大学统计学第七章练习题及答案VIP

1、及新资料推荐第7章参数估计练习题7.1从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25,（1）样本均值的抽样标准差?等于多少？（2） 在95%的置信水平下，边际误差是多少？ 解：(D已知 b = 5,” =40,斤=25样本均值的抽样标准差0三=二=也40.79 Vn V404(2)已知。=5, = 40,工=25, a.= , 1 2 = 95% “4Z 叩=Zo.025 = L%边际误差 E = Zfl,X = 1.96*« 1.55-4n 47.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客 组成了一个简单随机样本。（1） 假

2、定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差：（2） 在95%的置信水平下，求边际误差：（3）如果样本均值为120元，求总体均值/的95%的置信区间。解.已知,根据查表得/2=1.96（1）标准误差："=二= 2.14册 '49(2).已知=1.96sis所以边际误差=Zc”*= 1.96*=4.2 一 G屈q1 '(3)置信区间：M±Zc= = 120±1=*1.96 = (115.8,124.2)7.3 从一个总体中随机抽取"=100的随机样本，得至IJ天= 104560,假定总体标准差 b = 85414,构建总体均值"

3、的95%的置信区间。7 / 147 / 147 / 141r b .八,. 85414一”Za/ ,= 1.96 = 16741 .144% G v400104560 -16741 .144 = 87818 .856元+Z* 0 = 104560 +16741 .144 = 121301 .144置信区间：(87818.856, 121301.144)7.4 从总体中抽取一个7 = 100的简单随机样本,得到元= 81, 5 = 12o（1） 构建的90%的置信区间。（2） 构建的95%的置信区间。（3） 构建的99%的置信区间。解：由题意知九= 100.无= 81,s = 12.（1）置信水

4、平为 1-2=90%,则Z。=1.645.512由公式了土 Z。Xy = 81 ± 1.645 X = 81 ± 1.974T y/nV100即 81 ± 1.974 =（79.026,82.974 则的90%的置信区间为79.02682.974（2）置信水平为 1一a = 95%, =1.962由公式得元土 z。x -L =81 ± 1.96 x 匚=81 土 2.3527 G loo即 81 ±2.352= （78.648, 83.352）,则的95%的置信区间为78.648-83.352（3）置信水平为 1-2 = 99%,则Z&

5、 =2.576.2录新资料推荐S17由公式天土 x-= 81 ±2.576 x= = 81 ±3.096 t 4n500即 81±3.1则的99%的置信区间为7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1) x = 25, b = 3.5, n = 60,置信水平为 95%。(2)元= 119.6, s = 23.89, 7? = 75,置信水平为 98%。(3) x =3.419, s = 0.974, - = 32,置信水平为90%。X = 25。= 3.5,n = 60,置信水平为95%解：Za =1.96,置信下限：X-Za- = 25 - 0.89

6、 = 24.11置信上限：灭+ Z。= 25+0.89 = 25.89置信区间为(24.11,25.89)又= 119.6,s = 23.89, n = 75,置信水平为98%。解：Za =2.33Z =, = 233 x ,= 6.43三册 V75置信下限：= 119.6-6.43 = 113.17置信上限：X + Za- = 119.6 + 6.43 = 126.03置信区间为013.17,126.03) x =3.419.s=0.974,n=32,置信水平为 90%根据 t=0.1,查 t 分布表可得 Z005(31) = 1.645 .Zd/2(4-) = 0.283所以该总体的置信区

7、间为x ± Z5/2 (3)=3.419 ±0.283即 3.419±0.283= (3.136 , 3.702)所以该总体的置信区间为3.136-3.702.7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。(1) 总体服从正态分布，且已知b = 5OO，"=15，天= 8900,置信水平为95%。(2) 总体不服从正态分布，且已知b = 500, /?=35,元= 8900,置信水平为95%。(3) 总体不服从正态分布，。未知，? = 35,天= 8900, 5 = 500,置信水平为 90%«(4) 总体不服从正态分布，。未知，? = 35

8、, 5 = 8900, 5 = 500,置信水平为 99% 0(1)解：已知b = 500, = 15, x = 8900, l-a = 95%, za = 196x±za -i = 8900 ±1.96x21 = (8647,9153)彳新V15所以总体均值的置信区间为(8647, 9153)(2)解：已知b = 500,"=35, x = 8900, -a = 95%,=1.962斤土二=8900 ±1.96x垩=(8734.9066)之&V35所以总体均值4的置信区间为(8734, 9066)(3)解：已知九= 35,天= 8900, s=

9、500,由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差二置信水平 1。=90%，4a =1.6452，置信区间为± Z。= 81 ± 1.645 x 当=(8761,9039)之6V35所以总体均值4的置信区间为(8761, 9039)(4)解：己知 = 35，5=8900, s = 500，由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差4 /# /144 /144及新资料推荐/ 置信水平 1。=99%，z0 = 2.582，置信区间为亍 ± 一U = 8900 ± 2.58 x 丝=(8682,9118) 三新V35所以总体均值4的

10、置信区间为(8682, 9118)7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500 .名学生中采取不重复抽样方法随机抽 取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7 (单位:h)o求该校大学 生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。解：已知：x = 3.3167 s = 1.6093n=361.当置信水平为90%时，金=1.645,2_ q1(5093a ±z.- = 3.3167 ±1.645 = 3.3167 ± 0.45327 4nx/36所以置信区间为(2.88, 3.76) 2.当置信水平为95%时，=1.9

11、6，- V1 6()93= 3.3167 ±1.96 ; ,一 =3.3167 ±0.5445-inn'36所以置信区间为(2.80, 3.84)3.当置信水平为99%时，4 =2.58, 2x±za-L = 33167 ±2.58空竺= 3.3167 ±0.7305亍访V36所以置信区间为(2.63, 4.01)7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见BookL8o求总体均值95% 的置信区间。己知：总体服从正态分布，但。未知，n=8为小样本，2 = 0.05, 1005(8 1)= 2.365根据样本数据计算得：

12、J = 10,5 = 3.46总体均值的95%的置信区间为:x±tQ = 10±2.365 x3.46=10 ±2.89,即(7.11,12.89)o7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样 本，他们到单位的距离（单位：km）数据见Book7.90求职工上班从家里到单位平均 距离95%的置信区间。己知：总体服从正态分布，但。未知，n=16为小样本，a =0.05, r005/2（16-1） = 2.131根据样本数据计算可得：x =9.375, s=4.1134 113x = 9.375 ±2.191V14从家

13、里到单位平均距离得95%的置信区间为：x±r/?-= 9.375 ±2.131 y/n即(7.18, U.57)o7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm,标准差为1.93cm。（1）试确定该种零件平均长度95%的置信区间。（2）在上而的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。解：已知b = 103,n=36,元=149.5,置信水平为1-a =95%,查标准正态分布表得Za/2=1.96.根据公式得:a/2= 149.5±I.96x yjn103V36即 149.5±1.96x103V36=(148.9,

14、 150.1)答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9150.1（3）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这 个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中, 一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存 在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也 趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础°7.11 某企业生产的袋装食品采用自动打包机包装，每袋标准重量为lOO

15、g“现从某天生产的 一批产品中按重复抽样随机抽取50包进行检查，测得每包重量（单位：g）见Book7.11 . 已知食品重量服从正态分布，要求：（1）确定该种食品平均重量的95%的置信区间。（2）如果规定食品重量低于100g属于不合格，确定该批食品合格率的95%的置信区 间。已知:总体服从正态分布，但。未知。n=50为大样本。a =0.05, Zoo5/2=1.96根据样本计算可知 又=101.32 s=1.63该种食品平均重量的95%的置信区间为又土 Zans/赤=10 L32 ± 1.96 * 1.63/同=101.32 ± 0.45即（100.87, 101.77）（

16、2）由样本数据可知，样本合格率：/? = 45/50 = 0.9o该批食品合格率的95%的置信区间为：p±za!2二/* =0.9±1.96=09±0.08,即（0.82, 0.98）答：该批食品合格率的95%的置信区间为：（0.82, 0.98）7.12 假设总体服从正态分布，利用电必12的数据构建总体均值的99%的置信区间。根据样本数据计算的样本均值和标准差如下：-b 0.8706x =16.13 a =0.8706 E=Z“ =2.58*=0.455置信区间为7 土E所以置信区间为（ 15.68, 16.58）7.13 一家研究机构想估计在网络公司工作的员工

17、每周加班的平均时间，为此随机抽取了 18 名员工，得到他们每周加班的时间数据见Book7.13 （单位:h）。假定员工每周加班的 时间服从正态分布，估计网络公司员工平均每周加班时间的90%的置信区间。解：已知工=13.56 a = 7.80 a = 0.1n=18E=Z *cr/Vn %置信区间=1-Z% a/y/n ,天+ Z% b/67 / 147 / 147 / 147最新贡科推荐所以置信区间=13.56-1.645*(7.80/ M),13.56+1.645*(7.80/<18 )=10.36,16.767.14 利用下面的样本数据构建总体比例的置信区间。(1) = 44, =

18、0.51,置信水平为 99%。(2) = 300，=0.82,置信水平为 95%。(3) “ = 1150，p = 0.48,置信水平为 90%。(1) = 44, = 0.51,置信水平为 99%。解：由题意，已知n=44,置信水平a=99%, Zn/2 =2.58又检验统计量为：P±Z：，),故代入数值计算得，P±Z ； /;(1-/?)= (0.316, 0.704), 总体比例4的置信区间为(0.316, 0.704)(2) 77 = 300, = 0.82,置信水平为 95%°解：由题意，已知n=300,置信水平a=95%, Zfl/2 =1-96又检验

19、统计量为：p±z、V，),故代入数值计算得,P土二)=(0.777, 0.863), 总体比例%的置信区间为(0.777, 0.863)(3) “ = 1150, p = 0.48,置信水平为 90%。解：由题意，已知n=1150,置信水平a=90%, Za/7 =1.645又检验统计量为：P±z"p),故代入数值计算得,鼓新资料推存P±Z“一)=(0.456, 0.5Q4), 总体比例4的置信区间为(0.456, 0.504) n7.15 在一项家电市场调查中，随机抽取了 200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电 视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占

20、23%。求总体比例的置信区间，置信水平分别 为 90%和 95%。解：由题意可知n=200, p=0.23(1)当置信水平为1-a =90%时，Za/2=1.645, I (1 一 p)(0.23x(1-0.23)所以 ± 心”L = 0.23 ± 1.645 »- =0.23±0.04895即 0.23±0.04895= (0.1811, 0.2789),所以土心/2(2)当置信水平为1-。=95%时，Za/2=1.96 0.23x(1-0.23)=0.23±1.96-=0.23 ±0.05832V 200BP 0.23&

21、#177;0.05832= (0.1717, 0.28835)；答：在居民户中拥有该品牌电视机的家庭在置信水平为90%的置信区间为 (18.11%, 27.89%),在置信水平为95%的置信区间为(17.17%, 28.835%)7.16 一位银行的管理人员想估计每位顾客在该银行的月平均存款额°他假设所有顾客月存 款额的标准差为1000元，要求估计误差在200元以内，应选取多大的样本？解：已知 b = 1000.E=1000.1 a=99%,Za/2 =2.58由公式 =2可知 n=(2.58*2.58* 1000* 1000)/(200*200)= 167E"答：置信水平

22、为99%,应取167个样本。7.17 要估计总体比例，计算下列个体所需的样本容量。(1) E = 0.02 ,乃= 0.40,置信水平为 96%。(2) E = 0.04,乃未知，置信水平为95%。(3) E = 0.05 .4= 0.55,置信水平为 90%°8 / 148 / 148 / 149才I(1)解：已知E = 0.02， n = 0.40, Za/,=2.05由 n = Za/2?4(1 4)/ E?得 =2.05 2 x 0.40(1- 0.4) + 0.022 =2522答：个体所需的样本容量为2522。(2)解：已知 E = 0.04, Z 9 =1.96由&qu

23、ot;MZa/z，/Q 4/E?得n = 1.962 x0.52 4-0.042 =601答：个体所需的样本容量为601。(3)解：已知E = 0.05,= 0.55 Za/?=1.645由“nZa/z?%。一 4)/E?得n = 1.6452 x 0.55 x 0.45 + O.O52 =268答：个体所需的样本容量为268。7.18 某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一向新的供水设施，想了解居民是 否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了 50户，其中有32户赞成，18户反对。（1）求总体中赞成该项改革的户数比例的置信区间，置信水平为95%o（2）如果小区管理者预计赞成的比例能达到8

24、0%,应抽取多少户进行调查？（1）已知：n=50 Za = 1.962根据抽样结果计算的样本比例为P=32/5O=6O%根据（7.8）式得：= 64% ±1,9675即 64% ± 12.63% = (51.37%,76.63%)答：置信区间为(51.37%, 76.63%)(2)已知4=80% E = 10% Za =1.96V10 / 1410 / 1410 / #及新资料推荐则有：Z、*"l - 7r) 1.962*0.8(1-0.8)E2O.l2* 62(227)*3一院 32.67054靛I 解得 (24.85, 4L73)答：应抽取62户进行调查7.1

25、9根据下面的样本结果，计算总体标准差。的90%的置信区间。(1)元= 21，s = 2, n = 50o(2) J = 1.3 s = 0.02 , 77 = 15 «>(3) J = 167, 5 = 31 1 n = 22 «>解：已知 1一。= 90%, a = 10%.- = 0.05,1 - - = 0.95221)查表知/5 - 1) = 67, / /(n-l) = 34(一面 (一面由公式;< CT < /小221(50-1)*2得3)查表知(02(- 1) = 32.6705, 7= 11.59131一一22/a （1）设=% =1

26、00,求M-2 95%的置信区间。（2） 设勺=%=10，求从一出的95%的置信区间。（3） 设=%=1。，求生一2的95%的置信区间。（4） 设I = 1。,2 = 2。，求必一的 95%的置信区间。（5） 设 =1。,% =20，tH ,求必一出的95%的置信区间。7.23 Book7.23是由4对观察值组成的随机样本。（1）计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算7和力。/(50-1)*22瞬.” 得.< CT < A ,解得(L72, 2.40)V 67V 342)查表知/(- 1) = 23.6848, / a2(«-l) = 6.570632P2由公式二

27、11 / 1411 / 1411 / 14157.20顾客到银行办理业务时往往需要等待一些时间，而等待时间的长短与许多因素有关,比如，银行的业务员办理业务的速度，顾客等待排队的方式等等。为此，某银行准备采 取两种排队方式进行试验，第一种排队方式是所有顾客都进入一个等待队列；第二种排 队方式是：顾客在三个业务窗口处列队三排等待。为比较哪种排队方式使顾客等待的时 间更短，银行各随机抽取了 10名顾客，他们在办理业务时所等待的时间（单位：min） 见 Book7.20.（B一两赢一种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（2）构建第二种排队方式等待时间标准差的95%的置信区间。（3） 根据（1）和（2）的结果，你认为哪种排队方式更好？7.21从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表: 来自总体1的样本来自总体2的样本n, = 14= 7 一用=53.2工=43.4s； =96.8s =102.0（1） 求从-出的90%的置信区间。（2） 求从一%的95%的置信区间。（3） 求4- %的99%的