复变函数及积分变换第二章ppt课件

1、2.1 复变函数的概念、极限与延续性 1. 复变函数的概念定义定义2.1 设设E为一复数集为一复数集.假设对假设对E中的每一个复数中的每一个复数 ,按照某种法那么按照某种法那么f有确定的一个或几个复数有确定的一个或几个复数 与之对应，那么称复变数与之对应，那么称复变数w是复变数是复变数z的函数简称的函数简称复变函数，记作复变函数，记作 .通常也称通常也称w=f(z)为定义在为定义在E上的复变函数，其中上的复变函数，其中E称为称为定义域，定义域，E中一切的中一切的z对应的一切对应的一切w值构成的集合值构成的集合 称称为为f(z)的值域，记作的值域，记作 f(E) 或或G. zxiywuiv( )

2、wf z 假设z的一个值对应着w的一个值，那么称复变函数 f(z)是单值的；假设z的一个值对应着w的两个或两个以上的值，那么称复变函数 f(z)是多值的. 复数z=x+iy与 w=u+iv分别对应实数对 (x,y)和 (u,v)，对于函数w=f(z)，u、v为x、y 的二元实数函u(x,y)和v(x,y)，所以w=f(z)又常写成w=u(x,y)+iv(x,y)。 函数w=z2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,w=z2+1对应于两个实函数 u=x2-y2+1和v=2xy. 对于复变函数w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以

3、了解为两个复平面上的点集之间的映射，详细地说，复变函数w=f(z)给出了z平面上的点集E到w平面上的点集f(E)(或G)之间的一个对应关系：( )zEwf zG 其中w称为z的像，z称为w的原像. 例2.1 函数 将z平面上的直线 x=1变成w 平面上的何种曲线？ 1wz解： 2211,xiyzxiy wuivzxiyxy2222,xyuvxyxy z平面上的直线x=1对应于w平面上的曲线 221,11yuvyy 222222221(1)(1)11yuvyyuy 2211()24uv 设函数w=f(z)定义在E上，值域为G.假设对于G中的任一点w,在E中存在一个或几个点z与之对应，那么在G上确

4、定了一个单值或多值函数，记作z=f-1(w)，它就称为函数w=f(z)的反函数. 2.复变函数的极限 定义2.2 设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域0|z-z0|r内，假设存在常数A，对于恣意给定0的,都存在一正数 (0r),使得当0|z-z0| r时,有 ,那么称函数f(z)当zz0时的极限存在，常数A为其极限值.记作或 .( )f zA0lim( )zzf zA0( )()f zA zz几何意义 当变点 z 进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f(z) 就落入A的一个预先给定的邻域内. 定义中zz0的方式是恣意的，也就是说，z在z0的去心邻域内沿任何曲线以任何方式趋于z0时，f(z

5、)都要趋向于同一个常数A. 定理2.1 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib，那么 000( , )(,)lim ( )lim( , ),zzx yx yf zAu x ya00( , )(,)lim( , ).x yx yv x yb证明：先证必要性. 0lim( )zzf zA即对 ,必 ,当 0022000000()()()()zzxiyxiyxxyy时， 有22()()( )()()uavbf zAuivaib2222()() ,()() .uavbuavbuavb 当 时，有 22000()()xxyy,uavb 成立. 0000( , )(,)

6、( , )(,)lim( , ),lim( , ).x yxyx yxyu x yav x yb 再证充分性. 当 时，有 22000()()xxyy,.22uavb 因此.( )()()f zAuai vbuavb所以，当220000()()zzxxyy( )f zA有0lim( )zzf zA即定理2.2 (极限运算法那么) 假设 00lim( ),lim ( ),zzzzf zAg zB 000(1)lim( ( )( );(2)lim( )( );( )(3)lim(0).( )zzzzzzf zg zABf zg zABf zABg zB 那么 假设两个函数f(z)和g(z)在点z0

7、处有极限，那么其和、差、积、商(要求分母不为零)在点z0处的极限仍存在，并且极限值等于f(z)、g(z)在点z0处的极限值的和、差、积、商. 例2.2 判别以下函数在原点处的极限能否存在，假设存在，试求出极限值：Re( )(1) ( );zzf zz22Re()(2) ( ).zf zz解： (1)方法一 Re( )( )zf zzzz由于 所以 ，取 ，当 时，总有 0 0z( )0( )f zf zz根据极限定义 0lim( )0zf z方法二 设z=x+iy,那么 2222222()( ),xiy xxxyf zixyxyxy22222( , ),( , ).xxyu x yv x yx

8、yxy 22222( , )(0,0)( , )(0,0)limlim0.x yx yxxyxyxy根据定理2.1，有 0lim( )0zf zRe( )(1) ( );zzf zz22Re()(2) ( ).zf zz(2)方法一.设z=x+iy,那么 2222222,.zxyxyixyz 222222Re()( ).zxyf zxyz2222( , ),( , )0.xyu x yv x yxy 让z沿直线y=kx趋向于0，有22222222( , )(0,0)01lim( , )lim.1x yxxk xku x yxk xk( , )(0,0)lim( , )x yu x y所以不存在

9、 根据定理2.1，0lim( )zf z不存在. 方法二. 22cos2( )cos2rf zr那么e(cossin )izrri设让z沿不同射线arg z趋向于0时，f(z)趋向于不同的值. 所以0lim( )zf z不存在. 22Re()(2) ( ).zf zz3.复变函数的延续性 定义2.3 假设 ，那么说函数 f(z) 在点 z0 处延续. 假设函数f(z)在区域D 内每一点都延续，那么称函数f(z)在区域D内延续.00lim( )()zzf zf z定理2.3 假设 f(z)、g(z) 在点z0延续，那么其和、差、积、商要求分母不为零在点z0处延续.(1)多项式 在整个复平面上延续

10、；(2)任何一个有理分式函数 在复平面上除去使分母为零的点外处处延续.1011nnnnwa za zaza10111011nnnnmmmma za zazawb zn zbzb 定理2.4 假设函数h=g(z)在点z0延续，函数=f(h)在h0=g(z0)延续，那么复合函数=f(g(z)在z0处延续.定理2.5 设函数 ,那么f(z)在点z0延续的充分必要条件是u(x,y)、v(x,y) 均在点(x0,y0)延续. 000( )( , )( , ),f zu x yiv x y zxiy例2.3 讨论函数argz的延续性.解：当z=0时, arg z无定义，因此不延续.当z0为负实轴上的点时，

11、即z0=x00), ()()eeeeecos( ).222i iyi iyyyyiy只需y充分大，cosy就可以大于一个预先给定的正数.其它三角函数定义如下:sincos11tan, cot, sec, csc.cossincossinzzzzzzzzzz例2.14 求函数cosz在z=1+i的值. 解：(1)(1)1111cos(1)ee21e (cos1sin1)e(cos1sin1)21.(ee)cos1(ee)sin12iiiiiiii 三角函数可以用指数函数表示，由于对数函数是指数函数的反函数，所以反三角函数作为三角函数的反函数可以用对数表示.z=sinw ee2iwiwzie2e0

12、,iwiwzi2e2 e10,iwiwzi 2222e1,Ln,11LnLn.11iwizziwizzwiizzizzi 定义反正弦函数为 2ArcsinLn(1).wziizz 反余弦函数反余切函数反正切函数2Arccosln(1),zizz 1Arctanln,21iizziz Arccotln.2izizzi例2.15 求函数Arcsinz在z=5的值.Arcsin5Ln(52 6 )Ln(52 6) )ln(52 6)2 2ln(52 6)2 21ln(52 6). 0, 1,22iiiiiiik iikikk 解： 例2.16 求函数Arctanz在z=2+3i的值.解： 1(23 )3Arctan(23 )LnLn21(23 )2521ln(arctan2 )2532111ln. 0, 1,()arctan45223iiiiiiiiiik iikk 5.双曲函数与反双曲函数定义2.11 规定并分别称它们为双曲正弦函数与双曲余弦函数. eeeesh, ch22zzzzzz性质 (1)周期性：shz和chz都是以2i为根本周期的周期函数. 2(2 )22 )eee ee eeesh(2 )sh .222zizizizizzziz(2)奇偶性：shz