结构力学第七章 位移法

1、1第七章 位移法7-1 位移法基本概念7-2 等截面直杆的刚度方程7-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算7-6 支座移动、温度变化及具有弹簧支座7-4 剪力分配法结构的计算7-5 对称结构的计算2位移法与力法一样，是计算超静定结构的一种方法，它比力法有更大的优越性。位移法也可用来解静定结构，也就是说位移法比力法具有更大的通用性。矩阵位移法：随计算机的发展而形成的；渐近法：力矩分配法、无剪力分配法；分层计算法(多层多跨刚架受竖向荷载作用时)；近似法反弯点法(多层多跨刚架受水平荷载作用时)；D值法(广义反弯点法)。位移法37-1 位移法基本概念一、位移法的基本思路将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。

2、即：结构拆成杆件结构搭接成第一步第二步第一步：杆件分析 找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。第二步：结构分析 找出结构的结点力与结点位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。4位移法的实施过程，是把复杂结构的计算问题转变为简单杆件的分析与综合的问题。杆件分析是结构分析的基础，杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础。所以位移法又称为刚度法。二、基本未知量力法：力法的基本未知量是多余未知力；位移法：位移法的基本未知量是结构的结点位移(角位移和线位移)。位移法与力法一样，求解的第一步就要是确定结构的基本未知量。5基本未知量的确定：基本未知量数目n=结点角位移（）数+独立的

3、结点线位移（）数结点角位移数=结构的刚结点数(容易确定)ABCDE BCABCBABCD BC附加转动约束：只阻止结点的转动，不阻止结点的线位移。6独立的结点线位移数的确定方法：将所有的刚结点变成铰后，若有线位移则体系几何可变，通过增加链杆的方法使体系变成无多余约束的几何不变体系(静定结构)时，需要增加的链杆数就是独立的线位移数。n=2(D、F)+1(D、E、F点的水平侧移F)=3附加链杆 附加转动约束FEDCBA(a)确定线位移图确定角位移图FEDCBA(b)7n=3(C、D、 E)+2(D、E点的水平侧移D、E)=5n=1(D)+2(C、F点的水平侧移C、F)=3EDCBA(a)确定角位移

4、图(a)FEDC BAG确定角位移图确定线位移图ECB(b)DADCEDED(b)确定线位移图FEDC BAGCD8ABCDBHCHBDC ABCDEBHBEA为有限值BHCHEA BHCHABCDABCD附加链杆 附加转动约束9习题7-1 确定用位移法计算时结构的基本未知量个数。(a)EIEA(1) 当EI、EA为无穷大时，(3)(2) 当EI、EA为有限值时，(6)(1) 当0时，(10)(2) 当=0时，(9)(b) (1) 当不考虑轴向变形时，(4)(2) 当考虑轴向变形时，(9)(c)(1) 当0时，(3)(2) 当=0时，(2)(d)10 2、选取内部结点的位移作为未知量就满足了变

5、形协调条件；位移法方程是平衡方程，满足平衡条件。 3、附加支杆和附加转动约束后的体系称为原超静定结构的基本结构。小结： 1、位移法的基本未知量是结构内部结点（ 不包括支座结点）的转角或线位移。 4、支座结点的可能位移不作为位移法基本未知量的原因是： 1）减少未知量的数目； 2）单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移（转角、线位移）的影响，如下图示。 1128FABqlM ABq212FFABBAqlMMqAB42BAABAAMiMiAB/iEI lA3ABAMiBA/iEI lA 5、位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端

6、位移作用下的求解问题。12三、位移法的解题步骤（解题途径）示例1：作图示两跨连续梁的弯矩图。1、确定基本未知量 取结点B的转角B作为基本未知量，这就保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协调。qABCllEIEIB2、在B结点加附加转动约束( )。 此时B结点产生固端弯矩。1320 8FFBABCqlMM qCBFBCMqABC0B 3、令B结点产生转角 。 此时AB、BC杆类似于B端为固端且产生转角 的单跨超静定梁。BB( )BBCi3BiACBiiBEIil3BiAiBB1400BBABCMMM2338BABBCBqlMiMi4、杆端弯矩表达式（两种情况叠加）由结点B平衡可得5、建立位移法方程

7、223308608BBBqliiqli223308608BBBqliiqli6、求解基本未知量B2()48Bqli157、求杆端弯矩作弯矩图B将求得的 代入杆端弯矩表达式得到：2222223348163816816BABBCBqlqlMiiiqlqlqlqlMi M 图ABC2332ql216ql16主要介绍位移法的解题途径。1、确定基本未知量 A、 A= 2、设法求出A、 方法：把结构拆成杆件（图b、c）(b)qAMABAB示例2：作图a示刚架的弯矩图。qABCAAFP变形图(c)ACMACAFP(a)qABCFPlEI、lEI、(1) 杆件分析：就是杆件在已知端点位移和已知荷载作用下的计算

8、问题。17 AB杆的计算条件是：B端固定，A端有已知位移A、 ，并承受已知荷载q的作用。得到的是杆件的刚度方程。此时，可以获得各杆端弯矩的表达式。qAMABAB AC杆的计算条件是： C端简支，A端有已知位移A，并承受已知荷载FP的作用。ACMACAFP)(12642线刚度lEIiqlliiMAAB形常数载常数（固端弯矩）1633lFiMPAAC载常数形常数18（2）整体分析(将杆件搭接成结构)杆件搭接时利用在A端各杆位移是相同的。作为变形协调条件。再利用结点A及结构AC杆的平衡条件，即可得到位移法的两个基本方程。基本方程是用结点位移表示的平衡方程。AMACMAB0ACABMM）（alFqll

9、iiPA01631267200QABFxFQABMABFPAC如何求出FQAB呢？19（3）求基本未知量A、联立求解方程(a)和(b)即可获得结点位移A、 。 ABFQABMABMBAqFPACFQABFQBA0202qlMlFMABQABB12764)2(2qlliliqllMFAABQAB)(0127642bqlliliA即：位移法求解的关键就是求得结点位移。结点位移一旦求出，余下的问题就是杆件的计算问题。203、作弯矩图。（1）将求得的A、代入杆端弯矩表达式，可求出杆端弯矩的值。（2）根据杆端弯矩的值，利用与静定结构作弯矩图的相同方法可获得超静定结构的弯矩图。这里主要是介绍的位移法求解超

10、静定结构的基本过程与方法，具体的计算后面给出。 值得指出的是： 在确定结构的基本未知量之前引入假设：对于受弯杆件，忽略轴向变形和剪切变形的影响。217-2 等截面直杆的刚度方程位移法计算的基础是：单跨超静定梁具有支座移动和外荷载作用时的杆端力的计算。位移法将整体结构拆成的杆件不外乎三种“单跨超静定梁”：两端固定梁；一端固定、一端简支梁；一端固定、一端滑动梁。用到的数据是：形常数和载常数。(1) 已知杆端位移求杆端弯矩形常数；(2) 已知荷载作用时求固端弯矩载常数。22一、符号规则1、杆端弯矩 规定杆端弯矩顺时针方向为正，逆时针方向为负。杆端弯矩的双重身份： 1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力偶，

11、顺时针方向为正，逆时针方向为负。 2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内力，弯矩图仍画在受拉边。MBAMCB ABCMBC232、结点转角 结点转角以顺时针方向为正，逆时针方向为负。 杆件两端相对侧移的正负号与弦转角 的正负号一致。而以顺时针方向为正，逆时针方向为负。3、杆件两端相对侧移BAlABlABCDC( )B( )FP241、两端固定梁二、等截面直杆的刚度方程（形常数）EIilABEIMABMBAABlABEIABlAiBA4ABAMi2BAAMi6ABBAiMMlABiMABMBAAiBB2ABBMi4BABMi25642ABABiMiil624BAABiMiil642624ABA

12、BBAiMiiliiiMl 式中系数4i、2i、6i/l 称为刚度系数，即产生单位杆端位移所需施加的杆端力矩。由上图可得：可写成：上式就是两端固定梁的刚度方程。262、一端固定、一端滚轴支座的梁 33ABAiMilBAiA3ABAMiBAi3ABiMl BAEIAlEIilABM其刚度方程为：273、 一端固定、一端滑动支座的梁ABAMiBAAMi BAEIMABMBAAEIil其刚度方程为：284、 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同，则 相应的杆端力也相同。 64ABAiMil62BAAiMil1)BAMABMBAEIilABAMABMBAEIilA29ABAMiBAAMi 33ABAi

13、MilBAMABMBAAEIilBAMABMBAAEIil3)2)BAMABEIilABAMABEIilA301、两端固定梁8FFPABBAF lMM三、固端弯矩（载常数）212FFABBAqlMMFPAB/2l/2l8PF l8PF l8PF lqABl212ql224ql212ql 单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向为负。312、一端固定、一端辊轴支座的梁28FABqlM 316FPABF lM ABl216qlq28qlFPBA/2l/2l532PF l316PF l323、 一端固定、一端滑动支座的梁 23FABqlM 26FBAq

14、lM 2FPABF lM 2FPBAF lM 各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表。ABlFP2PF l2PF lABl23ql26qlq33321两两端端固固支支固固 端端 剪剪 力力固端弯矩固端弯矩(以顺时针转向为正以顺时针转向为正)简简 图图编号编号qABlqABl121222qlMqlMFBAFAB22qlFqlFFQBAFQAB203022qlMqlMFBAFAB207203qlFqlFFQBAFQAB2222lbaFMlabFMPFBAPFAB)21()21(2222lblaFFlalbFFPFQBAPFQABFPABba346一一端端固固定定另另一一端端铰铰支支5两两端端固固支

15、支74固固 端端 剪剪 力力固端弯矩固端弯矩(以顺时针转向为正以顺时针转向为正)简简 图图编号编号FPABl/2l/2t1ABt2 t = t1- -t2qABlqABl88lFMlFMPFBAPFAB22PFQBAPFQABFFFF88lFMlFMPFBAPFABhtEIMhtEIMFBAFAB00FQBAFQABFF82qlMFAB152qlMFAB8385qlFqlFFQBAFQAB1052qlFqlFFQBAFQAB35101198一一端端固固定定另另一一端端铰铰支支固固 端端 剪剪 力力固端弯矩固端弯矩(以顺时针转向为正以顺时针转向为正)简简 图图编号编号qABlFPABbaFPAB

16、l/2l/2t1ABt2 t = t1- -t22222)(lblbFMPFAB4011409qlFqlFFQBAFQAB12072qlMFAB323222)3(2)3(lalaFFlblbFFPFQBAPFQAB163plMFAB1651611PFQBAPFQABFFFFhtEIMFAB23hltEIFFFQBAFQAB233615141312一一端端固固定定另另一一端端滑滑动动支支承承固固 端端 剪剪 力力固端弯矩固端弯矩(以顺时针转向为正以顺时针转向为正)简简 图图编号编号qABlFPABbaABlFP+t1AB+t2 t = t1- -t20FQBAFQABFqlF6322qlMqlM

17、FBAFABlaFMallaFMPFBAPFAB2)2(220FQBAPFQABFFF2lFMMPFBAFAB0RQBPLQBPFQABFFFFF00FQBAFQABFFhtEIMhtEIMFBAFAB37四、正确判别固端弯矩的正负号28FBAqlMABlq28FABqlM ABlq28FABqlMqBA28FABqlMBAq387-3 无侧移刚架和有侧移刚架的计算一、无侧移刚架的位移法求解建立位移法方程有两种方法：1）直接利用平衡条件建立位移法方程。2）利用位移法基本体系建立位移法方程。无侧移刚架：若刚架的各结点(不包括支座)只有角位移而没有线位移，这种刚架称为无侧移刚架。连续梁的计算属于无

18、侧移刚架问题。39（一）连续梁的位移法计算 (a)ABC20kN2kN/m3m3m6mAB梁是两端固定梁，在跨中有集中荷载作用，且在B端有转角B。BC梁是B段固定、C端简支的梁，梁上有均布荷载作用，且在B端有转角B。例7-3-1作图a所示两跨连续梁的弯矩图(EI=常数)。解：1、确定基本未知量只有B点的转角B2、计算各杆的固端弯矩40MBAMBCB(b)即：位移法基本方程为：)41-7(1586208序号查表mkNlFMMPFBAFAB)61-7(9862822序号查表mkNqlMFBC 3、写出各杆端弯矩的表达式(各杆线刚度 ) lEIi/93315441522BFBCBBCBFBABBAB

19、FABBABiMiMiMiMiMiM4、建立位移法基本方程(取结点B为隔离体如图b) 00BCBABMMM067Bi415、求基本未知量B (解基本方程)（逆时针方向）iB76/6、计算各杆端弯矩(将B 代入杆端弯矩的表达式)mkNiiMmkNiiMmkNiiMBCBAAB57.119)76(357.1115)76(472.1615)76(27、作弯矩图（负号表示弯矩为逆时针方向）根据各杆端弯矩的值，利用叠加原理作M图如图c。(c)11.5716.7215.853.21M图(kNm)309428、讨论若在B点作用有集中力偶，位移法基本方程如何建立。(a)20kN20kNm2kN/mABC3m3

20、m6m集中力偶的处理：对B点的集中力偶，求固端弯矩时不考虑，建立位移法基本方程时考虑。取B结点为隔离体如右图(b)所示。基本方程为：20kNmB(b)MBAMBC0200BCBABMMMiiBB/20147有：(c)3011233137.5M 图(kNm)943解： 1、利用平衡条件建立位移法方程例7-3-2 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。4EIi ABCDE8kN/miii4m4m4mi1）未知量：B D( ) ( )（二）无侧移刚架的位移法计算 442）列出杆端弯矩表达式（几种情况的叠加）a) 固端弯矩ABCDE8kN/miiii0B0Db) B 产生杆端弯矩iABCDEiii

21、0DB( )BmkNMmkNMmkNMmkNMFEDFDEFDBFBD33.2167.4267.1067.10BABBBAiMiM244544210.67BABBDBDMiMii32410.6742.67DCDDBBDDEDMiMiiMi2ABBMi21.33EDDMi c) D 产生杆端弯矩iABCDEiiiD0BD( )DEDDDEDDCDDBDBDiMiMiMiMiM342三种情况叠加得出各杆端弯矩表达式如下：463）建立位移法方程并求解0BM0BABDMM0DM0DBDCDEMMM由结点B和结点D的平衡条件可得：8210.670BDii28320BDii120.356/ ( )Bi3.

22、911/ ( )DiMBDMBABMDBMDCMDED4）求解基本未知量475）求各杆端弯矩作弯矩图0.71.ABMKN m1.42.BAMKN m1.42.BDMKN m 27.02.DBMKN m11.73.DCMKN m38.76.DEMKN m 25.24.EDMKN m 将求得的 B 、 D 代入杆端弯矩表达式得：M 图(kN.m)ABCDE0.711.7827.0225.2438.761.4211.73482、利用位移法基本体系建立位移法方程 现介绍位移法基本体系： 位移法的基本体系与力法的基本体系是不同的，力法基本体系是通过撤除多于约束而获得的静定结构，而位移法的基本体系是在结构

23、可能发生位移的地方附加支杆和附加转动约束而获得的超静定次数更高的体系。 附加约束的目的就是将结构拆成杆件，使结构的整体计算问题，变成单个杆件的计算问题，计算被简化。49原题如右图a。解题过程如下：（1）确定基本未知量（选取基本体系） B、D的转角 为基本未知量，引入广义符号 ，有DB、21DB、4EIi ABCDE8kN/miii4m4m4mi（a） 选取基本体系（图b）：在B、D两点附加转动约束，附加约束力 ，为使原结构各杆成为单跨超静定梁，位移法的计算就是围绕基本体系进行的。21FF 、50（2）列位移法方程 基本体系转化成原结构的条件就是位移法方程。 基本体系的作用：基本体系是用来计算原

24、结构的工具或桥梁。它包括两个特点： 基本体系可转化为原结构，可以代表原结构； 基本体系的计算比较简单。 提出的问题是：基本体系怎样才能转化为原结构？ 转化条件位移法基本方程(b)ABCDE8kN/miiii基本体系1F2F0B0D51 基本体系与原结构的区别：通过增加人为约束，把基本未知量由被动位移变成受人工控制的主动位移。 基本体系转化为原结构的条件是：基本体系在给定荷载以及结点位移1和2共同作用下，在附加约束中产生的总约束力F1和F2应等于零。即：0021FFF1和F2的计算利用“叠加原理”，分别考虑外荷载和1、2单独作用时，基本体系中的附加约束力。5210B 2D0 0F2PD10.67

25、42.67F2P= -3210.670F1PBF1P= -10.67荷载单独作用：相应的约束力为F1P和F2P(图c)PPPFFcM21、），求图（图作可以通过查表7-1 获得各杆的弯矩图（载常数）F1PF2P10.6742.6721.67ABCDEMP 图10.67（c）530k21D2ik21=2i04i4ik11Bk11=8i单位位移1=1单独作用：相应的约束力为k11和k21(图d)。12111kkdM、），求图（图作形常数2D0 11()B k11k212i4i2i4iABCDE1M 图（d）543ik22D4ik22=8ii2i0k12Bk12=2i 单位位移2=1单独作用：相应的

26、约束力为k12和k22(图d)。22212kkeM、），求图（图作形常数10B 2D1() k12k22ABCDE2ii4i3i2M 图（e）55利用“叠加原理”求F1、F2PPFkkFFkkF22221122121211110021FF0022221121212111PPFkkFkk位移法典型方程。，；，自由项；反力互等定理副系数，且；主系数，且其中：0000)(0iPiPijijiPjiijijiiiiFFkkFkkkkk56F1P= -10.67 F2P= -32k11=8ik12=k21=2ik22=8i 位移法典型方程的物理意义：刚结点附加转动约束的反力矩之和等于零，所以方程右端恒等

27、于零。位移法方程是平衡方程。1122PMMMM 由本题，可知：12128210.6702832 0iiii 所以有：与前相同（3）求基本未知量 ， 1B 2D （4）作弯矩图 （弯矩图同前） M57（三）多个基本未知量的位移法典型（基本）方程 当结构有n个未知量时，其位移法的基本方程为：0002211222222121111212111nPnnnjnjnnPnnjjPnnjjFkkkkFkkkkFkkkk其中各系数组成的矩阵成为结构的刚度矩阵：nnnnnnkkkkkkkkk212222111211其中系数称为结构的刚度系数，kii称为主系数（大于零）；kij称为副系数，有kij= kji，且可

28、大于、等于、小于零。58例7-3-3（书中典型例题） 作图a刚架的M图，各杆EI 不同。注意此题的解题特点(a)q=20 kN/mABCDEF3I04I04I05I03I06m4m4m5m4m解：利用平衡条件建立位移法方程。(1)确定基本未知量：B，C。mkNqlMFBA408420822 (2) 求杆端弯矩（固端弯矩可以查表）FBCFBCMmkNqlM7 .4112259各杆刚度取相对值，设EI0=1，则有各杆线刚度如下：2163434314415514400000EIiEIiEIiEIiEIlEIiCFBECDBCABBACFCCCFBEBBBECCDCBCBCBBCBFBABBABAMM

29、MMMMMMiM25 . 1337 .41427 .41244033用叠加法可列出各杆杆端弯矩如下：60(3) 列位移法方程结点B平衡 (图b)BMBAMBCMBE(b)CMCBMCDMCF(c)(4) 求基本未知量解(1)、(2)两方程，得) 1 (07 . 121000CBBEBCBABMMMM结点C平衡 (图c)2(07 . 149200CBCFCDCBCMMMM4.981.15CB61(5) 求杆端弯矩（由杆端弯矩表达式得）(6) 作弯矩图（图d）M 图(单位 kNm)3.4ABCDEF1.734.899.814.724.546.943.54062.5(d)注意：本题中采用本题中采用相

30、对刚度相对刚度，所求位移，所求位移并非真并非真值值。若求。若求位移的真值位移的真值，刚度也必须采用真值刚度也必须采用真值。mkNMmkNMmkNMmkNMmkNMmkNMmkNMmkNMFCCFEBBECDCBBCBA89. 478. 91.733.44.714.5246.943.562。、值已知时，可求出，当是真值、。，此时得到的位移为：。，则有：中，令值得说明：如果在本题CBBCBCFBECDBCBAEIiiiiiiiiiiEIi00 /202. 1/282. 02344/例7-3-4 如图所示的刚架，求作弯矩图。EI=常数8mABCDE F6m8m1m(a)mkN /10kN20对于此题

31、，值得注意的是：EF杆F端的荷载对E点的作用相当于一个结点力偶矩。63由结点E平衡，即 ME=0，有：基本未知量为E，令i=EI/8，基本方程为：计算结果为：ABCDE F54.292034.2917.1480M 图(单位 kNm)(b)020 ECEDMMECMEDMmkN 20E0607EiiE/57. 8注意：作图时不要忘记MEF64有侧移刚架：刚架除有结点转角位移外，还有结点线位移(独立的结点线位移)。注意：计算中忽略轴力对变形的影响。这样可以减少结点线位移的个数，使计算得到简化。二、有侧移刚架的位移法求解(a)(c)CAPBDFPEF2211(b)FPDABEFCCDDDCCABFP

32、65由于忽略了杆件的轴向变形，每个图的同层横梁上结点的水平侧移相等(即独立的结点线位移只有一个)，可以用一个线位移符号表示。 下面用例题说明位移法解有侧移刚架的基本步骤与过程。 例7-3-5 用位移法求图示刚架内力图。4m1m4m2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i) 解： 1、利用平衡条件建立位移法方程 1）确定未知量D( )EH( )24EIi 662）列出杆端弯矩表达式固端弯矩：45 . 1375. 0623375. 0264EHFBEEHBEBEBEEHDEHDADADDAADDDDEDEEHDEHDADADDADAiMliMiiliiMiiMiiliiM

33、各杆端弯矩表达式：（各杆线刚度已标于图中）mkNMmkNqlMDCFBE1444281822；先看下页图到68页67a）固端弯矩2kN/m14kNEABCDii/22i0D0EHb）D 产生的杆端弯矩EABCDii/22iD0EHD( )EHEHEABCDii/22i0DEH( )c） 产生的杆端弯矩EH各杆端弯矩表达式的意义从图中可以看出。但是我们在求解时，这些图是不必画出的。此处作为对比回前页683）建立位移法方程并求解0DM0DCDADEMMMMDCMDAMDED由结点D平衡：50.75140DEHii0AM1()41 (31.5)4 0.750.375QDADAADDEHDEHFMMi

34、iii DA柱：作隔离体如右图，求柱剪力。1B2kN/mA14kNECDFQDAMDAMADFQEBMBE690BM1242441 ( 1.54)44 0.3753QEBBEEHEHFMii EB柱0 xF 0QDAQEBFF( 0.750.375)(0.3753)0DEHEHiii0.750.7530DEHiiCE梁22kN/mA14kNECDBFQDAMDAMADFQEBMBE708()EHi 解方程组、，得4()Di 5）计算杆端弯矩16.BEMkN m4820.752 ()0.75 ()862.DADEMiiiiiikN m 14.DCMkN m12.DEMkNm2.ADMkN m4）

35、求基本未知量71EABCD173()NFkN图141433DFNDA= -17kN0FNDE= 03EFNEB=3kN300EABCD1412216EABCD1438.MkN m图()()QFkN图6）作内力图724m1m4m2kN/m14kNEEIABCD2EI4EI(i)(i/2)(2i)24EIi 2、利用位移法基本体系建立位移法方程解：（1）确定基本未知量（选取基本体系图a）基本未知量：( )1D ( )2EH （2）列位移法方程0022221121212111PPFkkFkk a）基本体系2kN/m14kNEABCDii/22i0D0EH73（3）求刚度系数kij和FiP12PMMM

36、作、图，F1P=14kN.mF2P14kN1020EABC D2kN/m4kN.mF1PMP图14kN.m取结点D， 0DMD14F1P(2 4 24)/43FQEBF B042kN/m14kNEACDF2P3FQEBFF1P取DE杆分析， 0 xFF2P=3kN74 3ik11D 2i2011() k11EABCD i i/2 2i2i i3 i1M图21k取结点D， 0DM取DE杆分析， 0 xFk11=5ik21= -0.75i-0.75i 0iEACDBk212i11kiFQDA75. 075k12D 0.75i21() 10 1.5ik12EABCDii/2 2i 0.75i 0.7

37、5ik222M 图取结点D， 0DM取DE杆分析， 0 xFk12= -0.75ik22=0.75i值得注意：由 图求k12要比由 图求k12简单。2M1M0.375i0.375i 0.75i 0.75iEACDBk22 1.5ik12iFFQEBQDA375. 076（4）求基本未知量k11=5i， k12= k21 = -0.75i， k22=0.75i， F1P=14， F2P=3121250.751400.750.7530iiii 附加转动约束的反力矩之和等于零附加链杆上的反力之和等于零28()EHi （5）求杆端弯矩作内力图1122PMMMM 14( )Di 内力图见前。21 、将系

38、数和自由项代入位移法方程得出：77例7-3-5 作图a所示结构的弯矩图。lABCDFP=3qlqii1iliiEllF(a)此题中，基本未知量个数为2，即B点的转角B和C(F)点的侧移(C、F)。由结点B力矩平衡：MB=0）（有：1 086706483 22qlliiliiqliBBB033121260222qllilililiFBx，取横梁CF的水平分力投影方程：78ABCDEF0.270.570.850.850.280.430.270.125M图( ql2 )(b)本题应注意以下几点：(1) 因CF杆的线刚度为无穷大，所以C点无转动，只有侧移，基本未知量为2。）（可得：203276 2ql

39、liiB联解两方程可得：iqliqlB204921361932(2) 弯矩MCF的值由C点的力矩平衡求出。(3) 取CF杆为隔离体时，必须切断所有的杆件，79并注意列方程时不要忘记作用在C点的水平集中荷载P。 (4) 查表计算固端弯矩m时，注意所求结构的杆件与所查表中杆件的支承情况，注意固端弯矩的正负号。关于校核：在位移法中，一般以校核平衡条件为主。这是因为在选取位移法的基本未知量时已经考虑了变形连续条件，而且刚度系数的计算比较简单，不易出错，因面变形连续条件在位移法中不作为校核的重点。80 解带斜杆的刚架，关键是如何确定斜杆两端的相对侧移。 确定斜杆两端的相对侧移需要画位移图。其思路是：根据

40、已知两个结点线位移的大小和方向确定第三个结点的线位移。 如下页图示装置，已知结点A、B线位移的大小和方向，求结点C的线位移。 三、斜杆刚架的计算81多边形 为所求位移图。12CC C C CB C A B C2 A C AABBC1 C C2 C C1 处理方法：将AC、BC杆在C结点拆开，CA杆平移到 ，CB杆平移到 。然后， 杆绕 旋转， 杆绕 旋转，两杆交点为 ，则 即为结点C的线位移。1A C2B C1ACA2B CBCCC82B C BCA AO 3）C结点线位移为 。OCC 右图即为所求的位移图。作位移图具体步骤： 2）过A作AC垂线，过B作CB垂线，两垂线交点为C。 1）取极点O

41、，过O作 与 平行线，并截取 ， 。OAA OBB AABB83例7-3-6 作图示刚架M图。解： 1）未知量A B C i 2i dFP d/2d2）画位移图，确定各杆相对侧移 。 2BABC 2A ,oCB2A B C dFP d/2d( )B( )BH 84626442BABBiiMiidd3 2 ()123 26/2BCBBiiMiidd62ABBiMid(2 )BA()BC 4）建立位移法方程并求解0BABCMM61 00Biid结点B0BM13）杆端弯矩表达式85取AB杆为隔离体，求剪力FQBA 。1112()(6)22QBAABBABiFMMiddd A B C o MBAMAB

42、MBAFQBAFP2 /2dFyC/2d考虑BC部分平衡：2022PQBABAddFFM21126(6)40222PBBddiiFiiddd121702BPiiF ddO0M28625()162PF di 解方程组、，得：5）作弯矩图727BAPMF d 29ABPMF d 727BCPMF d()54PBF di M 图29PF d727PF dA B C 87例7-3-7 作图示结构 M 图。解： 1）未知量A B C D EI EI 2EI (i) (2i) (0.8i) 4m 4m 4m 3m 1kN/mB C 4353O, D( )BH iiiiiiEIiBDBCAB28 . 04；

43、，则：令882）画位移图，确定各杆相对侧移。 BD 53BC 321.54DBiMi 23 0.851()1 40.82538CBiMi 3）杆端弯矩表达式B C 4353O, D4）建立位移法方程并求解8910.3754QBDDBFMi 考虑ABC部分平衡：3240QBDCBFM3 0.37580.820ii 5.195()i 1.925100i 取杆BD为隔离体，求剪力FQBD 。O0MA B C D 1kN/m MDBMCBFQDBFQBD2kN4m4m3moB 905）作弯矩图7.79.DBMkN m2.16.CBMkN m M 图(kN.m)2.163.0827.79A B C D

44、注意：叠加法作弯矩图时，水平均布荷载作用下，BC杆的杆长为水平投影长度。91 注意：带滑动支座单跨斜梁固端弯矩及刚度系数的求解。= B C q a)B C q = B C q b)q B C 924BCBMi2CBBMiB C Bie)C FP 0FCBMB C FP 0FFBCCBMMB c)d)93 7-4 剪力分配法 1）横梁抗弯刚度EI的刚架（EA总认为趋于无穷大）。2）铰接排架中，横梁EA的结构。 用位移法求解时，若结构的结点位移未知量中只有线位移而没有角位移，除少数情况外，均适用剪力分配法。下列两类结构可能满足上述条件：94EI EI EA B EA EA 95一、水平结点荷载作用

45、的情况例7-4-1 作图示结构 M 图。解： 1）未知量A C E B D F I1 I2 I3 h1 h2 h3 EA EA FP 2）杆端弯矩表达式113BAiMh 223DCiMh 333FEiMh ( )AHCHEH 312123123,EIEIEIiiihhh各杆线刚度：963）建立位移法方程并求解112113BAQABMiFkhh 222223DCQCDMiFkhh 332333FEQEFiMFkhh 求各柱剪力：11213ikh22223ikh33233ikh k1、k2、k3称为柱的侧移刚度，在数值上等于该柱两端产生相对侧移=1时柱的剪力值。MBAFQABMDCMFEFQCDF

46、QEFFPB AC D F E h1 h2 h3 EA EA 97考虑ACE部分平衡 0 xF 0QABQCDQEFPFFFF123()PkkkF 123PPFFkkkk 123kkkkMBAFQABMDCMFEFQCDFQEFFPB AC D F E h1 h2 h3 EA EA 984）求各柱剪力并画弯矩图111QABPPkFkFFk 222QCDPPkFkFFk 333QEFPPkFkFFk 11kk22kk33kk i 称为剪力分配系数，且有 =1。可见，总剪力FP 按剪力分配系数确定的比例分配给各柱。9911BAPMF h22DCPMF h33FEPMF h各柱端弯矩为：M 图FPB

47、 AC D F E 1PF2PF3PF33PF h11PF h22PF h 可见：此时，荷载是按照各柱的刚度比进行分配的，分配后的力乘以各杆长度，即得结构的弯矩图。下面给出剪力分配法解题步骤。100剪力分配法解题步骤：iikkQiPFFPF 为层总剪力1）求各柱侧移刚度k2）求剪力分配系数；3）求各柱剪力并作M 图。231212iEIkhh2333iEIkhhEI,h k1EI,h 11EI,h 101例7-4-2 作图示刚架M图。40.85ACBDEIiiEIii1）求各柱侧移刚度2212120.754ACACACiikih2212120.80.3845BDBDBDiikih解：令ABFPC

48、DEIEIEI 4m5m1022）求剪力分配系数 0.750.3841.134kiii0.750.6611.134ACACkiki0.3840.3391.134BDBDkiki3）求各杆剪力并作弯矩图0.661QCAACPPFFF0.339QDBBDPPFFF将剪力置于弯矩零点即柱中点，作弯矩图如右图示。M 图(m)FPABCD0.661FP0.339FP1.32FP1.32FP0.848FP0.848FP103例7-4-3 作图示刚架M图。题1)30.215AC33ACEIkh0.2QACPFF120.815DB312DBEIkh0.8QDBPFFABFPCDEIEIhhEI M 图FPAB

49、CD0.2FP0.8FP0.2FPh0.4FPh0.4FPh求各柱侧移刚度k、剪力分配系数和剪力，作M图。104120.815CA312CAEIkh0.8QCAPFF30.215DB33DBEIkh0.2QDBPFF题2)ABFPCDEIEIhhEI FP0.8FP0.2FP0.4FPh0.4FPh0.2FPhM图ABCD求各柱侧移刚度k、剪力分配系数和剪力，作M图。105二、 非水平结点荷载的处理非结点载荷固端弯矩218qh= + DCEI,hABEI,hqDCABq2116qh138PFqhEI 等效水平结点载荷2340qhDCAB138PFqh310qh340qh2320qh2320qh

50、2320qhM 图215qh2140qh2320qhDCAB106三、近似法 多跨多层刚架在水平结点荷载作用下，当刚架横梁线刚度ib 与柱线刚度ic 的比值大于或等于3，可忽略刚结点转角的影响，采用剪力分配法进行计算。 此时，底层柱的反弯点（弯距为0的截面）取在2h/3处，其余各层之反弯点仍在柱中点。这是因为底层柱下端为固定端，转角为零，而底层柱上端结点实际上有转角，反弯点并不在柱中点，如下页图示。10720kN10kN15kNi=222i=22222i=2i=8i=8i=8i=8i=8i=86.6711.67156.6711.67156.6711.67152m4m6m6m6m108 7-5

51、对称结构的计算 结构对称是指结构的几何形状、支座条件、材料性质及各杆刚度EA、EI、GA均对称。 利用结构对称性简化计算，基本思路是减少位移法的基本未知量。一、奇数跨刚架 分析与对称轴相交截面的位移条件，在根据对称性取半边结构时，该截面应加上与位移条件相应的支座。109对称结构在对称荷载作用下，其内力和变形均对称。000BBHBV 在取半边结构时，B截面加上滑动支座，但横梁线刚度应加倍。 与对称轴相交截面B的位移条件为:未知量C FP FP B i2 i1i12i2 i1BC FP1、对称荷载110 B i i1 i2 i i1 i2i FP FP0 ,0 ,0BBHBVi i1 i22iBC

52、 A未知量,AC FP1110,0,0,0BHBVBB左右2、反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下，其内力和变形均反对称。 FPi2 i1BC未知量C FP FP B i2 i1 i1 i21120,0,0BBHBV未知量,CCHB 2i2 i1 C FP FPBi2 i1 i1 FP C1130,0,0BBHBV二、偶数跨刚架偶数跨刚架不存在与对称轴相交的截面。1、 对称荷载 FP FPBi2i ii2i1 FP Bi2 i1142. 反对称荷载FPBII1/2I2 将中柱分成惯性矩各为I1/2的两个柱，两柱间跨度为dl ，则原结构变为奇数跨。利用奇数跨结构在反对称荷载作用下的结论就可以得

53、到图示简化结果。FPFPBIII1I2 I2 dlFPFPBIII1/2 I1/2I2 I2 FPBII1/2I2 115例7-5-1 作图示结构 M 图。三、举例解：将荷载分解为对称和反对称两组FPi0i0i1i12i1i0i0i1i12i1FP/2FP/2M=0FN= -FP/2 FN= -FP/2 2i1i0i0i1i1FP/2FP/2FP/2i0i1i1116M图（FP h）BFP/42i0i13FP h/28FP h/7AChFP32832832831427171732801)ii(令i0i1i1FP/4FP/4M=0FN= -FP/4 i0i1i1FP/4FP/4FP/2i0i1i

54、101()ii令对称荷载下无弯矩图，只需计算反对称荷载情况。117例7-5-2 作下图示结构M 图。解:FPFP/2FP/20CBIIII2IIIlllFP/2FP/20IIIIBCIIIBCFP/4FP/4IBFP/4IIIIBCFP/4FN= -FP /4M=01183 26CACCMii18CBCPMiF l18BCCPMiF l 0 CM 0CACBMM1708CPiF l M图（FP l）3283283283281/71 / 72ii=EI/lFP/4BACC( )1()56CPF li2iFP/4Bi=EI/lI119例7-5-3确定对称结构的基本未知量并选取半边结构。(a)CBF

55、PFP(b)CBFPFP(c)CBFPFP(a)CB基本未知量3个(A、D、A)ADFP(b)CB基本未知量3个(A、D、A)ADFP(c)CB基本未知量3个(A、D、A)ADFP120(d)FPFP(e)CBFPFP(e)CB基本未知量4个(A、D、A、D)ADFP(d)CB基本未知量4个(A、D、A、D)ADFP121增例1 用位移法作图示结构的M图。设各杆E值相同，各杆截面惯性矩之相对值示于图中括号内。40kN(6)(6)(6)(6)(8)(2)(2)4m4m4m4m4m4m4m4m4m解：分析原结构，是8次超静定结构；结构对称且受对称荷载作用，可取半边结构（图a）计算。12220kN2

56、0kN12(i)(3i)(3i)20kN180kN.m(i)(3i)(3i) 该半边结构为4次超静定，用位移法计算仅有2个未知量，基本体系如图（b）。（a）注意：半边结构上的横梁弯矩图为静定，故基本体系可简化为图（c）所示形式，只有一个未知量1。（b）（c）F1=0123现设:lEIi 各杆线刚度标于图中。典型方程为：01111pFk（d）1111k9i4i2i1M12i6i20kN80kN.m（e）4080（kN.m）PMPF1808025.619.29.63.26.4M（kN.m）（f）求系数和自由项：作 图和 图得：1MPMmkNFikP.40 ,25111ikFP581111作M图：P

57、PMMiMMM11158另一半？124增例2 图示结构，各杆EI相同，用位移法作M图。解：分析原结构，是9次超静定结构；结构对称且受对称荷载作用，结点A、B位于对称轴上，不可能发生角位移。用位移法求解只有一个未知量1。注意：此时可不再取半边结构计算。FPFPlll02031FPFPlllAB125四、对称温度变化时的求解1、奇数跨刚架取半边结构求解。I1I1IB30。C30。C30。C10。CIBI1CA未知量C( )30。C30。C10。C1262、偶数跨刚架例7-5-4 作下图a)示结构M图。刚架各杆为矩形截面，截面高为0.6m，各杆EI相同。解：B( )取如图b)半边结构，未知量为 。a

58、)t2=-30 CABCDEFl=6m l=6m h=4m t2=-30 C t2=-30 C t1=10 C t1=10 C t2=-30 C b)ACDl=6m h=4m B t2=-30 C t2=-30 C t1=10 C t1=10 C 1271）各杆两端相对侧移杆AB缩短040t h杆CD伸长040t h杆BC缩短060t l60AB则AB、BC杆相对侧移为:(4040 )80BC c)ABCDt0=-10 C t0=-10 C t0=10 C ABBC正负号与弦转角正负规定有关1282）求固端弯矩（两部分：平均温度、温差）2666022.54FFABBAABiEIMMEIh266

59、( 80 )13.36FFBCCBBCiEIMMEIl-4066.670.6FFABBAEIMMEI-4066.670.6FFBCCBEIMMEId)ACDl=6m h=4m Bt= 40 C t= 40 C t= 0 C 相对侧移 产生的固端弯矩为:ABBC、超静定结构温度低的一侧受拉 杆两端温差 产生的固端弯矩为:t可查表获得1293）杆端弯矩表达式：2222.566.70.589.24FABABBABBBEIMiMEIEIEIEI4422.566.71.044.24FBAABBBABBEIMiMEIEIEIEI4413.366.70.6753.36FBCBC BBCBBEIMiMEIEI

60、EIEI2213.366.70.3380.06FCBBCBCBBBEIMiMEIEIEIEI4）建立位移法方程并求解：0BM0BABCMM1.044.20.66753.30BBEIEIEIEI1.679.10BEIEI5.4 ()B1305）回代求杆端弯矩并画弯矩图0.589.20.55.489.286.5ABBMEIEIEIEIEIBA49.6MEIBC49.6MEI CB81.8MEI 在温度变化作用下，超静定结构内力与杆件EI 的绝对值成正比。CBADFEM 图49.6EI86.5EI81.8EI49.6EI86.5EI1317-6 支座移动、温度变化及具有 弹簧支座结构的计算一、支座移