( 见见3.4 ) )， )(zf必恒为常数。必恒为常数。 这显然不是

14、所要求的映射。这显然不是所要求的映射。 其中，情形其中，情形 (3) 可利用映射可利用映射 转化为情形转化为情形 (2)。 01zz P142 附：附：关于存在性与唯一性的补充说明关于存在性与唯一性的补充说明 2. 关于唯一性关于唯一性 一般说来是不唯一的。一般说来是不唯一的。 对于任意给定的实常数对于任意给定的实常数 ,0 比如比如 函数函数 将单位圆域将单位圆域 仍然映射为单位圆域。仍然映射为单位圆域。 0e izw ( (港饼港饼) ) P143 还可以这样还可以这样 ?附：附：关于存在性与唯一性的补充说明关于存在性与唯一性的补充说明 设设 D 和和 G 是任意给的的两个单连域，在它们各自的边界是任意给的的两个单连域，在它们各自的边界 则一定存在解析函数则一定存在解析函数 定理定理 上至少含有两个点，上至少含有两个点， , )(zfw 将区将区 映射映射 的函数是唯一的。的